高考文科数学复习：夯基提能作业本 (26)

高考文科数学复习：夯基提能作业本 (26)

第三节　导数与函数的极值、最值 A组　基础题组 ‎1.设函数f(x)在定义域R上可导,其导函数为f '(x),若函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)‎ C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)‎ D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)‎ ‎2.设函数f(x)=‎2‎x+ln x,则(　　)‎ A.x=‎1‎‎2‎为f(x)的极大值点 B.x=‎1‎‎2‎为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 ‎3.函数f(x)=‎1‎‎2‎x2-ln x的最小值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 ‎ C.0 D.不存在 ‎4.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为(　　)‎ A.37 B.73 C.-10 D.-37‎ ‎5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)‎ A.-‎4‎‎27‎,0 B.0,-‎4‎‎27‎ C.‎4‎‎27‎,0 D.0,‎‎4‎‎27‎ ‎6.(2016湖北黄冈模拟)若函数f(x)=2x2-ln x在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,则实数k的取值范围为(　　)‎ A.[1,+∞) B.‎‎1,‎‎3‎‎2‎ C.[1,2) D.‎‎3‎‎2‎‎,2‎ ‎7.函数f(x)=xsin x+cos x在π‎6‎‎,π上的最大值为　　　　. ‎ ‎8.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时, f(x)=ln x-axa>‎‎1‎‎2‎,当x∈(-2,0)时, f(x)的最小值为1,则a的值为　　　　. ‎ ‎9.已知函数f(x)=‎1+lnxkx(k≠0).求函数f(x)的极值.‎ ‎10.(2016吉林长春模拟)已知函数f(x)=ax-‎2‎x-3ln x,其中a为常数.‎ ‎(1)当函数f(x)的图象在点‎2‎‎3‎‎, f‎2‎‎3‎处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在‎3‎‎2‎‎,3‎上的最小值;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围.‎ B组　提升题组 ‎11.已知函数f(x)=‎‎-x‎3‎+x‎2‎,x<1,‎alnx,x≥1.‎ ‎(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极大值点和极小值;‎ ‎(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.‎ ‎12.(2016云南昆明模拟)已知常数a≠0, f(x)=aln x+2x.‎ ‎(1)当a=-4时,求f(x)的极值;‎ ‎(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.‎ ‎13.已知函数f(x)=ax‎2‎+bx+cex(a>0)的导函数y=f '(x)的两个零点为-3和0.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　由题图可知,当x<-2时, f '(x)>0;‎ 当x=-2时, f '(x)=0;‎ 当-22时, f '(x)>0.‎ 由此可得函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.‎ ‎2.D　因为f(x)=‎2‎x+ln x,所以f '(x)=-‎2‎x‎2‎+‎1‎x=x-2‎x‎2‎,当x>2时, f '(x)>0,此时f(x)为增函数;当00.‎ 令f '(x)>0,得x>1;令f '(x)<0,得02时, f '(x)>0,当00,即函数f(x)在区间‎0,‎‎1‎‎2‎上单调递减,在区间‎1‎‎2‎‎,+∞‎上单调递增,所以x=‎1‎‎2‎为函数f(x)的极值点.函数在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,即在区间(k-1,k+1)内有极值点,所以0≤k-1<‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎,所以0<‎1‎a<2.‎ 令f '(x)>0,得x<‎1‎a,所以f(x)在‎0,‎‎1‎a上单调递增;‎ 令f '(x)<0,得x>‎1‎a,所以f(x)在‎1‎a‎,2‎上单调递减,所以当x∈(0,2)时, f(x)max=f‎1‎a=ln ‎1‎a-a·‎1‎a=-1,所以ln ‎1‎a=0,所以a=1.‎ ‎9.解析　f(x)=‎1+lnxkx的定义域为(0,+∞),‎ f '(x)=-lnxkx‎2‎.‎ 令f '(x)=0,得x=1,‎ 当k>0时,若00;‎ 若x>1,则f '(x)<0,‎ ‎∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,‎ ‎∴当x=1时,函数f(x)取得极大值‎1‎k.‎ 当k<0时,若01,则f '(x)>0,‎ ‎∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴当x=1时,函数f(x)取得极小值‎1‎k.‎ ‎10.解析　(1)f '(x)=a+‎2‎x‎2‎-‎3‎x,‎ 由题意可知f '‎2‎‎3‎=1,即a+‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎-‎3‎‎2‎‎3‎=1,解得a=1.‎ 由f(x)=x-‎2‎x-3ln x,x∈‎‎3‎‎2‎‎,3‎ 得f '(x)=‎(x-1)(x-2)‎x‎2‎.‎ 令f '(x)=0,得x=2.‎ f(x)与f '(x)随x的变化情况如下表:‎ x ‎3‎‎2‎‎,2‎ ‎2‎ ‎(2,3]‎ f '(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎1-3ln 2‎ ‎↗‎ ‎∴f(x)min=f(2)=1-3ln 2.‎ ‎(2)f '(x)=a+‎2‎x‎2‎-‎3‎x=ax‎2‎-3x+2‎x‎2‎(x>0),‎ 由题意可知方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1,x2,并令h(x)=ax2-3x+2,‎ 则Δ=9-8a>0,‎x‎1‎‎+x‎2‎=‎3‎a>0,解得00,‎ 故a的取值范围为‎0,‎‎9‎‎8‎.‎ B组　提升题组 ‎11.解析　(1)当x<1时, f '(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),‎ 令f '(x)=0,解得x=0或x=‎2‎‎3‎.‎ 当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎0,‎‎2‎‎3‎ ‎2‎‎3‎ ‎2‎‎3‎‎,1‎ ‎ f '(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[-1,0]和‎2‎‎3‎‎,1‎上单调递减,在‎0,‎‎2‎‎3‎上单调递增.‎ 因为f(-1)=2, f‎2‎‎3‎=‎4‎‎27‎, f(0)=0,‎ 所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.‎ ‎②当1≤x≤e时, f(x)=aln x,当a≤0时, f(x)≤0;‎ 当a>0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.‎ 综上所述,当a≥2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为a;‎ 当a<2时, f(x)在[-1,e]上的最大值为2.‎ ‎12.解析　(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=ax+2=a+2xx.‎ 当a=-4时, f '(x)=‎2x-4‎x.‎ 可知当02时, f '(x)>0,则f(x)单调递增.‎ ‎∴f(x)只有极小值,且在x=2时, f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2.‎ ‎∴当a=-4时, f(x)只有极小值4-4ln 2.‎ ‎(2)∵f '(x)=a+2xx,‎ ‎∴当a>0,x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,即f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,没有最小值,当a<0时,由f '(x)>0,得x>-a‎2‎,∴f(x)在‎-a‎2‎,+∞‎上单调递增;‎ 由f '(x)<0,得x<-a‎2‎,∴f(x)在‎0,-‎a‎2‎上单调递减.‎ ‎∴当a<0时, f(x)的最小值为f‎-‎a‎2‎=aln‎-‎a‎2‎+2‎-‎a‎2‎.‎ 根据题意得f‎-‎a‎2‎=aln‎-‎a‎2‎+2‎-‎a‎2‎≥-a,‎ 即a[ln(-a)-ln 2]≥0.‎ ‎∵a<0,∴ln(-a)-ln 2≤0,解得a≥-2,‎ ‎∴实数a的取值范围是[-2,0).‎ ‎13.解析　(1)f '(x)=‎ ‎(2ax+b)ex-(ax‎2‎+bx+c)‎ex‎(‎ex‎)‎‎2‎ ‎=‎-ax‎2‎+(2a-b)x+b-cex.‎ 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,‎ 因为ex>0,所以y=f '(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f '(x)与g(x)符号相同.‎ 又因为a>0,所以-30,‎ 即f '(x)>0,‎ 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f '(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),‎ 单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).‎ ‎(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有‎9a-3b+ce‎-3‎‎=-e‎3‎,‎g(0)=b-c=0,‎g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,‎ 解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=x‎2‎‎+5x+5‎ex.‎ 因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),‎ 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,‎ 故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,‎ 而f(-5)=‎5‎e‎-5‎=5e5>5=f(0),‎ 所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.‎