四川省成都市棠湖中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题
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四川省棠湖中学2018-2019学年高一下期末考
数学试题
一、选择题：在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|–1
1}，则A∪B=
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集的求法直接求出结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
故选C.
【点睛】考查并集的求法，属于基础题.
2.函数 的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
要使原函数有意义，则 ，即
所以
解得：
所以，原函数的定义域为
故选D．
【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，解答此题的关键是掌握余弦函数线，在单位园中利用三角函数线分析该题会更加直观
3.在平面上，四边形满足，，则四边形为（ ）
A. 梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形
【答案】C
【解析】
，且四边形是平行四边形，，，四边形是菱形，故选C.
4.已知等差数列的前项和为，若，则的值为
A. 10 B. 15 C. 25 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用等差数列的性质求出结果．
【详解】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝85，
则：85，
解得：a9＝5，
所以：a7+a9+a11＝3a9＝15．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的应用，及性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
5.若函数的图象可由函数 的图象向右平移个单位长度变换得到，则的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简函数，然后再根据图象平移得．
【详解】由已知，∴．
故选A．
【点睛】本题考查两角和的正弦公式，考查三角函数的图象平移变换，属于基础题．
6.已知向量，满足，，，则（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
由，求出，代入计算即可。
【详解】由题意，则.
故答案为A.
【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了学生的计算能力，属于基础题。
7.已知为等比数列的前项和，，，则
A. B. C. D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意易得数列的公比代入求和公式计算可得．
【详解】设等比数列公比为q，，
则，解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．
8.若则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合诱导公式，计算出，结合二倍角公式，计算结果，即可。
【详解】，所以
，故选C。
【点睛】本道题考查了诱导公式，考查了二倍角公式，关键得出这个桥梁，计算结果，即可，难度中等。
9.已知中，，，的对边分别是，，，且，，，则边上的中线的长为( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中线，在中，由余弦定理即可计算AB边上中线的长．
【详解】解：，
由余弦定理，可得，
整理可得：，解得或3．
如图，CD为AB边上的中线，则，
在中，由余弦定理，可得：，或，
解得AB边上的中线或．
故选：C．
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
10.已知正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各个棱长均为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设点在底面的投影点为，则，，平面，故，而底面所在截面圆的半径，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径，故球的表面积，故选C.
点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域．
【详解】，又>0，∴，∴
∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；
当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2．
∴函数y＝[f（x）]值域是{1，2}．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．
12.如图，网格纸上正方形小格边长为
，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可知该几何体是一个四棱锥，作出图形即可求出表面积。
【详解】该几何体为四棱锥，如图.
.
选C.
【点睛】本题考查了三视图，考查了四棱锥的表面积，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题。
二、填空题。
13.函数的定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由二次根式有意义，得：,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.
【详解】由二次根式有意义，得：，即，
因为在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．
14.设，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，根据两角差正切公式可解得．
【详解】，故答案为：
【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查．
15.已知三棱锥，若平面ABC，，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
过B作，且，则或其补角即为异面直线PB与AC所成角由此能求出异面直线PB与AC所成角的余弦值．
【详解】过B作，且，则四边形为菱形，如图所示：
或其补角即为异面直线PB与AC所成角．
设.
，，
平面ABC，
，
．
异面直线PB与AC所成的角的余弦值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16.若，则=_________
【答案】
【解析】
∵，
∴f（x）+f（1﹣x）=+
=+
==1，
∴
=500×[+]
=500．
故答案为：500．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知函数=定义域为=的定义域为(其中为常数).
(1)若,求及;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);=.(2)
【解析】
试题分析：（1）先根据偶次根式非负得不等式，解不等式得A，B，再结合数轴求交，并，补（2）先根据得,再根据数轴得实数的取值范围.
试题解析：(1)若,则由已知有
因此;
,
所以=.
(2)∴,
又==
∴
18.已知函数.
（1）求最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）利用和角公式及降次公式对f（x）进行化简，得到f（x）=，代入周期公式即可；
（2）由x的范围求出ωx+φ的范围，结合正弦函数单调性得出最值和相应的x．
试题解析：
（1）
，
，
，
，
，
所以的最小正周期为.
（2）∵，∴，
当，即时，；
当，即时，.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
19.在中,为上的点, 为上的点,且 .
（1）求的长;
（2）若,求的余弦值.
【答案】(1) ;(2).
【解析】
试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。（1）中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；（2）中先在
中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出。
试题解析：（1）由题意可得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
整理得，
解得：．
故的长为。
（2）在中，由正弦定理得，
即
所以，
所以．
因为点在边上，所以，
而，
所以只能为钝角，
所以，
所以
．
20.如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而， 得证线面平行；
（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．
【详解】（1）证明：取PD中点G，连结
为的中位线，且，
又且，且，
∴EFGA是平行四边形，则，
又面，面，
面；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面面，为正三角形，
面，且，
连交于，可得，
，则，即．
连，又，
可得平面，则，
即是二面角的平面角，
在中，
∴，即二面角的正切值为．
【点睛】本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．
21.等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）由是等差数列，，，可求出，由是等比数列，，，，可求出；（2）将和的通项公式代入，则
，利用裂项相消求和法可求出.
【详解】(1)，，，解得
.
又，，
.
（2）由（1），得
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题。
22.已知函数，，（,为常数）.
（1）若方程有两个异号实数解，求实数的取值范围；
（2）若的图像与轴有3个交点，求实数的取值范围；
（3）记，若在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)或
【解析】
【分析】
（1）由题意，可知只要，即可使得方程有两个异号的实数解，得到答案；
（2）由题意，得，则，再由的图象与轴由3个交点，列出相应的条件，即可求解.
（3）由题意得，分类讨论确定函数的单调性，即可得到答案.
【详解】
由题可得，
，与轴有一个交点；
与有两个交点
综上可得: 实数的取值范围或
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及分段函数的性质的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论及利用函数的基本性质求解是解答的关键，试题综合性强，属于难题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想和转化思想的应用.
