2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试 数学（文） Word版
深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期中考试
高二文科数学
命题人：彭仕主 审题人：董正林
本试卷4页，22小题，全卷共计150分。考试时间为120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A={x∈Rx2<3x}，B={x-1
-1”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
4．下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是
A． y=log2x B． y=-x C． y=(12)x D． y=1x
5．为了得到函数y＝sin2x-π3的图象，可以将函数y＝sin2x的图象
A． 向右平移π6个单位长度 B． 向右平移π3个单位长度
C． 向左平移π6个单位长度 D． 向左平移π3个单位长度
6．过点A-1,3，B(3,-1)，且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为
A． x+12+y+12=4 B． x+12+y+12=16
C． x-12+y2=13 D． x-12+y2=5
7．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2，则椭圆的离心率为
A． 2-12 B． 2-1 C． 22 D． 12
8．下列导数运算正确的是
A． sinx'=-cosx B．3x'=3x C．log2x'=1x⋅ln2 D． 1x'=1x2
9．已知sinα+π3+sinα=-435，则cosα+2π3=
A． -45 B． -35 C． 35 D． 45
10．己知函数y=logax-1+2a>0且a≠1恒过定点A．若直线mx+ny=2过点A，其中m,n是正实数，则1m+2n的最小值是
A． 3+2 B． 3+22 C． 92 D． 5
11．若a>0,b>0，ab=a+b+1，则a+b的最小值为
A． 2+1 B． 22-2 C． 2+22 D． 4
12．设fx是定义在R上的奇函数,且f1=0,当x>0时，有恒成立，则不等式xfx>0的解集为
A． -∞,0∪0,1 B． -∞,-1∪0,1
C． -1,0∪1,+∞ D． -1,0∪0,1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f(x)=lnx-ax2，且函数f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率是-12，则a＝_____．
14．已知实数x，y满足条件x+2y≥0x-y≤0,0≤y≤2则z=x+y的最小值为_____．
15．若椭圆x236+y29=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为_____．
16．若数列an的首项a1=12，且an=an+1an+1，则a200a300=_____．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m ≤ x ≤2+m．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，bn＝12an－30，
(1)求通项公式an；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
19．（本小题满分12分）
ΔABC中，内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c，ΔABC的面积为S，若43 S=b2+c2-a2．
（1）求角A；
（2）若a=2，b=23，求角C．
20．（本小题满分12分）
已知O为坐标原点，抛物线y2= –x与直线y=k(x+1)相交于A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于10时，求实数k的值．
21．（本小题满分12分）
设函数fx=ex+ax+b在点0,f0处的切线方程为x+y+1=0.
（1）求a,b的值，并求fx的单调区间；
（2）证明：当x≥0时，fx>x2-4.
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，该椭圆经过点P1,32，且离心率为12．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0长轴上一点S1,0作两条互相垂直的弦AB,CD．若弦AB,CD的中点分别为M,N，证明：直线MN恒过定点．
深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期中考试
高二文科数学 参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
A
A
B
B
C
D
B
C
D
13．14 14．-2 15．-12 16．301201
17．【答案】（1）m≥4；（2）-3≤x<2或47，无解，②若p假q真，则x<-2或x>4-3≤x≤7，
解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．
18．【答案】(1)an=4n-2 ； （2）-225.
【解】 (1)由a3＝10，S6＝72，得a1+2d=10,6a1+15d=72,解得
所以an＝4n－2.
(2)由(1)知bn＝an－30＝2n－31.
由题意知得≤n≤.
因为n∈N＋，所以n＝15.
所以{bn}前15项为负值时，Tn最小．
可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.
19．【答案】(1) A=π6; (2) C=π2或π6
【解】(1) ∵ ΔABC中，b2+c2-a2=43 S=43⋅12bcsinA=2bc⋅3sinA
∴ cosA=b2+c2-a22bc=3sinA
∴ tanA=33
∵ 0A
∴ B=π3或2π3
∴ C=π2或π6
20．【答案】（1）证明见解析；（2）±16.
【证明与解答】（1）显然k≠0．
联立y2=–xy=k（x+1），消去x，得ky2+y–k=0．
如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≠0，x2≠0，
由根与系数的关系可得y1+y2=–1k，y1·y2=–1．
因为A，B在抛物线y2=–x上，
所以y12=–x1，y22=–x2，y12·y22=x1x2．
因为kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=–1，所以OA⊥OB．
（2）设直线y=k（x+1）与x轴交于点N，
令y=0，则x=–1，即N（–1，0）．
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=12ON·|y1|+12ON·|y2|
=12ON·|y1–y2|=12×1×(y1+y2)2-4y1y2=12(-1k)2+4，
所以10=121k2+4，解得k=±16．
21．【解析】
⑴f'(x)=ex+a，由已知，f'(0)=-1,f(0)=-1，故a= - 2，b= - 2.
f'(x)=ex-2，当x∈(-∞,ln2)时，f'(x)<0，
当x∈(ln2,+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在x∈(-∞,ln2)单调递减，在x∈(ln2,+∞)单调递增；
⑵f(x)>x2-4，即x2+2x-2ex<1，设g(x)=x2+2x-2ex,∴g'(x)=4-x2ex，
x∈[0,2)时，g'(x)>0,x∈(2,+∞)时，g'(x)<0，所以g(x)在[0,2)递增，在(2,+∞)递减，
所以．
当x≥0时，fx>x2-4.
22．【答案】（1）x24+y23=1;（2）47,0．
【解】（1）解：∵点P1,32在椭圆上，∴1a2+94b2=1，
又∵离心率为12，∴e=ca=12，∴a=2c，
∴4a2﹣4b2=a2，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆方程为x24+y23=1．
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+s，m≠0，则直线CD的方程为x=-1my+s，
联立x24+y23=1x=my+s，得3m2+4y2+6smy+3s2-12=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则y1+y2=-6sm3m2+4，y1y2=3s2-123m2+4，
∴x1+x2=my1+smy2+s=m2y1y2+msy1+y2+s2=4s2-12m23m2+4，
由中点坐标公式得M2s2-6m23m2+4,-3sm3m2+4，
将M的坐标中的m用-1π代换，得CD的中点N2s2m2-63+4m2,3sm3+4m2，
∴直线MN的方程为x-4m2-17my=4s7，m≠±1，
令y=0得x=47s，∴直线MN经过定点47s,0，
当m=0,±1时，直线MN也经过定点47s,0，综上所述，直线MN经过定点47s,0．
当s=1时，过定点47,0．