数学文卷·2019届湖南省岳阳县一中高二上学期10月段考（2017-10）

数学文卷·2019届湖南省岳阳县一中高二上学期10月段考（2017-10）

岳阳县一中2019届高二年级10月阶段考试 数学试卷（文科）‎ 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎2．已知sin＝，，那么＝(　　)‎ A． B． C．－ D．‎ ‎3．已知，， ，则与的夹角等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)‎ A．8 B．12 C．6 D．4‎ ‎5．若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|； ②ab3.‎ 则不正确的不等式的个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p的最大值是(　　)‎ ‎　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　‎ A．15 B．14 C．7 D．6‎ ‎7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：‎ 父亲身高x(cm)‎ ‎174‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎178‎ 儿子身高y(cm)‎ ‎175‎ ‎175‎ ‎176‎ ‎177‎ ‎177‎ 则y对x的线性回归方程为(　　)‎ A．＝x－1 B．＝x＋1 C．＝x＋88 D．＝176‎ ‎8．‎ 秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．由他提出的一种多项式简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．用秦九韶算法求多项式，当时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（　　）‎ A．4,2 B．5,2 C．5,3 D．6，2‎ ‎9．在中，角的对边分别为，且，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)‎ A． B． C． D． ‎11．正数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知是锐角的外接圆圆心，，，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎13．已知向量，，，若 ，则m＝________。‎ ‎14．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 。‎ ‎15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N)，则S2 016＝ 。‎ ‎16．若关于的不等式的解集恰好为，那么 。‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）设函数。‎ ‎（1）求函数的周期和单调递增区间；‎ ‎（2）当时，求函数的值域。‎ ‎18．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；‎ ‎（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等。试估计总体中男生和女生人数的比例。‎ ‎19．（12分）某市采取“限价房”摇号制度，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号．已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并决定共同前往某小区抽取房号．目前该小区剩余房源有某单元四、五、六3个楼层共5套房，其中四层有1套房，五层、六层各有2套房．‎ ‎（1）求甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率；‎ ‎（2）求甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率．‎ ‎20．（12分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：‎ 连续剧播放时长（分钟）‎ 广告播放时长（分钟）‎ 收视人次（万）‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．‎ ‎（1）用列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？‎ ‎21．（12分）已知，。‎ ‎（1）若，求的表达式；‎ ‎（2）若函数和函数的图象关于原点对称，求的解析式；‎ ‎（3）若在上是增函数，求实数的取值范围。‎ ‎22．（12分）数列的前项和为，且对任意正整数，都有；‎ ‎（1）试证明数列是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎（2）如果等比数列共有2017项，其首项与公比均为2，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新数列，求数列中所有项的和；‎ ‎（3）如果存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由。‎ 数学试卷（文科）答案 一、选择题：BDCAC ACBDB BA ‎11．解：∵a＞0，b＞0，2a+b=1，‎ ‎∴4a2+b2=1﹣4ab，‎ ‎∴2﹣4a2﹣b2≤t﹣恒成立，转化为t≥2+4ab﹣恒成立，‎ 令f（a，b）=2+4ab﹣=4（ab+﹣）=4﹣，‎ 又由a＞0，b＞0，2a+b=1得：1=2a+b≥2，‎ ‎∴ab≤（当且仅当a=，b=时取“=”）；‎ ‎∴f（a，b）max=4﹣=． t≥．故选：B．‎ ‎12．解：如图，取AB中点D，则，OD⊥AB；‎ ‎∴； 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；‎ 由得，；‎ 两边同乘以得：=；‎ 即；‎ ‎∴；‎ 由正弦定理，∴b=2rsinB，c=2rsinC，代入上式整理得：‎ ‎；‎ ‎∴==﹣2sinA；‎ 又∠A=60°； ∴． ‎ ‎ 故选：A．‎ 二、填空题：13. 14. 15. 16. 4 ‎ 三、解答题：17．解：（1）函数．‎ 化解可得：f（x）=2cos2x+2sinxcosx=．‎ ‎∴函数y=f（x）的周期T= （3分）‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数y=f（x）的单调递增区间为：（k∈Z）； （5分）‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的值域是． （10分）‎ ‎18．解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （3分）‎ ‎（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，‎ 故样本中分数小于40的频率为：0.05，‎ 则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，‎ 估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人， （7分）‎ ‎（3）样本中分数不小于70的频率为：0.6，‎ 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．‎ 故分数不小于70的男生的频率为：0.3，‎ 由样本中有一半男生的分数不小于70，‎ 故男生的频率为：0.6，‎ 即女生的频率为：0.4，‎ 即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2． （12分）‎ ‎19．解：（1）将这5套进行编号，记四层的1套房为a，五层的两套房分别为b1，b2，六层的两套房分别为c1，c2，‎ 则甲、乙两个家庭选房可能的结果有（a，b1），（a，b2），（a，c1），（a，c2），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2 ），（b2，c1），（b2，c2），（c1，c2）共10种．‎ 故甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有2种，‎ 所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为． （6分）‎ ‎（2）甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的可能情况有6种，‎ 所以甲、乙两个家庭恰好住在相邻楼层的概率为． （12分）‎ ‎20．1）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：‎ ‎ （6分）‎ ‎（2）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．‎ 考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．‎ 又∵x，y满足约束条件，‎ ‎∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大． 解方程组，得点M的坐标为（6，3）．‎ ‎∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．‎ ‎（12分）‎ ‎21．解（1）：，‎ ‎=2+sinx﹣cos2x﹣1+sinx=sin2x+2sinx （3分）‎ ‎（2）：设函数y=f（x）的图象上任一点M（x0，y0）‎ 关于原点的对称点为N（x，y） 则x0=﹣x，y0=﹣y，‎ ‎∵点M在函数y=f（x）的图象上 ‎∴﹣y=sin2（﹣x）+2sin（﹣x），即y=﹣sin2x+2sinx ‎∴函数g（x）的解析式为g（x）=﹣sin2x+2sinx （7分）‎ ‎（3）∵h（x）=﹣（1+λ）sin2x+2（1﹣λ）sinx+1，‎ 设sinx=t， ∵x∈ ∴﹣1≤t≤1，‎ 则有h（t）=﹣（1+λ）t2+2（1﹣λ）t+1（﹣1≤t≤1）．‎ ‎①当λ=﹣1时，h（t）=4t+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ=﹣1，‎ ‎②当λ≠﹣1时，对称轴方程为直线 ⅰ） λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1‎ ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0综上，λ≤0． （12分）‎ ‎22．（1）证明：n=1时，b1=1；n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n．‎ n=1时也成立． ∴bn=n为等差数列，首项与公差都为1． （3分）‎ ‎（2）解：通过题意，易得数列{an}的通项公式为，‎ 其所有项的和为 ‎（7分）‎ ‎（3）不等式，‎ 即不等式（n+1）≤（n+1）λ≤，‎ 化为：f（n）=≤λ≤1+=g（n）．‎ ‎∵f（n）≥f（3）=3+，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3时不等式不成立．‎ n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N，‎ 使不等式成立． （12分）‎