2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题 一、单选题 ‎1．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（　　）‎ A．随机抽样 B．分层抽样 C．系统抽样 D．以上都是 ‎【答案】C ‎【解析】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号.‎ ‎【详解】‎ 对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，‎ 从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.‎ ‎2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图知该几何体是一个正四棱锥，结合图中数据求出各条棱长即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；‎ 则，，底面CDEB，‎ 结合图形中的数据，求得，‎ 在中，由勾股定理得，‎ 同理求得，‎ ‎．故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题利用三视图考查了四棱锥的结构特征，属基础题．‎ ‎3．设为等差数列的前项和，.若，则（ ）‎ A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件推导出（n2﹣n）d＜2n2d，从而得到d＞0，所以a7＜0，a8＞0，由此求出数列{Sn}中最小值是S7．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（n+1）Sn＜nSn+1，‎ ‎∴Sn＜nSn+1﹣nSn＝nan+1‎ 即na1na1+n2d，‎ 整理得（n2﹣n）d＜2n2d ‎∵n2﹣n﹣2n2＝﹣n2﹣n＜0‎ ‎∴d＞0‎ ‎∵1＜0‎ ‎∴a7＜0，a8＞0‎ 数列的前7项为负，‎ 故数列{Sn}中最小值是S7‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．‎ ‎4．如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为(   )‎ A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,1.6 D．85,4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，‎ 所剩数据84，84，86，84，87的平均数为；‎ 方差为．‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．‎ ‎5．四面体的三组对棱分别相等，且长度依次为，5.则该四面体的外接球的表面积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为 ‎，5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.‎ 详解：因为将四面体补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为，5，所以由得 因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为 因此四面体的外接球的表面积为，‎ 选D.‎ 点睛：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．‎ ‎6．若圆上总存在点A，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】问题等价于圆 和圆相交或相切，利用两圆圆心距大于等于两圆半径之差、小于等于两圆半径之和求解即可.‎ ‎【详解】‎ 问题可转化为圆和圆相交或相切，‎ 两圆圆心距，‎ 由得，‎ 解得，即，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆与圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于中档题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.‎ ‎7．在锐角三角形中，已知分别是角的对边，且，则面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对条件中利用正弦定理将边化成角，得到的值，利用余弦定理，得到的最大值，再由面积公式得到面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 在中，由正弦定理得 ‎ ，，解得 为锐角三角形，则 由余弦定理得,‎ ‎，，当且仅当时，等号成立 故选B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形中正余弦定理的使用，基本不等式的简单应用，属于基础题.‎ ‎8．若为两条异面直线外的任意一点，则（ ）‎ A．过点有且仅有一条直线与都平行 B．过点有且仅有一条直线与都垂直 C．过点有且仅有一条直线与都相交 D．过点有且仅有一条直线与都异面 ‎【答案】B ‎【解析】解：因为若点是两条异面直线外的任意一点，则过点有且仅有一条直线与都垂直，选B ‎9．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则（ ）‎ A．2018 B．4036 C．2019 D．4038‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵正数数列是公比不等于1的等比数列，且 ‎∴，即.‎ ‎∵函数 ‎∴‎ 令，则 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C.‎ 点睛：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若，则；函数中主要利用对称中心性质：若关于对称，则.‎ ‎10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=　(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据正弦定理可得,‎ 由已知可得,整理可得,‎ ‎,在中.故C正确.‎ ‎【考点】1正弦定理;2余弦定理.‎ ‎11．过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意得曲线表示单位圆在轴上方的部分，设过点的直线 为，即，又由 ‎，所以圆心到直线的距离等于，列出方程即可求解.‎ 详解：由，得，‎ 所以曲线表示单位圆在轴上方的部分，‎ 则过点的直线与曲线由两个交点，则，‎ 设直线的方程为，即，‎ 又由，所以圆心到直线的距离等于，即，‎ 解得，又因为，所以，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中把转化为圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.‎ ‎12．已知函数有两个不同的零点,且方程有两个不同的实根,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知：，且只能分布在的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知:,且只能分布在的中间或两侧,‎ 若分布在的中间,则公差,‎ 故分别为､,此时可求得;‎ 若分布在的两侧,则公差,‎ 故分别为,不合题意.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．‎ ‎13．已知直线，，若直线与关于对称，则的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出和的图像，确定两者的交点，结合直线的斜率，确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由解得和的图像的交点为，由于的斜率为，的斜率为，故的斜率为正数，由此排除C,D选项.结合过，排除A选项.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线关于直线对称的直线方程的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎14．设平面点集，则所表示的平面图形的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 由集合可得其表示的区域为和所对应的平面区域，‎ 集合表示的区域为圆内和圆上的点对应的区域；‎ 作出对应图像，则I，III对应的区域，即为所求平面区域；‎ 因为函数的图像，与圆均关于对称，‎ 所以I，III区域的面积恰好为圆的一半，故所求平面区域的面积为：.‎ 故选：D.‎ ‎15．数列的通项，其前项和为，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得，根据周期公式求出周期为，从而可得结果.‎ 详解：首先对进行化简得，又由关于的取值表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 可得的周期为，则可得，‎ 设，‎ 则，故选A．‎ 点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.‎ 二、填空题 ‎16．已知为直角三角形的三边长，为斜边长，若点在直线上，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，∴c=，‎ 又∵点M（m，n）在直线l：ax+by+2c=0上，‎ ‎∴m2+n2表示直线l上的点到原点距离的平方，‎ ‎∴m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方，‎ 由点到直线的距离公式可得d==2，‎ ‎∴m2+n2的最小值为d2=4，‎ 故答案为4.‎ ‎17．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ．‎ ‎【答案】9．‎ ‎【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，‎ ‎∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.‎ 又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，‎ ‎∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.‎ ‎18．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三棱柱的性质可知，，异面直线与所成的角就是，连接，利用余弦定理即可求解．‎ ‎【详解】‎ 作出草图，如下：‎ 由三棱柱的性质可知，，异面直线与所成的角就是，‎ 连接，又三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，所以， ∴三角形是直角三角形， ‎ 设，则． ‎ 又， 所以． ‎ 在中，由余弦定理可知：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎19．已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式恒成立⇔（）min≥a．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，且 ‎∴1016，当且仅当y＝3x＝时取等号．‎ ‎∵不等式恒成立⇔（）min≥a．‎ ‎∴a∈（﹣∞，16]，‎ 即实数的最大值为16‎ 故答案为16．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．‎ ‎20．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 由已知，即得，‎ 三、解答题 ‎21．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：‎ x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分 ‎(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，‎ 设中位数为a，‎ 由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5‎ 得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 ‎(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，‎ 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，‎ 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，‎ 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分 ‎【考点】频率分布直方图及分层抽样 ‎22．已知数列为等差数列，，且满足，数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（I）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）由等差数列的性质可得：，解得．利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（Ⅱ），利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由等差数列的性质可得：，‎ 解得．‎ 数列满足，‎ 可得：数列是等比数列，公比为2．‎ ‎∵．∴，解得．‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）若，‎ ‎∴数列的前n项和，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 可得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎23．已知向量，记．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）在锐角中，角的对边分别是，且满，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得，由可得，根据二倍角公式可得的值；（2）根据正弦定理消去中的边可得，所以，又，则，得，根据三角函数值域的有界性即可求得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）向量，，记，‎ 则，‎ 因为，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，‎ 由正弦定理得，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 所以，又，所以，‎ 则，即，又，‎ 则，得，‎ 所以，又，‎ 所以的取值范围．‎ ‎【考点】三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.‎ ‎24．如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．‎ ‎（1）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；‎ ‎（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C ‎∴EN⊥侧面A1C NF为EF在侧面A1C内的射影 在直角三角形CNF中，CN=1‎ 则由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C 由三垂线定理可知EF⊥A1C ‎（2）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME 由（1）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF ‎∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ 设∠FAC=α则0°＜α≤45°，‎ 在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα 故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤‎ 故当α=45°时，tanθ达到最小值，‎ tanθ=，此时F与C1重合 ‎25．已知圆C：x2+y2+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．‎ ‎（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．‎ ‎【答案】（1）（2）m＝3‎ ‎【解析】(1)将圆的方程配方，‎ 得2＋(y－3)2＝，‎ 故有＞0，解得m＜.‎ 将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得 消去y，得x2＋2＋x－6×＋m＝0，‎ 整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0， ①‎ ‎∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)＜0，解得m＞8.∴m的取值范围是.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 由OP⊥OQ，得＝0，即x1x2＋y1y2＝0， ②‎ 由①及根与系数的关系，得 x1＋x2＝－2，x1·x2＝， ③‎ 又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，‎ ‎∴y1·y2＝·＝[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，‎ 将③代入上式，得y1·y2＝， ④‎ 将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝＋＝0，解得m＝3.‎ 代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m＝3.‎