福建省厦门市双十中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

福建省厦门市双十中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

双十中学高二开学考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知在中，内角、、所对的边分别是、、， ，边的长是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用余弦定理得到答案.‎ ‎【详解】根据余弦定理：‎ ‎ ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了余弦定理，属于基础题型.‎ ‎2.下列命题中，正确的是　　‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质进行判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】对于A，同向不等式，只能相加，不能相减，故不正确；‎ 对于B，同向不等式均正时，才能相乘，故不正确；‎ 对于C，c的符号不定，故不正确；‎ 对于D，，故正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎3.函数取得最小值时的值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数边形为利用双勾函数得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设 ‎ ‎ 根据双勾函数性质在上单调递增.‎ ‎ ‎ 当即时取最小值.‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了双勾函数性质，属于常考题型.‎ ‎4.已知，并且是方程的两根，则实数的大小关系可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 依据题设可知是方程的两根；由于函数是函数向上平移2个单位所得，因此方程的两根应该满足 ，故应选答案B.‎ ‎5.已知数列的各项均为正数，则数列 的前15项和为 A. 3 B. 4 C. 127 D. 128‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得是一个等差数列，求出，再求出，再利用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】由题得是一个以1为首项，以1为公差等差数列，所以，‎ 所以，‎ 所以数列的前15项和为.‎ 故答案为：A ‎【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的通项和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6.如图，一栋建筑物的高为，在该建筑物的正东方向有一个通信塔，在它们之间的地面点（三点共线）处测得楼顶，塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶C的仰角为，则通信塔的高为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合直角三角形的性质和正弦定理求解塔的高度即可.‎ ‎【详解】作AE⊥CD，垂足为E，则：‎ 在△AMC中，AM==20，∠AMC=105°，∠ACM=30°，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC=60+20，‎ ‎∴CD=30-10+AC=60m.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】解三角形应用题的一般步骤：‎ ‎(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．‎ ‎(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．‎ ‎(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.‎ ‎7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知的顶点,若其欧拉线方程为, 则顶点的坐标为 (　）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设C坐标，根据重心公式得重心坐标，代入欧拉线方程，得顶点的坐标满足条件，判断选择.‎ ‎【详解】设C坐标，所以重心坐标为，因此，从而顶点的坐标可以为，选B.‎ ‎【点睛】本题考查重心坐标公式，考查基本求解能力.‎ ‎8.已知圆的圆心在直线：上，过点作圆 的一条切线，切点为，则 A. 2 B. C. 6 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．‎ 详解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，‎ 表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．‎ 由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），‎ 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．‎ ‎∵AC==2，CB=R=2，‎ ‎∴切线的长|AB|==6．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．‎ 二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的：()‎ A. B. 三棱锥的体积为 C. 平面 D. 平面平面 ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：为中点，连接 ‎ ‎，，得到 ‎ 又故为等腰直角三角形 平面平面， ，所以平面，所以C正确 为中点，则平面 所以 如果，则可得到平面，故 与已知矛盾.故A错误 三棱锥的体积为 .故B错误 在直角三角形中， ‎ 在三角形中， 满足 又 所以平面，所以平面平面，故D正确 综上所述：答案为CD ‎【点睛】本题考查了立体几何线线垂直，线面垂直，体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎10.在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形 ‎ 即 在直线上，圆心距 ‎ 计算得到 ‎ 故答案选AB ‎【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到的轨迹方程是解题的关键.‎ 三、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎11.直线与直线垂直，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用垂直关系公式得到答案.‎ ‎【详解】直线与直线垂直 所以 即 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了直线的垂直关系，属于基础题型.‎ ‎12.已知数列，满足，，，则 ‎__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断是等差数列，计算通项公式，得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ ‎ ，‎ 根据等差数列性质：构成等差数列 故答案为 ‎【点睛】本题考查了数列通项公式的计算，前N项和计算，利用等差数列性质判断构成等差数列是解题的关键.‎ ‎13.，若有三个不同的实数解，则的取值范围为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数图象，结合图象确定结果.‎ ‎【详解】函数图象如图，所以若有三个不同实数解，则的取值范围为 ‎【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎14.如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，，，为的中点，平面，若，试求异面直线与所成角的余弦值_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BB1的中点F，连接EF、AF，则异面直线与所成角为∠AEF（或其补角），在三角形△AEF中根据边角关系得到答案.‎ ‎【详解】取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，‎ ‎∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C ‎∵A1B1∥AB∥CD，A1B1＝AB＝CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D ‎∴EF∥A1D，‎ 可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．‎ ‎∵△CDE中，，∴DECDA1E，‎ 又AE＝AB＝1，‎ ‎∴A1A，由此可得BF，AF＝EF，‎ ‎∴cos∠AEF，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为 ‎【点睛】本题考查了异面直线夹角的定义及作法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎15.当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解析式可知曲线为半圆，直线恒过；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.‎ ‎【详解】 ‎ 为恒过的直线 则曲线图象如下图所示：‎ 由图象可知，当直线斜率时，曲线与直线有两个相异交点 与半圆相切，可得：‎ 解得：‎ 又 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线的范围，误认为曲线为圆.‎ ‎16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中， ‎ ‎，则阳马的外接球的表面积是_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据堑堵定义以及长方体性质可得阳马的外接球的直径为，再根据球的表面积公式求结果.‎ ‎【详解】由于两两相互垂直，所以阳马的外接球的直径为，即，因此外接球的表面积是.‎ ‎【点睛】若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．‎ 求A；‎ 若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理以及三角形的内角和，结合特殊角的三角函数求解即可．（2）利用余弦定理求出c，然后求解三角形的面积即可．‎ ‎【详解】，可得，‎ ‎，，‎ 因为，，，所以，‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理应用，三角形的解法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.为数列的前项和.已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，有，即.‎ 因为，所以.从而，即4‎ 由，知.‎ 两式相减，得.‎ 即，‎ 即，‎ 即.‎ 因为，所以，即.‎ 所以，数列是首项为，公差为的等差数列.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知.‎ 所以.‎ ‎19.如图,直三棱柱中,分别为的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)法一：要证平面，只需证明即可，通过构造平行四边形可证之；‎ 法二：可先证平面平面，利用面面平行的性质即可得到平面;‎ ‎（2）法一：由于即为与平面所成的角，利用数据求之；‎ 法二：（等积法）利用等积法计算出到平面的距离，从而要求的答案为：即可.‎ ‎【详解】（1）法一：取中点，连接，在直三棱柱中，‎ ‎.‎ ‎∵为中点，为中点，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 法二：取中点，连结，在直三棱柱中，.‎ ‎∵为中点，为中点，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ 又平面，平面，∴平面.‎ ‎∵分别为中点，∴.‎ 又平面，平面，∴平面.‎ 平面平面.平面平面.‎ ‎（2）法一：直三棱柱中，平面，∴.‎ 又∵，且，∴平面.‎ 过作于.∵平面，∴.‎ 又平面.‎ 又即为与平面所成的角.‎ ‎.‎ 法二：（等积法）与平面所成的角相等.‎ 连结，直三棱柱中，平面，∴.‎ 又平面.‎ ‎，.‎ 设到平面的距离为，.‎ ‎∵，即.‎ 设与平面所成的角为，.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行，线面角所成正弦值的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，分析能力，转化能力，计算能力.‎ ‎20.已知函数=为常数),且.‎ ‎(1)判断函数在定义域上的奇偶性,并证明;‎ ‎(2)对于任意的恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入求出a，b值，根据奇偶性定义判断即可；‎ ‎（2）变量分离构造函数g（x），把恒成立问题转化为最值问题解决即可．‎ ‎【详解】(1)由已知可得==,‎ 解得 所以, 函数奇函数.‎ 证明如下:的定义域为,‎ ‎==, ∴函数为奇函数,‎ ‎=,‎ ‎==‎ 故对于任意的恒成立等价于 令==‎ 则当时,‎ 故 ‎ ‎ 即的取值范围为 ‎【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎21.某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W(吨)与时间t(小时，且规定早上6时t＝0)的函数关系为：W＝100．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管．‎ ‎（1）若进水量选择为2级，试问：水塔中水的剩余量何时开始低于10吨？‎ ‎（2）如何选择进水量，既能始终保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?‎ ‎【答案】（1）从7时起，水塔中水的剩余量何时开始低于10吨．‎ ‎（2）进水量应选为第4级 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由已知条件计算当进水量选择为2级时，水塔中水的剩余量化简为，然后计算出结果 ‎⑵结合题意得，分别计算出结果 ‎【详解】（1）当时，由得，且 所以，．‎ 所以从7时起，水塔中水的剩余量何时开始低于10吨．‎ ‎（2）根据题意，进水x级，所以． ‎ 由左边得，‎ 当时，有最大值．所以．‎ 由右边得＋＋1，‎ 当时，＋＋1有最小值，‎ 所以 综合上述，进水量应选为第4级 ‎【点睛】本题以函数在实际生活中的应用为例，考查了着重考查了数学建模的基本应用，然后转化为函数来求解，需要审准题意，构建函数表达式来求解。‎ ‎22.已知点及圆：.‎ ‎(1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．‎ ‎(2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）或；（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于建立方程,解出子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为,经验证可知也符合.(2)将直线方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平分线经过圆心”,求出直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在.‎ 试题解析:‎ ‎ (1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.‎ 又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，‎ 由＝1，解得k＝－.‎ 所以直线方程为，即3x＋4y－6＝0.‎ 当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件 ‎(2)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.‎ 由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，‎ 故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，‎ 解得a<0.‎ 则实数a的取值范围是(－∞，0)．‎ 设符合条件的实数a存在．‎ 由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.‎ 而kAB＝a＝－，所以a＝.‎ 由于，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问由于题目给出圆心到直线的距离,故可利用点到直线的距离公式,建立方程,求的直线的斜率.由于直线的斜率可能不存在,故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么直线和圆方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.‎ ‎ ‎