2018-2019学年山东省枣庄市高二上学期期末第二学段模块考试数学试题 解析版

2018-2019学年山东省枣庄市高二上学期期末第二学段模块考试数学试题 解析版

绝密★启用前 山东省枣庄市2018-2019学年高二上学期期末第二学段模块考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法的运算化简复数，然后求得其虚部.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故虚部为，所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.‎ ‎2．不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，选A.‎ ‎3．曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导函数，确定x＝e处的切线的斜率，确定切点的坐标，利用点斜式可得结论．‎ ‎【详解】‎ 求导函数f′（x）＝lnx+1，∴f′（e）＝lne+1＝2‎ ‎∵f（e）＝elne＝e ‎∴曲线f（x）＝xlnx在x＝e处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e），即y＝2x﹣e 故答案为：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，属于基础题．求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程.‎ ‎4．“k＞9”是“方程表示双曲线”的 ( )‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当k＞9时，9－k＜0，k－4＞0，方程表示双曲线．‎ 当k＜4时，9－k＞0，k－4＜0，方程也表示双曲线．‎ ‎∴“k＞9”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．选B.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出a的值．‎ ‎【详解】‎ 双曲线方程化为，由此得a＝2，b＝，c＝，‎ 焦点为（﹣，0），（，0）．‎ 椭圆中，则a2＝b2+c2＝9+7＝16．‎ 则a的值为4．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．‎ ‎6．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（　　）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的前2n-1项和与项的关系和公差公式可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，又，所以。选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两个常见变形公式和。‎ ‎7．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设， ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．‎ ‎8．已知空间四边形，，分别是，的中点，且，，，用，，表示向量为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，连接ON，AN，利用向量的中点公式可得,‎ ‎，进而即可得出．‎ ‎【详解】‎ 如图所示 ‎，‎ 连接ON，AN，‎ 则,‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ 所以 ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握向量的运算法则、中点公式等是解题的关键．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎9．设是等比数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的求和公式，化简，再代入计算，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴q504＝9，‎ ‎∴ .‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎10．已知函数在区间有最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由可得，函数在区间上有最小值，函数在区间上有极小值，而在区间上单调递增，在区间上必有唯一解由零点存在定理可得，解得 实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(4)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，利用 求解.‎ ‎11．已知双曲线的左右顶点分别为， 是双曲线上异于的任意一点，直线和分别与轴交于两点， 为坐标原点，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，因为，所以，直线方程为，令得， ，即，同理得，由于成等比数列，则，即， 是双曲线上的点，则，所以，即，所以， ，而，从而， ，所以，故选A．‎ 点睛：解析几何中如果涉及到直线与圆的问题可以用几何方法外，在直线与圆锥曲线问题中，一般都是用代数方法，即设出特殊点的坐标，设出或写出直线方程，联立方程组本题是求得交点坐标（许多时候是用韦达定理），求出线段长，这样可把已知条件“成等比数列”代数化，即，结合点是双曲线上的点，可化简此式得 ‎，而要求离心率的取值范围，就要得到关于的一个不等关系，观察已知有，从而，结论易得．‎ ‎12．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式可化为令,研究函数的单调性和值域，问题转化为f(x)的值域是g(x)值域的子集.‎ ‎【详解】‎ 原式可化为令 ‎ ‎，故函数f(x)在上是单调递增的，[-a,e-a].‎ ‎，故函数g(x)在 ‎ 函数的大致图像为：‎ 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，即方程f(x)=g(x)有解，满足 故.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若不等式的解集是，则的值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系可得，2为方程ax2+5x﹣2＝0的两根然后根据韦达定理求出a的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵不等式ax2+5x﹣2＞0的解集为{x|＜x＜2}，‎ ‎∴，2为方程ax2+5x﹣2＝0的两根，‎ ‎∴根据韦达定理可得 ‎∴×2＝﹣‎ ‎∴a＝﹣2‎ 故答案为：-2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．解题的关键是一元二次不等式与一元二次方程之间的关系的转化与应用．‎ ‎14．已知数列中，，等比数列的公比满足，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，，所以 ‎，，所以，故答案为.‎ 点睛：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前项和公式，考查学生的运算能力，属中档题；先由及求出，再由，求出，从而得到，进而得到，根据等比数列前项和公式即可求得．‎ ‎15．函数的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：易知函数的定义域为．由题，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时函数取得最大值，即．‎ 考点：1、导数的运算；2、导数与函数最值的关系．‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点， 是上一点（不与重合），若以线段为直径的圆恰好经过，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据抛物线的对称性设，则，所以直线的方程为，由，取， ，所以直线的方程是，联立，解得点的横坐标，所以点在抛物线的准线上运动，当点的坐标是时， ‎ 最小，最小值是2.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线下的最值问题也是高考常考的题型，首先根据,得到直线的方程，根据导数的几何意义求切线方程，再求两条直线的交点，得到点的轨迹方程，这样的最小值就迎刃而解了.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数.‎ ‎（1）设，求；‎ ‎（2）如果，求实数，的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到，进而求得参数.‎ 详解：‎ ‎（1）因为，所以.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由题意得：‎ ‎ ；‎ ‎，‎ 所以，‎ 解得.‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离，转化为求对应函数最值：，其中，再根据基本不等式求最值，即得的取值范围.‎ 试题解析：（1）若 即 所以原不等式的解集为或 ‎（2）即在时恒成立，‎ 令，等价于在时恒成立，‎ 又，当且仅当即等号成立，所以.‎ 故所求的取值范围是.‎ ‎19．已知数列为等差数列，其中，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得.‎ ‎【答案】(1)；(2)1010.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得数列的公差为2，则数列的通项公式为；‎ ‎(2)结合通项公式裂项求和可得.求解不等式，‎ ‎.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等差数列的公差为，‎ 依题意有，解得，，‎ 从而的通项公式为；‎ ‎（2）因为，‎ 所以 .‎ 令，解得，故取.‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的一点.‎ ‎（Ⅰ）若点为棱的中点，证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥DC;（2）求出平面EAB的法向量，平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB-P的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为底面，底面，底面，‎ 所以：，，又，‎ 所以：，，两两互相垂直，‎ 以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：‎ ‎ ‎ 可得，，，，‎ 因为点为棱的中点，得，‎ 故，，‎ ‎，‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ），，，，‎ 不妨设，，‎ 故 ‎ 由，得，‎ 解得，‎ 即，‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即，‎ 不妨令，可得为平面的一个法向量，‎ 易知平面的一个法向量，‎ 则，‎ 二面角是锐角，所以余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点的直线与椭圆交于，两点，的周长为8.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定点，使得为定值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知，，则，，即，,进而得到椭圆方程；（2）当直线斜率存在时，联立直线AB和椭圆方程，，代入韦达定理即可求得P点坐标；当直线斜率不存在时，，此时可求出，和之前的相等.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知，，则，‎ 又的周长为8，所以，即，，‎ 故椭圆的方程：；‎ ‎（Ⅱ）假设存在定点，使得为定值，‎ 若直线的斜率存在，设的方程为，‎ 设点，，‎ 将设的方程代入椭圆方程，‎ 整理得，‎ ‎ ‎ 由韦达定理可得：，，‎ 由于，，‎ 则 ‎，‎ 因为为定值，‎ 所以，‎ 解得，此时，‎ 若直线的斜率不存在，‎ 直线的方程为，，，‎ 则，‎ 当，得，‎ 综上所述：存在定点，使得为定值.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.‎ ‎22．已知函数，其中为自然对数的底数. ‎ ‎（Ⅰ）若，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）试当时，记的最小值为，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递减区间为：，单调递增区间为：；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对函数求导，代入参数a的值，即可得到函数的单调区间；（Ⅱ）通过对函数求导研究函数的单调性得到，，由得：‎ ‎，构造函数，对函数求导可得到函数的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）的定义域是，‎ ‎ .‎ 当时，，‎ 因为函数，单调递增，且，‎ 所以：当时，，‎ 当时，，‎ 所以：函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：；‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得的定义域是，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 在上单调递增，‎ 因为，‎ 所以，，‎ 故存在，使得，‎ 当时，，故，单调递减；‎ 当时，，故，单调递增；‎ 故时，取得最小值，‎ 即，‎ 由得：‎ ‎，‎ 令，，则 ‎，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 故，即时，取最大值1，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性、最值的求解，根据导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．‎