2019-2020学年江西省赣州市寻乌中学高二上学期第二次段考数学（文）试题 解析版
江西省赣州市寻乌中学2019-2020学年高二上学期第二次段考文科数学
1.对于命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则下列说法正确的是( )
A．¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题
B．¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0是真命题
C．¬p：∃x0∈R，x＋2x0＋2>0是真命题
D．¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0是假命题
[解析] B ¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0对于一切x∈R，恒成立，故选B.
2．如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x，y的值为( )
A．2，4 B．4，4
C．5，6 D．6，4
[解析] D 甲＝＝85，解得x＝6，由图可知y＝4，故选D.
3.某校高三年级共有800名学生，学号从1～800号，现用系统抽样抽出样本容量为n的样本；从小号到大号抽出的第1个数为8号，第6个数为168，则抽取的第3个数是多少号( )
A．64 B．72
C．80 D．88
[解析] B 由系统抽样的特点得8＋(6－1)×k＝168，k＝32.所以抽取的第3个数为8＋(3－1)×32＝72(号)，故选B.
4．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是( )
A． (3，4)∪(4，5) B．(1,2) ∪(4，5)
C．(3，4)∪(4，7) D．(1，2)∪(3，5)
[解析]A 由已知得解得3
1
C．a≥4 D．a>4
[解析] D 命题可化为∀x∈[1，2)，a≥x2恒成立．因为x∈[1，2)，所以x2∈[1，4)．所以命题为真命题的充要条件为a≥4.所以命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.
10．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为( )
A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋4
C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋2
[解析] D由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2××2×＝2；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2××π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋2，故选D.
11．已知直线与圆相交于两点，若，则实数的值等于
A．或 B．1或7 C．或7 D．或1
[解析]．C由圆可知，圆心坐标为，圆半径为，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为
，解得或.
故选C．
12．如图，A、B是椭圆C长轴上的两个顶点，M是C上一点，∠MBA＝45°，tan∠MAB＝，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
[解析] D 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
则直线MA，MB的方程分别为y＝(x＋a)，
y＝－x＋a.
联立解得M的坐标为，
所以＋＝1，
化简得a2＝3b2＝3(a2－c2)，
所以＝，所以＝.
13．在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为________．
[解析] 由方程有两不等实根可得：，解得：，
由几何概型公式：.
14. 已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
[解析] 过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.
15．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．
[解析] ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
[答案] ①②③
16．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
[解析]设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
17. 已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
【解】 因为函数y＝cx在R上单调递减，
所以00且c≠1，
所以¬p：c>1.
又因为f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，
所以c≤，即q：00且c≠1，
所以¬q：c>且c≠1.
又因为“p或q”为真，“p且q”为假，
所以p真q假或p假q真．
①当p真，q假时，
{c|01}∩＝∅.
综上所述，实数c的取值范围是
18. 2019年国庆节期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，
85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
(2)若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．
[解] (1)众数的估计值为77.5.
设中位数的估计值为x，则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5.
(2)从题图中可知，车速在[60，65)内的车辆数为0.01×5×40＝2，
车速在[65，70)内的车辆数为0.02×5×40＝4，
记车速在[60，65)内的两辆车为a，b，车速在[65，70)内的四辆车为c，d，e，f，则所有基本事件有：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，
(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个．其中车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的事件有：(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．所以车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率为P＝.
19．如图，在多面体中，底面为矩形，侧面为梯形，，.
（1）求证：；
（2）求证：平面．
证明：（1）因为矩形ABCD
所以AD⊥CD
又因为DE⊥AD，且CDDE=D，CD、DE平面CDE
所以AD⊥平面CDE
又因为CE平面CDE
所以AD⊥CE
（2）因为AB∥CD，CD平面CDE，AB 平面CDE
所以AB∥平面CDE
又因为AF∥DE，DE平面CDE，AF 平面CDE
所以AF∥平面CDE
又因为ABAF=A，AB、AF平面ABF
所以平面ABF∥平面CDE
又因为BF平面ABF
所以BF∥平面CDE
20. 已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上.
（1）求圆C的标准方程
（2）过做圆C的切线，求切线方程。
【解】（1）联立，得，则圆C的圆C坐标为。
因为圆C的半径为1，所以圆的方程为：。
（2）如果不存在，则方程为，是圆的切线；如果斜率存在，设切线方程为：，即。运用距离公式，解得。方程为。
综上所述切线方程为：和。
21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，是棱上一点．
（1）证明：平面平面．
（2）若，为点在平面上的投影，，，求四棱锥的体积．
（1）证明：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）解：取的中点，所以，则．
又，，所以平面，
则，即点在线段上．
又，所以，，
则，
，
，
22.设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
[解] (1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，故椭圆M的方程为＋＝1.
(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2
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