高三数学总复习学案69
学案69 正态分布
导学目标： 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
自主梳理
1．正态分布密度曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝__________________________(其中实数μ和σ (σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线．
(2)正态分布密度曲线的特点
①曲线位于x轴________，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线________对称；
③曲线在________处达到峰值____________；
④曲线与x轴之间的面积为____；
⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b (a
0)和N(μ2，σ) (σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
探究点一 正态曲线的性质
例1
如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．
变式迁移1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]的概率．
探究点二 服从正态分布的概率计算
例2 设X～N(5,1)，求P(61>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
2．(2011·佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ4)等于( )
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，
大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( )
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.
设三个正态分布N(μ1，σ) (σ1>0)，N(μ2，σ) (σ2>0)，N(μ3，σ) (σ3>0)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________．
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
8．(2011·青岛模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)设X～N(10,1)．
(1)证明：P(13)＝.]
3．C [
∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.]
4．D [由φ(x)＝＝对照得σ＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝＝2.]
5．A [由正态分布N(μ，σ2)性质知，x＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.]
课堂活动区
例1 解题导引 要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20.
由＝，解得σ＝.
于是正态分布密度曲线的解析式是
φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
均值和方差分别是20和2.
变式迁移1 解 (1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，
得σ＝4，
故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是
φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－41.]
2．B [∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．
又P(ξ>c＋1)＝P(ξ110)＝P(X>μ＋3σ)，
P(X<50)＝P(X<μ－3σ)，
∴P(X>110)＝P(X<50)，故C正确. ]
4．B [由于X服从正态分布N(3,1)，
故正态分布曲线的对称轴为X＝3.
所以P(X>4)＝P(X<2)，
故P(X>4)＝＝0.158 7.]
5．C [由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)，
60×0.997 4≈60(人)，
故大约应有57人的分数在(100,120]区间内．]
6．μ2<μ1<μ3 σ1<σ3<σ2
7．0.8
解析 ∵ξ服从正态分布(1，σ2)，
∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.
∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8.
8．0.16
解析 ∵μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)
＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.
9．(1)证明 因为X～N(10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间[1,2]和[18,19]关于直线x＝10对称，所以ʃφμ，σ(x)dx＝ʃφμ，σ(x)dx，
即P(160，所以P(X≥x0)＝P(X－60≥x0－60)
＝＝0.022 8，(12分)
所以P(|X－60|
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