2018-2019学年吉林省白山市高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

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绝密★启用前 吉林省白山市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数在复平面内对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数为的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.‎ ‎【详解】‎ ‎，该复数对应的点为，在第四象限.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.‎ ‎2．的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）‎ A．512 B．-512 C．1 D．-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式系数的和可得。‎ ‎【详解】‎ 展开式中所有项的二项式系数和为.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式系数的性质，属于基础题。‎ ‎3．正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函数，以上推理（ ）‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．以上均不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可。‎ ‎【详解】‎ 大前提：正切函数是奇函数，正确；‎ 小前提：是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；‎ 结论：是奇函数，该函数为偶函数，故错误；‎ 结合三段论可得小前提不正确.‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查简易逻辑，考查三段论，属于基础题。‎ ‎4．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ）‎ A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.28‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得。‎ ‎【详解】‎ 所求概率为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题。‎ ‎5．随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a,b,c成等差数列，a+b+c=1，可解得a,b,c，进而求出.‎ ‎【详解】‎ 由，得.则，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出。‎ ‎6．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对已知函数f(x)求导，由可得a的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎，，解得，即，，则，，曲线在点处的切线方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a。‎ ‎7．六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作分类，甲在左边第一位，有；甲在左边第二位，有；甲在左边第三位，有；‎ 甲在左边第四位，有；甲在左边第五位，有；然后直接相加求解即可 ‎【详解】‎ 甲在左边第一位，有；‎ 甲在左边第二位，有；‎ 甲在左边第三位，有；‎ 甲在左边第四位，有 甲在左边第五位，有；‎ 不同的站法有种，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列问题，属于基础题 ‎8．某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去.”丙说：“是丁去了.”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一假设成立，分析，可推出。‎ ‎【详解】‎ 若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查合情推理，属于基础题。‎ ‎9．某导弹发射的事故率为0.001，若发射10次，记出事故的次数为，则（ ）‎ A．0.0999 B．0.001 C．0.01 D．0.00999‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意服从二项分布，由公式可得求得。‎ ‎【详解】‎ 由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的方差，由服从二项分布的方差公式可直接求出。‎ ‎10．的展开式中含项的系数为（ ）‎ A．160 B．210 C．120 D．252‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，再由二项式通项，可得项的系数。‎ ‎【详解】‎ ‎，，当时，.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式展开式中指定项的系数，解题关键是先化简再根据通项公式求系数。‎ ‎11．某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（ ）‎ A．64 B．81 C．36 D．100‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题甲，乙均有两种情况，一荤一素和两素，再由分步原理可得种数。‎ ‎【详解】‎ 甲有两种情况：一荤一素，种；两素，种.故甲共有种，同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为种.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于基础题。‎ ‎12．已知函数有两个不相同的零点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导得，当时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当时，为最小值，函数在定义域上有两个零点，则，即，又，则在上有唯一的一个零点，由，那么，构造新函数，求导可得g(a)单调性，再由，即可确定f(x)在上有一个零点，则a的范围可知。‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，且.‎ ‎①当时，成立，所以函数在为上增函数，不合题意；‎ ‎②当时，，所以函数在上为增函数；‎ 当时，，所以函数在上为减函数.‎ 此时的最小值为，依题意知，解得.‎ 由于，，函数在上为增函数，所以函数在上有唯一的一个零点.又因为，所以.‎ ‎，令，当时，，所以.‎ 又，函数在上为减函数，且函数的图象在上不间断，所以函数在上有唯一的一个零点.‎ 综上，实数的取值范围是.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围。通过求导逐步缩小参数a的范围，题中为的最小值且，解得，，先运用零点定理确定点a右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知复数是纯虚数，则实数_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简为的形式，根据复数是纯虚数求得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为为纯虚数，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数乘法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.‎ ‎14．已知随机变量服从正态分布，，则__________．‎ ‎【答案】0.22.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．‎ ‎15．若是函数的极值点，则在上的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对f(x)求导，根据可解得a的值，再根据函数的单调性求出区间 上的最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 则，解得，所以，‎ 则.令，得或；‎ 令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由求出未知量a。‎ ‎16．某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础，增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修，且每门课程都有人选，则不同的选择方法共有______种（用数学作答）.‎ ‎【答案】540‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知有3种不同的分组方法，依次求出每种的个数再相加即得。‎ ‎【详解】‎ 由题可知6名学生不同的分组方法有三类：①4，1，1；②3，2，1；③2，2，2.所以不同的选择方法共有种.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查计数原理，章节知识点涵盖全面。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某周末，郑州方特梦幻王国汇聚了八方来客.面对该园区内相邻的两个主题公园“千古蝶恋”和“西游传说”，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同.某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题公园中二选一）进行了问卷调查.调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择“西游传说”，而选择“西游传说”的未成年人有20人.‎ ‎（1）根据题意，请将下面的列联表填写完整；‎ 选择“西游传说”‎ 选择“千古蝶恋”‎ 总计 成年人 未成年人 总计 ‎（2）根据列联表的数据，判断是否有的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.‎ 附参考公式与表：（）.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析（2）没有的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题干可直接填表；（2）用公式求出，进而判断与年龄有无关系。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）根据题目中的数据，列出列联表如下：‎ 选择“西游传说”‎ 选择“千古蝶恋”‎ 总计 成年人 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 未成年人 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（2）的观测值.‎ 因为，所以没有的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验，注意计算避免马虎出错。‎ ‎18．某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动.‎ ‎（1）求这2人来自两个不同年级的概率；‎ ‎（2）设表示选到三年级学生的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1).(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）正难则反，先求这2人来自同一年级的概率，再用1减去这个概率，即为这2人来自两个不同年级的概率；‎ ‎（2）先求X的所有可能的取值，为0,1,2，再分别求 时对应的概率P进而得到分布列，利用 计算可得数学期望。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设事件表示“这2人来自同一年级”,‎ ‎ ‎ 这2人来自两个不同年级的概率为.‎ ‎（2）随机变量的可能取值为0,1,2,‎ ‎ , , ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型的概率求解、离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，属于基础题型。‎ ‎19．已知，其前项和为.‎ ‎（1）计算；‎ ‎（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得前4项，依次求和即可得到答案；‎ ‎（2）由（1）得到前四项和的规律可猜想，由数学归纳法，即可做出证明，得到结论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）计算，.‎ ‎（2）猜想.‎ 证明：①当时，左边，右边，猜想成立.‎ ‎②假设猜想成立，即成立，‎ 那么当时，，‎ 而，故当时，猜想也成立.‎ 由①②可知，对于，猜想都成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳、猜想与数学归纳法的证明方法，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论．其中在到的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力．‎ ‎20．某工厂生产某种型号的电视机零配件，为了预测今年月份该型号电视机零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度月份至月份该型号电视机零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价（单位：元）和销售量（单位：千件）之间的组数据如下表所示：‎ 月份 销售单价（元）‎ 销售量（千件）‎ ‎（1）根据1至月份的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到）；‎ ‎（2）结合（1）中的线性回归方程，假设该型号电视机零配件的生产成本为每件元，那么工厂如何制定月份的销售单价，才能使该月利润达到最大（计算结果精确到）？‎ 参考公式：回归直线方程，其中.‎ 参考数据：.‎ ‎【答案】（1）（2）7月份销售单价为10.8元时，该月利润才能达到最大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式可计算线性回归方程.‎ ‎（2）利用（1）的回归方程可得7月份的利润函数，利用二次函数的性质可得其最大值.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）由条件知，，，， ‎ 从而，‎ 故关于的线性回归方程为.‎ ‎（2）假设7月份的销售单价为元，则由（1）可知，7月份零配件销量为，‎ 故7月份的利润， ‎ 其对称轴，故7月份销售单价为10.8元时，该月利润才能达到最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的计算，注意线性回归方程所在的直线必定过点.此类问题是基础题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若，求的零点个数；‎ ‎（2）若，，证明：，.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将a的值代入f(x)，再求导得，在定义域内讨论函数单调性，再由函数的最小值正负来判断它的零点个数；（2）把a的值代入f(x)，将整理化简为，即证明该不等式在上恒成立，构造新的函数，利用导数可知其在定义域上的最小值，构造函数，由导数可知其定义域上的最大值，二者比较大小，即得证。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：因为，所以.‎ 令，得或；令，得，‎ 所以在，上单调递增，在上单调递减，‎ 而，，，‎ 所以的零点个数为1.‎ ‎（2）证明：因为，从而.‎ 又因为，‎ 所以要证，恒成立，‎ 即证，恒成立，‎ 即证，恒成立.‎ 设，则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 所以.‎ 设，则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 所以，所以，‎ 所以，恒成立，‎ 即，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用导数求函数的零点个数以及证明不不等式，运用了构造新的函数的方法。‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线：（为参数），直线：（为参数）.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）点是曲线上的一个动点，求到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）直线与曲线相离（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先分别求出曲线C和直线l的普通方程，再联立求，判断位置关系；（2）由点到直线的距离公式可得点P到直线l的距离最大值。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为.‎ 由，得，‎ 因为，‎ 所以直线与曲线相离.‎ ‎（2）设点，则到直线：的距离 ‎（其中），‎ 所以到直线的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数化为普通方程，以及用点到直线的距离公式求曲线上动点到直线的最大值。‎ ‎23．已知，.‎ ‎（1）证明：.‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）不等式左右都大于0，两边同时平方，整理即要证明，再平方，且，，即得证；（2）证明即可，提公因式整理得证。‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）欲证明，‎ 只需证明，‎ 即证，‎ 两边平方，得，因为，所以显然成立，得证.‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明不等式，（1）用两边同时平方的方法，（2）用做差法来证明，注意（1）可以平方的条件是不等式两边都大于零。‎