数学理卷·2018届江西省九江第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届江西省九江第一中学高二上学期期末考试（2017-01）

九江一中 2016 -2017 学年上学期期末考试 高二数学(理科)试卷 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 注意事项： 1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，答题时间 120 分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2. 第 I 卷（选择题）答案必须使用 2B 铅笔填涂；第 II 卷（非选择题）必须将答案卸载答 题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管。 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.【来源：全,品…中&高*考+网】 1、如果 ，那么下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 2、 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 3、已知双曲线 的离心率等于 ，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 4、已知命题 ，命题 ，则 是 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5、若实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. B.2 C. D. | 3 | 1x y− ≤ ≤ 2x yz x y += + 5 3 3 5 1 2 0a b< < 1 1 a b < 2ab b< 2ab a− < − 1 1 a b − < − { }na等差数列 中， ，， 116 497 ==+ aaa =12a则 2 2 2 2: 1x yC a b − = 5 2 15, 2      C C 2 2 116 4 y x− = 2 2 14 xy − = 2 2 14 y x− = 2 2 14 x y− = 1:sin 2p x = : 2 6q x k k Z π π= + ∈， p q ,x y 6、已知数列 为等比数列，则下列结论正确的是（ ） A． B．若 ，则 C．若 ，则 D． 7、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数 学著作，书中系统的介绍了等差数列， 同类结果在三百多年后的印度才首次出现。书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布， 后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 尺，一个月（按 30 天计算）总共织布 尺， 问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ） A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺 8、若双曲线 的渐近线与圆 （ ）相切，则 （A）5 （B） （C）2 （D） 9、设正数 满足： ，则 的最小值为（ ） A． B． C．4 D．2 10、若椭圆 和圆 ，( 为椭圆的半焦距)，有四个不 同的交点，则椭圆的离心率 的取值范围是( ) A. B. C. D. 11、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|= ， |DE|= ，则 C 的焦点到准线的距离为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 12、如图， 为椭圆 的长轴的左、右端点， 为坐标原点， 为椭 圆上不同于 的三点，直线 ， 围成一个平行四边形 ，则 （ ） A．5 B． C.9 D．14 { }na 231 2aaa ≥+ 24 aa > 31 aa = 21 aa = 2 2 2 3 2 1 2aaa ≥+ 13 aa > 5 390 29 8 29 16 29 32 2 1 2 2 14 x y− = 2 2 2( 5)x y r− + = 0r > r = 5 2 ,x y , 2 3x y x y> + = 1 9 5x y x y +− + 8 3 11 4 ( )22 2 2 1 0yx a b a b + = > > 2 2 2 2 bx y c + = +   c e 5 3 5 5       ， 2 5 5 5       ， 2 3 5 5       ， 50 5       ， 4 2 2 5 1 2A A， 2 2 19 5 x y+ = O S Q T， ， 1 2A A， 1 2QA QA OS， ， OT OPQR 2 2OS OT+ = 3 5+ 第 II 卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13、在△ABC 中，若 ,则 14、在平面内，三角形的面积为 S，周长为 C，则它的内切圆的半径 ．在空间中，三 棱锥的体积为 V，表面积为 S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥 的各个面均相切）的半径 R=___________________ 15、已知 中， ，则 的最大值是 16、设数列 是首项为 0 的递增数列， ， 满足：对于任意的 总有两个不同的根，则 的通项公式为_________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分 10 分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且 （1）求 的值； 【来源：全,品…中&高*考+网】 （2）若 ， ，求三角形 ABC 的面积. （18）（本小题满分 12 分） 已知数列 满足 ， . （1）计算 ， ， ， 的值； （2）根据以上计算结果猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. °=∠== 120,5,3 Cba =c C Sr 2= ABC∆ sin 2sin cos 0A B C+ = tan A { }na ( ) ( ) [ ] * 1 1sin , , ,n n n nf x x a x a a n Nn += − ∈ ∈ [ ) ( )0,1 , nb f x b∈ = { }na ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos (2 )cosa C b c A= − Acos 6=a 8=+ cb { }na 1 1 2n n a a+ = − 1 0a = 2a 3a 4a 5a { }na （19）（本小题满分 12 分） 数列 的前 项和记为 ， ， . （Ⅰ）当 为何值时，数列 是等比数列; （Ⅱ）在（I）的条件下，若等差数列 的前 项和 有最大值，且 ，又 ， ， 成等比数列，求 . 【来源：全,品…中&高*考+网】 20、（本小题满分 12 分） 由 4 个直角边为 的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形 ，沿 折起，使 平面 平面 . （1）求证： ； （2）求二面角 的正切值. 21、（本小题满分 12 分） 已知点 是拋物线 的焦点, 若点 在 上,且 ．F ( )2: 2 0C y px p= > ( )0 ,1M x C 05 4 xMF = }{ na n nS ta =1 1 2 1( )n na S n ∗ + = + ∈N t }{ na }{ nb n nT 153 =T 11 ba + 22 ba + 33 ba + nT 2 ACDEF AD ADEF ⊥ ACD FB AD⊥ C EF D− − （1）求 的值； （2）若直线 经过点 且与 交于 （异于 ）两点, 证明: 直线 与直线 的斜率之积为常数． 【来源：全,品…中&高*考+网】 22、（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的中心为坐标原点，其离心率为 ，椭圆 的一个焦点和抛物线 的 焦点重合． （1）求椭圆 的方程 （2）过点 的动直线 交椭圆 于 、 两点，试问：在平面上是否存在一个定 点 ，使得无论 如何转动，以 为直径的圆恒过点 ，若存在，说出点 的坐标，若不 存在，说明理由． p l ( )3, 1Q − C ,A B M AM BM C 2 2 C yx 42 = C ；     − 03 1S ， l C A B T l AB T T 九江一中 2016 ----2017 学年上学期期末考 试 高二数学试卷 命题人：高二备课组 注意事项： 4. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，答题时间 120 分钟。答题前 ，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 5. 第 I 卷（选择题）答案必须使用 2B 铅笔填涂；第 II 卷（非选择题）必须将答案卸载答 题卡上，写在本试卷上无效。 6. 考试结束，将答题卡交回，试卷由个人妥善保管。 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1、如果 ，那么下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2、 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 【答案】A 3、已知双曲线 的离心率等于 ，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4、已知命题 ，命题 ，则 是 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 0a b< < 1 1 a b < 2ab b< 2ab a− < − 1 1 a b − < − { }na等差数列 中， ，， 116 497 ==+ aaa =12a则 2 2 2 2: 1x yC a b − = 5 2 15, 2      C C 2 2 116 4 y x− = 2 2 14 xy − = 2 2 14 y x− = 2 2 14 x y− = 1:sin 2p x = : 2 6q x k k Z π π= + ∈， p q 【答案】B 5、若实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. B.2 C. D. 【答案】A 6、已知数列 为等比数列，则下列结论正确的是（ ） A． B．若 ，则 C．若 ，则 D． 【答案】D 7、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同 类结果在三百多年后的印 度才首次出现。书中 有这样一个问题，大意为：某女子善于织布， 后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 尺，一个月（按 30 天计算）总共织布 尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ） A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺 【答案】B 8、若双曲线 的渐近线与圆 （ ）相切，则 （A）5 （B） （C）2 （D） 【答案】B 9、设正数 满足： ，则 的最小值为（ ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 10、若椭圆 和圆 ，( 为椭圆的半焦距)，有四个不同 的交点，则椭圆的离心率 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A | 3 | 1x y− ≤ ≤ 2x yz x y += + 5 3 3 5 1 2 { }na 231 2aaa ≥+ 24 aa > 31 aa = 21 aa = 2 2 2 3 2 1 2aaa ≥+ ,x y 13 aa > 5 390 29 8 29 16 29 32 2 1 2 2 14 x y− = 2 2 2( 5)x y r− + = 0r > r= 5 2 ,x y , 2 3x y x y> + = 1 9 5x y x y +− + 8 3 11 4 ( )22 2 2 1 0yx a b a b + = > > 2 2 2 2 bx y c + = +   c e 5 3 5 5       ， 2 5 5 5       ， 2 3 5 5       ， 50 5       ， 11、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB |= ， |DE|= ，则 C 的焦点到准线的距离为 （A）2 （B）4 （C）6 （D ）8 【答案】B 12、如图， 为椭圆 的长轴的左、右端点， 为坐标原点， 为椭圆 上 不 同 于 的 三 点 ， 直 线 ， 围 成 一 个 平 行 四 边 形 ， 则 （ ） A．5 B． C.9 D．14 【答案】D 第 II 卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13、在△ABC 中，若 ,则 【答案】7 14、在平面内，三角形的面积为 S，周长为 C，则它的内切圆的半径 ．在空间中，三 棱锥的体积为 V，表面积为 S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥 的各个面均相切）的半径 R=___________________ 【答案】 15、已知 中， ，则 的最大值是 【答案】 16、设数列 是首项为 0 的递增数列， ，满 足：对于任意的 总有两个不同的根，则 的通项公式为_________ 【答案】 °=∠== 120,5,3 Cba =c C Sr 2= 3V S 4 2 2 5 1 2A A， 2 2 19 5 x y+ = O S Q T， ， 1 2A A， 1 2Q A Q A O S， ， O T O PQ R 2 2OS OT+ = 3 5+ ABC∆ sin 2 sin co s 0A B C+ = tan A 3 3 { }na ( ) ( ) [ ] * 1 1sin , , ,n n n nf x x a x a a n Nn += − ∈ ∈ [ ) ( )0,1 , nb f x b∈ = { }na ( )1 2n n na π−= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分 10 分） 在 中，角 所对的边分别为 ，且 （1）求 的值； （2）若 ， ，求三角形 ABC 的面积. 解析：（1）由已知及正弦定理可得 ……………2 分 由两角和的正弦公式得 ………………4 分 由三角形的内角和可得 ……………… 5 分 因为 ，所以 …………………6 分 (2) 由余弦定理得： ， ，………………9 分 由（1）知 ………………………10 分 所以 .…………12 分 （18）（本小题满分 12 分） 已知数列 满足 ， . （1）计算 ， ， ， 的值； （2）根据以上计算结果猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 解析：解：（1）由 和 ，得 ， ， ， . （4 分） （2）由以上结果猜测： （6 分） A B C∆ , ,A B C , ,a b c cos (2 ) cosa C b c A= − Acos 6=a 8=+ cb ABACCA cossin2cossincossin =+ ABCA cossin2)sin( =+ ABB cossin2sin = 0sin ≠B 2 1cos =A ( ) bcbccbbccb 36432 1236 222 −=−+=×−+= 3 28=∴bc 2 3sin =A 3 37 2 3 3 28 2 1 =××=∆ABCS { }na 1 1 2n n a a+ = − 1 0a = 2a 3a 4a 5a { }na 1 1 2n n a a+ = − 1 0a = 2 1 1 2 0 2a = =− 3 1 2 1 32 2 a = = − 4 1 3 2 42 3 a = = − 5 1 4 3 52 4 a = = − 1 n na n −= 用数学归纳法证明如下： （Ⅰ）当 时 ，左边 ，右边 ，等式成立. （8 分） （Ⅱ）假设当 时,命题成立，即 成立. 那么，当 时， 这就是说，当 时等式成立. 由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测 对于任意正整数 都成立.（12 分） （19）（本小题满分 12 分） 数列 的前 项和记为 ， ， . （Ⅰ）当 为何值时，数列 是等比数列; （Ⅱ）在（I）的条件下，若等差数列 的前 项和 有最大值，且 ，又 ， ， 成等比数列，求 . 解析：（I）由 ，可得 ， 两式相减得 ， ∴当 时， 是等比数列， 要使 时， 是等比数列，则只需 ，从而 . （II）设 的公差为 d，由 得 ，于是 ， 故可设 ，又 ， 由题意可得 ， 解得： ， ∵等差数列 的前 项和 有最大值，∴ ∴ . 1n = 1 0a= = 1 1 01 −= = ( 1)n k k= ≥ 1 k ka k −= 1n k= + 1 1 1 ( 1) 1 12 1 12 k k k ka ka k k k + + −= = = =−− + +− 1n k= + 1 n na n −= n }{ na n nS ta =1 1 2 1( )n na S n ∗ + = + ∈ N t }{ na }{ nb n nT 153 =T 11 ba + 22 ba + 33 ba + nT 121 +=+ nn Sa 12 1( 2)n na S n−= + ≥ )2(3,2 11 ≥==− ++ naaaaa nnnnn 即 2≥n }{ na 1≥n }{ na 312 1 2 =+= t t a a 1=t }{ nb 153 =T 15321 =++ bbb 52 =b dbdb +=−= 5,5 31 9,3,1 321 === aaa 2)35()95)(15( +=+++− dd 10,2 21 −== dd }{ nb n nT 10,0 −=< dd 2520)10(2 )1(15 nnnnnTn −=−×−+= 【来源：全,品…中&高*考+网】 20、（本小题满分 12 分） 由 4 个直角边为 的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形 ，沿 折起，使 平面 平面 . （1）求证： ； （2）求二面角 的正切值. 解析： 法一：（1）作 于 ，连结 . ∵等腰 ，∴点 为 的中点. 而等腰 ,∴ ，而 ， ∴ 平面 ，∴ . （2）∵等腰 和等腰 ， ∴ ，∴ . 又∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ，作 ，连结 ， 即 为二面角 的平面角. 在 中， ， ， ， ∴ ，∴二面角 的正切值为 2. 法二：（1）作 于 ，连结 ，∵平面 平面 ，∴ 平面 . ∵等腰 ，∴点 为 的中点，而等腰 ， ∴ . 如图，建立空间直角坐标系， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ，∵ ，∴ . （2）显然平面 的法向量 ， 平面 中， ， ， ∴平面 的法向量 ， 2 A C D E F A D A D E F ⊥ ACD F B A D⊥ C E F D− − FO AD⊥ O O B R t A F D∆ O A D R t A B D∆ BO AD⊥ 0F O B O = A D ⊥ F O B F B A D⊥ R t A B D∆ Rt C BD∆ 090AD C∠ = C D AD⊥ A D E F ⊥ ACD A D E F  A C D A D= CD ⊥ A D E F D M F E⊥ M C D M C∠ C E F D− − R t M D C∆ 090M DC∠ = 1M D = 2D C = tan 2D M C∠ = C E F D− − FO AD⊥ O O B A D E F ⊥ ACD FO ⊥ ACD R t A F O∆ O A D R t A B D∆ BO AD⊥ (0, 0,1)F (1, 0, 0)A ( 1, 0, 0)D − ( 1, 2, 0)C − (0,1, 0)B ( 2, 0,1)E − ( 2,0,0)AD = − (0,1, 1)FB = − 0AD FB⋅ =  F B A D⊥ D E F 1 (0,1,0)n = C E F ( 2,0,0)FE = − ( 1, 2, 1)FC = − − C E F 2 (0,1,2)n = ∴ ，∴ ， ∴二面角 的正切值为 2. 21、（本小题满分 12 分） 已 知点 是拋物线 的焦点, 若点 在 上,且 ． （1）求 的值； （2）若直线 经过点 且与 交于 （异于 ）两点, 证明: 直线 与直线 的斜率之积为常数． 解析：（1）由抛物线定义知 ,则 ,解得 ,又点 在 上, 代入 ,得 ,解得 ． （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 , 当 直 线 经 过 点 且 垂 直 于 轴 时 , 此 时 , 则 直 线 的 斜 率 , 直 线 的 斜 率 , 所 以 ．当直线 不垂直于 轴时, 设 , 则 直 线 的 斜 率 , 同 理 直 线 的 斜 率 ,设直线 的斜率为 , 且经过 ,则 直线 的方程为 ．联立方程 ,消 得, , 所以 ,故 , F ( )2: 2 0C y px p= > ( )0 ,1M x C 05 4 xMF = p l ( )3, 1Q − C ,A B M AM BM 0 2 pMF x= + 0 0 5 2 4 px x+ = 0 2x p= ( )0 ,1M x C 2: 2C y px= 02 1px = 0 11, 2x p= = ( ) 21,1 , :M C y x= l ( )3, 1Q − x ( ) ( )3, 3 , 3, 3A B − AM 3 1 2AMk −= BM 3 1 2BMk − −= 3 1 3 1 1 2 2 2AM BMk k − += − × = − l x ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AM 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1AM y yk x y y − −= = =− − + BM 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1,1 1 1 1BM AM BMk k ky y y y y y y = ∴ = =+ + + + + +  l ( )0k k ≠ ( )3, 1Q − l ( )1 3y k x+ = − ( ) 2 1 3y k x y x  + = − = x 2 3 1 0ky y k− − − = 1 2 1 2 1 3 1 1, 3ky y y yk k k ++ = = − = − − 1 2 1 2 1 1 1 1 11 23 1 AM BMk k y y y y k k = = = −+ + + − − + + 1 2 5cos , 5n n = 1 2tan , 2n n = C E F D− − 综上, 直线 与直线 的斜率之积为 ． 22、（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的中心为坐标原点，其离心率为 ，椭圆 的一个焦点和抛物线 的焦 点重合． （1）求椭圆 的方程 （2）过点 的动直线 交椭圆 于 、 两点，试问：在平面上是否存在一个定点 ，使得无论 如何转动，以 为直径的圆恒过点 ，若存在，说出点 的坐标，若不存在， 说明理由． 解析：（1）抛物线焦点的坐标为 ，则椭圆 的焦点在 轴上 设椭圆方程为 由题意可得 ， ， ， ∴ 椭圆方程为 ……3 分 （2）若直线 与 轴重合，则以 为直径的圆是 ， 若直线 垂直于 轴，则以 为直径的圆是 由 即两圆相切于点 ……5 分因此所求的点 如 果存在，只能是 ，事实上，点 就是所求的点. ……6 分 证明：当直线 垂直于 轴时，以 为直径的圆过点 ，若直线 不垂直于 轴， 可设直线 ： 设点 ， AM BM 1 2 − C 2 2 C yx 42 = C ；     − 03 1S ， l C A B T l AB T T ( )1,0 C y . ( )012 2 2 2 >>=+ bab x a y 1=c 2=a 122 =−= cab 12 2 2 =+ xy l x AB 122 =+ yx l x AB 9 16 3 1 2 2 =+     + yx    = =⇒    =+     + =+ 0 1 9 16 3 1 1 2 2 22 y x yx yx )0,1( T )0,1( )0,1(T l x AB )0,1(T l x l      += 3 1xky ( )11,A yx ( )22,B yx 由 ， ∴ ……9 分 又 , , ∴ ……11 分 ∴ 即： 故以 为直径的圆恒过点 . 综上可知：在坐标平面上存在一个定点 满足条件. ……12 分       =+      += 12 3 1 2 2 yx xky ( ) 029 1 3 22 2222 =−+++⇒ kxkxk         + − = + − =+ 2 29 1 2 3 2 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx  ),1( 11 yxTA −= ),1( 22 yxTB −= 2121 )1()1( yyxxTBTA +−⋅−=• )3 1)(3 1()1)(1( 21 2 21 +++−−= xxkxx )9 11))(13 1()1( 2 21 2 21 2 kxxkxxk +++−++= （ )9 11(2 3 2 )13 1(2 29 1 )1 2 2 2 2 2 2 2 kk k kk k k +++ − −++ − +=（ 0= TBTA ⊥ TBTA ⊥ , AB )0,1(T )0,1(T