2018届二轮复习几何证明选讲课件（江苏专用）

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专题 9 　系列 4 选讲 第 39 练　几何证明选讲 本练主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 1.(2016· 课标全国乙 ) 如图， △ OAB 是等腰三角形， ∠ AOB ＝ 120°. 以 O 为圆心 ， OA 为半径作圆 . (1) 证明：直线 AB 与 ⊙ O 相切； 证明　 设 E 是 AB 的中点，连结 OE . 因为 OA ＝ OB ， ∠ AOB ＝ 120° ， 所以 OE ⊥ AB ， ∠ AOE ＝ 60°. 在 Rt △ AOE 中， OE ＝ AO ，即 O 到直线 AB 的距离等于 ⊙ O 的半径，所以直线 AB 与 ⊙ O 相切 . 解析答案 1 2 3 (2) 点 C ， D 在 ⊙ O 上，且 A ， B ， C ， D 四点共圆，证明： AB ∥ CD . 证明　 因为 OA ＝ 2 OD ，所以 O 不是 A ， B ， C ， D 四点所在圆的圆心 . 设 O ′ 是 A ， B ， C ， D 四点所在圆的圆心，作直线 OO ′ . 由 已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上，又 O ′ 在线段 AB 的垂直平分线上， 所以 OO ′⊥ AB . 同理可证， OO ′⊥ CD ，所以 AB ∥ CD . 1 2 3 解析答案 解　 由切割线定理知 PA 2 ＝ PB · PC ，且 BC ＝ 3 PB ， 1 2 3 解析答案 3.(2015· 课标全国 Ⅱ ) 如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点， ⊙ O 与 △ ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G ，且与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点 . (1) 证明： EF ∥ BC ； 证明　 由于 △ ABC 是等腰三角形， AD ⊥ BC ， 所以 AD 是 ∠ CAB 的平分线 . 又因为 ⊙ O 分别与 AB ， AC 相切于点 E ， F ， 所以 AE ＝ AF ，故 AD ⊥ EF . 从而 EF ∥ BC . 1 2 3 解析答案 返回 1 2 3 解　 由 (1) 知， AE ＝ AF ， AD ⊥ EF ，故 AD 是 EF 的垂直平分线， 又 EF 为 ⊙ O 的弦，所以 O 在 AD 上 . 连结 OE ， OM ，则 OE ⊥ AE . 由 AG 等于 ⊙ O 的半径得 AO ＝ 2 OE ，所以 ∠ OAE ＝ 30°. 因此 △ ABC 和 △ AEF 都是等边三角形 . 返回 高考 必会题型 题型一　相似三角形及射影定理 1. 相似三角形的判定定理 判定定理 1 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 . 判定定理 2 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 . 判定定理 3 ：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 . 2. 相似三角形的性质 (1) 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； (2) 相似三角形周长的比等于相似比； (3) 相似三角形面积的比等于相似比的平方 . 3. 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 . 解析答案 点评 点评 证明　 由三角形的内角平分线定理得， 在 Rt △ ABC 中，由射影定理知 ， AB 2 ＝ BD · BC ， 点评 (1) 在使用直角三角形射影定理时，要学会将 “ 乘积式 ” 转化为相似三角形中的 “ 比例式 ”. (2) 证题时，作垂线构造直角三角形是解该类问题的常用方法 . 解析答案 变式训练 1 　 如图所示，在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， CD ⊥ AB 于 D ，且 AD ∶ BD ＝ 9 ∶ 4 ，求 AC ∶ BC 的值 . 解　 方法一　因为 ∠ ACB ＝ 90° ， CD ⊥ AB 于 D ，所以由射影定理， 得 AC 2 ＝ AD · AB ， BC 2 ＝ BD · AB ， 又 AD ∶ BD ＝ 9 ∶ 4 ，所以 AC ∶ BC ＝ 3 ∶ 2. 方法二　因为 AD ∶ BD ＝ 9 ∶ 4 ， 所以可设 AD ＝ 9 k ， BD ＝ 4 k ， k 为正实数 . 又 ∠ ACB ＝ 90° ， CD ⊥ AB 于点 D ， 由射影定理，得 CD 2 ＝ AD · BD ，所以 CD ＝ 6 k . 所以 AC ∶ BC ＝ 3 ∶ 2. 题型二　相交弦定理、切割线定理的应用 1. 圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 . 2. 圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 . 3. 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 . 4. 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 . 5. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 . 点评 例 2 　 如图所示， AB 为 ⊙ O 的直径， P 为 BA 的延长线上一点， PC 切 ⊙ O 于点 C ， CD ⊥ AB ，垂足为 D ，且 PA ＝ 4 ， PC ＝ 8 ，求 tan ∠ ACD 和 sin P . 解析答案 点评 解　 连结 OC ， BC . 因为 PC 为 ⊙ O 的切线 ，所以 PC 2 ＝ PA · PB . 故 8 2 ＝ 4· PB ，所以 PB ＝ 16 ， 所以 AB ＝ 16 － 4 ＝ 12 . 由 条件 ， 得 ∠ PCA ＝ ∠ PBC ， 又 ∠ P ＝ ∠ P ，所以 △ PCA ∽△ PBC . 解析答案 因为 AB 为 ⊙ O 的直径 ，所以 ∠ ACB ＝ 90°. 又 CD ⊥ AB ，所以 ∠ ACD ＝ ∠ B . 点评 因为 PC 为 ⊙ O 的切线，所以 ∠ PCO ＝ 90°. 又 ⊙ O 直径为 AB ＝ 12 ，所以 OC ＝ 6 ， PO ＝ 10. (1) 圆中线段长度成比例的问题，要结合切割线定理、相交弦定理，构造比例关系 . (2) 利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对条件进行转化或等比替换 . 点评 解析答案 变式训练 2 　 如图， ⊙ O 的半径 OB 垂直于直径 AC ， M 为 AO 上一点， BM 的延长线交 ⊙ O 于 N ，过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P . (1) 求证： PM 2 ＝ PA · PC ； 证明　 连结 ON ，则 ON ⊥ PN ，且 △ OBN 为等腰三角形 ， 则 ∠ OBN ＝ ∠ ONB ， ∵∠ PMN ＝ ∠ OMB ＝ 90° － ∠ OBN ， ∠ PNM ＝ 90° － ∠ ONB ， ∴∠ PMN ＝ ∠ PNM ， ∴ PM ＝ PN . 根据切割线定理，有 PN 2 ＝ PA · PC ， ∴ PM 2 ＝ PA · PC . 解析答案 解　 OM ＝ 2 ，在 Rt △ BOM 中， 延长 BO 交 ⊙ O 于点 D ，连结 DN . ∴ MN ＝ BN － BM ＝ 6 － 4 ＝ 2. 题型三　四点共圆的判定 1. 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 2. 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 . 3. 圆内接四边形的性质定理 (1) 圆的内接四边形的对角互补； (2) 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 . 4. 圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 . 例 3 　 如图，已知 △ ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H ， ∠ B ＝ 60° ， F 在 AC 上，且 AE ＝ AF . 证明： (1) B 、 D 、 H 、 E 四点共圆； 解析答案 证明　 在 △ ABC 中，因为 ∠ B ＝ 60° ， 所以 ∠ BAC ＋ ∠ BCA ＝ 120°. 因为 AD 、 CE 分别是 ∠ BAC 、 ∠ BCA 的平分线 ， 所以 ∠ HAC ＋ ∠ HCA ＝ 60° ， 故 ∠ AHC ＝ 120°. 于是 ∠ EHD ＝ ∠ AHC ＝ 120° ， 所以 ∠ EBD ＋ ∠ EHD ＝ 180° ， 所以 B 、 D 、 H 、 E 四点共圆 . (2) CE 平分 ∠ DEF . 点评 解析答案 证明　 连结 BH ，则 BH 为 ∠ ABC 的角平分线， 得 ∠ HBD ＝ 30°. 由 (1) 知 B 、 D 、 H 、 E 四点共圆， 所以 ∠ CED ＝ ∠ HBD ＝ 30°. 又 ∠ AHE ＝ ∠ EBD ＝ 60° ， 由已知可得 EF ⊥ AD ，可得 ∠ CEF ＝ 30°. 所以 CE 平分 ∠ DEF . (1) 如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆； (2) 如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆； (3) 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 . 点评 变式训练 3 　 (2015· 湖南 ) 如图，在 ⊙ O 中，相交于点 E 的两弦 AB ， CD 的中点分别是 M ， N ，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F ，证明： (1) ∠ MEN ＋ ∠ NOM ＝ 180° ； 解析答案 证明　 如图所示，因为 M ， N 分别是弦 AB ， CD 的中点 ， 所以 OM ⊥ AB ， ON ⊥ CD ， 即 ∠ OME ＝ 90° ， ∠ ENO ＝ 90° ， 因此 ∠ OME ＋ ∠ ENO ＝ 180° ， 又 四边形的内角和等于 360° ， 故 ∠ MEN ＋ ∠ NOM ＝ 180 °. 返回 (2) FE · FN ＝ FM · FO . 解析答案 证明　 由 (1) 知， O ， M ， E ， N 四点共圆 ，故 由割线定理即得 FE · FN ＝ FM · FO . 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 解析答案 1. 如图，在 ▱ ABCD 中， E 是 DC 边的中点， AE 交 BD 于 O ， S △ DOE ＝ 9 cm 2 ，则求 △ AOB 的面积 . 解　 ∵ 在 ▱ ABCD 中， AB ∥ DE ， ∵ E 是 CD 的中点， ∴ S △ AOB ＝ 4 S △ DOE ＝ 4 × 9 ＝ 36(cm 2 ). 解析答案 2.(2015· 重庆改编 ) 如图，圆 O 的弦 AB ， CD 相交于点 E ，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ，若 PA ＝ 6 ， AE ＝ 9 ， PC ＝ 3 ， CE ∶ ED ＝ 2 ∶ 1 ，求 BE 的值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 解　 首先由切割线定理得 PA 2 ＝ PC · PD ， CD ＝ PD － PC ＝ 9 ，又 CE ∶ ED ＝ 2 ∶ 1 ， 因此 CE ＝ 6 ， ED ＝ 3 ， 解析答案 3. 如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D . 过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E ，与 AB 相交于点 F ， AF ＝ 3 ， FB ＝ 1 ， EF ＝ ， 求线段 CD 的长 . 1 2 3 4 5 6 7 8 解　 因为 AF · BF ＝ EF · CF ，解 得 CF ＝ 2 ， 设 CD ＝ x ， AD ＝ 4 x ， 故线段 CD 的长为 4. 解析答案 4. 如图， Rt △ ABC 中， ∠ BAC ＝ 90° ， AD ⊥ BC 于 D ， BE 平分 ∠ ABC 交 AC 于 E ， EF ⊥ BC 于 F . 求证： EF ∶ DF ＝ BC ∶ AC . 1 2 3 4 5 6 7 8 证明　 ∵∠ BAC ＝ 90° ，且 AD ⊥ BC ， ∴ 由射影定理得 AC 2 ＝ CD · BC ， 1 2 3 4 5 6 7 8 ∵ EF ⊥ BC ， AD ⊥ BC ， ∴ EF ∥ AD ， 又 BE 平分 ∠ ABC ，且 EA ⊥ AB ， EF ⊥ BC ， 即 EF ∶ DF ＝ BC ∶ AC . 解析答案 5.(2016· 江苏 ) 如图，在 △ ABC 中， ∠ ABC ＝ 90° ， BD ⊥ AC ， D 为垂足， E 是 BC 的中点，求证： ∠ EDC ＝ ∠ ABD . 1 2 3 4 5 6 7 8 证明　 由 BD ⊥ AC ，可得 ∠ BDC ＝ 90° ， 由 E 为 BC 中点，可得 DE ＝ CE ＝ BC ， 则 ∠ EDC ＝ ∠ C . 由 ∠ BDC ＝ 90° ，得 ∠ C ＋ ∠ DBC ＝ 90°. 又 ∠ ABC ＝ 90° ，则 ∠ ABD ＋ ∠ DBC ＝ 90° ， ∴∠ ABD ＝ ∠ C . 又 ∵∠ EDC ＝ ∠ C ， ∴∠ EDC ＝ ∠ ABD . 解析答案 6. 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C ＝ 90° ， BE 平分 ∠ ABC 交 AC 于点 E ，点 D 在 AB 上， DE ⊥ EB ，且 AD ＝ 2 ， AE ＝ 6 . (1) 判断直线 AC 与 △ BDE 的外接圆的位置关系 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解　 取 BD 的中点 O ，连结 OE . 易知点 O 是 △ BDE 的外接圆的圆心， OE 为外接圆的半径 . ∵ BE 平分 ∠ ABC ， ∴∠ CBE ＝ ∠ OBE . 又 ∵ OB ＝ OE ， ∴∠ OBE ＝ ∠ BEO ， ∴∠ CBE ＝ ∠ BEO ， ∴ BC ∥ OE . ∵∠ C ＝ 90° ， ∴ OE ⊥ AC ， ∴ 直线 AC 是 △ BDE 的外接圆的切线， 即直线 AC 与 △ BDE 的外接圆相切 . 解析答案 (2) 求 EC 的长 . 1 2 3 4 5 6 7 8 解　 设 △ BDE 的外接圆的半径为 r . 在 △ AOE 中， OA 2 ＝ OE 2 ＋ AE 2 ， ∴ OA ＝ 2 OE ， ∴∠ A ＝ 30° ， ∠ AOE ＝ 60°. ∴∠ CBE ＝ ∠ OBE ＝ 30° ， 解析答案 7.(2015· 陕西 ) 如图， AB 切 ⊙ O 于点 B ，直线 AO 交 ⊙ O 于 D ， E 两点， BC ⊥ DE ，垂足为 C . (1) 证明： ∠ CBD ＝ ∠ DBA ； 1 2 3 4 5 6 7 8 证明　 因为 DE 为 ⊙ O 直径， 则 ∠ BED ＋ ∠ EDB ＝ 90° ， 又 BC ⊥ DE ，所以 ∠ CBD ＋ ∠ EDB ＝ 90° ， 从而 ∠ CBD ＝ ∠ BED . 又 AB 切 ⊙ O 于点 B ，得 ∠ DBA ＝ ∠ BED ， 所以 ∠ CBD ＝ ∠ DBA . 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 由切割线定理得 AB 2 ＝ AD · AE ， 故 DE ＝ AE － AD ＝ 3 ，即 ⊙ O 直径为 3. 解析答案 8.(2015· 江苏 ) 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， △ ABC 的外接圆 ⊙ O 的弦 AE 交 BC 于点 D . 求证： △ ABD ∽△ AEB . 1 2 3 4 5 6 7 8 证明　 因为 AB ＝ AC ， 所以 ∠ ABD ＝ ∠ C . 又因为 ∠ C ＝ ∠ E ，所以 ∠ ABD ＝ ∠ E ， 又 ∠ BAE 为公共角， 可知 △ ABD ∽△ AEB . 返回