高中数学解析几何压轴题专项拔高训练(二)

高中数学解析几何压轴题专项拔高训练(二)

高中数学解析几何压轴题专项拔高训练 一．选择题（共 15 小题） 1．已知倾斜角α≠0 的直线 l 过椭圆 （a＞b＞0）的右焦点交椭圆于 A、B 两点，P 为右准线上任意一点， 则∠APB 为（ ） A ． 钝角 B ． 直角 C ． 锐角 D ． 都有可能 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版 权所有 专题： 压轴题． 分析： 根据题设条件推导出以 AB 为直径的圆与右准线相离．由此可知∠APB 为锐角． 解答： 解：如图，设 M 为 AB 的中点，过点 M 作 MM1 垂直于准线于点 M1，分别过 A、B 作 AA1、BB1 垂直于准 线于 A1、B1 两点． 则 ∴以 AB 为直径的圆与右准线相离． ∴∠APB 为锐角． 点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时作出图形，数形结合，往往能收到事半功倍之效果． 2．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的右焦点为 F，右准线为 l，一直线交双曲线于 P．Q 两点，交 l 于 R 点．则 （ ） A ． ∠PFR＞∠QFR B ． ∠PFR=∠QFR C ． ∠PFR＜∠QFR D ． ∠PFR 与∠AFR 的大小不确定 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设 Q、P 到 l 的距离分别为 d1，d2，垂足分别为 M，N，则 PN∥MQ， = ，又由双曲线第二定义可知 ，由此能够推导出 RF 是∠PFQ 的角平分线，所以∠PFR=∠QFR． 解答： 解：设 Q、P 到 l 的距离分别为 d1，d2，垂足分别为 M，N， 则 PN∥MQ， ∴ = ， 又由双曲线第二定义可知 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴RF 是∠PFQ 的角平分线， ∴∠PFR=∠QFR 故选 B． 点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解． 3．设椭圆 的一个焦点为 F，点 P 在 y 轴上，直线 PF 交椭圆于 M、N， ，则实数λ1+λ2=（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题． 分析： 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 y=k（x﹣c）．将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整 理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0．然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得λ1+λ2 的值． 解答： 解：设 M，N，P 点的坐标分别为 M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，y0）， 又不妨设 F 点的坐标为（c，0）． 显然直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程是 y=k（x﹣c）． 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得（b2+a2k2）x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0． ∴ ， ． 又∵ ， 将各点坐标代入得 ， = ． 故选 C． 点评： 本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选 取和灵活运用． 4．中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 C1 的离心率为 e，直线 l 与双曲线 C1 交于 A，B 两点，线段 AB 中点 M 在 一象限且在抛物线 y2=2px（p＞0）上，且 M 到抛物线焦点的距离为 p，则 l 的斜率为（ ） A ． B ． e2﹣1 C ． D ． e2+1 考点： 圆锥曲线的综合． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用抛物线的定义，确定 M 的坐标，利用点差法将线段 AB 中点 M 的坐标代入，即可求得结论． 解答： 解：∵M 在抛物线 y2=2px（p＞0）上，且 M 到抛物线焦点的距离为 p， ∴M 的横坐标为 ，∴M（ ，p） 设双曲线方程为 （a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， 两式相减，并将线段 AB 中点 M 的坐标代入，可得 ∴ ∴ 故选 A． 点评： 本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 5．已知 P 为椭圆 上的一点，M，N 分别为圆（x+3）2+y2=1 和圆（x﹣3）2+y2=4 上的点，则|PM|+|PN| 的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ． 13 D ． 15 考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题意可得：椭圆 的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1 和（x﹣3）2+y2=4 的圆心，再结合椭圆的定 义与圆的有关性质可得答案． 解答： 解：依题意可得，椭圆 的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1 和（x﹣3）2+y2=4 的圆心， 所以根据椭圆的定义可得：（|PM|+|PN|）min=2×5﹣1﹣2=7， 故选 B． 点评： 本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． 6．过双曲线 ﹣ =0（b＞0，a＞0）的左焦点 F（﹣c，0）（c＞0），作圆 x2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 = （ + ），则双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 圆与圆锥曲线的综合． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题． 分析： 由 = （ + ），知 E 为 PF 的中点，令右焦点为 F′，则 O 为 FF′的中点，则 PF′=2OE=a，能推导出在 Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2，由此能求出离心率． 解答： 解：∵若 = （ + ）， ∴E 为 PF 的中点，令右焦点为 F′，则 O 为 FF′的中点， 则 PF′=2OE=a， ∵E 为切点， ∴OE⊥PF ∴PF′⊥PF ∵PF﹣PF′=2a ∴PF=PF′+2a=3a 在 Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2 即 9a2+a2=4c2 ∴离心率 e= = ． 故选：A． 点评： 本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件． 7．设椭圆 的左焦点为 F，在 x 轴上 F 的右侧有一点 A，以 FA 为直径的圆与椭圆在 x 轴上 方部分交于 M、N 两点，则 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 圆与圆锥曲线的综合． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 若以 FA 为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点，则 M、N 重合（设为 M），此时 A 为椭圆的右 焦点，由此可知 = ，从而能够得到结果． 解答： 解：若以 FA 为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点， 则 M、N 重合（设为 M），此时 A 为椭圆的右焦点，则 = = ． 故选 A． 点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点． 8．已知定点 A（1，0）和定直线 l：x=﹣1，在 l 上有两动点 E，F 且满足 ，另有动点 P，满足 （O 为坐标原点），且动点 P 的轨迹方程为（ ） A ． y2=4x B ． y2=4x（x≠0） C ． y2=﹣4x D ． y2=﹣4x（x≠0） 考点： 圆锥曲线的轨迹问题． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设 P（x，y），欲动点 P 的轨迹方程，即寻找 x，y 之间 的关系式，利用向量间的关系求出向量 、 的 坐标后垂直条件即得动点 P 的轨迹方程． 解答： 解：设 P（x，y），E（﹣1，y1），F（﹣1，y2）（y1，y2 均不为零） 由 ∥ ⇒ y1=y，即 E（﹣1，y）． 由 ∥ ⇒ ． 由 y2=4x（x≠0）． 故选 B． 点评： 本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程． 9．已知抛物线过点 A（﹣1，0），B（1，0），且以圆 x2+y2=4 的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（ ） A ． + =1（y≠0） B ． + =1（y≠0） C ． ﹣ =1（y≠0） D ． ﹣ =1（y≠0） 考点： 圆锥曲线的轨迹问题． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题． 分析： 设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得 a 和 b 的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点 A， B 到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得 x 和 y 的关系 式． 解答： 解：设切线 ax+by﹣1=0，则圆心到切线距离等于半径 ∴ =2 ∴ ， ∴a2+b2= 设抛物线焦点为（x，y），根据抛物线定义可得 平方相加得：x2+1+y2=4（a2+1）① 平方相减得：x=4a， ∴ ② 把②代入①可得：x2+1+y2=4（ +1） 即： ∵焦点不能与 A，B 共线 ∴y≠0 ∴ ∴抛物线的焦点轨迹方程为 故选 B． 点评： 本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键． 10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l 为半圆外一直线，且与 BA 的延长线交于点 T，|AT|=4，半圆上相异两点 M、 N 与直线 l 的距离|MP|、|NQ|满足条件 ，则|AM|+|AN|的值为（ ） A ． 22 B ． 20 C ． 18 D ． 16 考点： 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先以 AT 的中点 O 为坐标原点，AT 的中垂线为 y 轴，可得半圆方程为（x﹣12）2+y2=100，根据条件得出 M， N 在以 A 为焦点，PT 为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的 定义即可求得答案． 解答： 解：以 AT 的中点 O 为坐标原点，AT 的中垂线为 y 轴， 可得半圆方程为（x﹣12）2+y2=100 又 ，设 M（x1，y1），N（x2，y2）， M，N 在以 A 为焦点，PT 为准线的抛物线上；以 AT 的垂直平分线为 y 轴，TA 方向为 x 轴建立坐标系，则 有 抛物线方程为 y2=8x（y≥0），联立半圆方程和抛物线方程， 消去 y 得：x2﹣16x+44=0 ∴x1+x2=16， |AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20． 故选 B． 点评： 本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 11．椭圆 与双曲线 有公共的焦点 F1，F2，P 是两曲线的一个交点，则 cos∠F1PF2=（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 圆锥曲线的共同特征． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用双曲线、椭圆的定义，建立方程，求出|PF1|= ，|PF2|= ，再利用余弦定理，即可求得结 论． 解答： 解：不妨令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2 ① 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2 ② 由①②可得|PF1|= ，|PF2|= ∵|F1F2|=4 ∴cos∠F1PF2= = 故选 A． 点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键． 12．曲线 （|x|≤2）与直线 y=k（x﹣2）+4 有两个交点时，实数 k 的取值范围是（ ） A ． B ． （ ，+∞） C ． D ． 考点： 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 如图，求出 BC 的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线 BE 的斜率 k′，由题意可知，k′＜k≤KBC， 从而得到实数 k 的取值范围． 解答： 解：曲线 即 x2+（y﹣1）2=4，（y≥1），表示以 A（0，1）为圆心，以 2 为半径的圆位 于直线 y=1 上方的部分（包含圆与直线 y=1 的交点 C 和 D），是一个半圆，如图： 直线 y=k（x﹣2）+4 过定点 B（2，4），设半圆的切线 BE 的切点为 E，则 BC 的斜率为 KBC= = ． 设切线 BE 的斜率为 k′，k′＞0，则切线 BE 的方程为 y﹣4=k′（x﹣2），根据圆心 A 到线 BE 距离等于半径 得 2= ，k′= ， 由题意可得 k′＜k≤KBC，∴ ＜k≤ ， 故选 A． 点评： 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想， 判断 k′＜k≤KBC，是解题的关键． 13．设抛物线 y2=12x 的焦点为 F，经过点 P（1，0）的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且 ，则|AF|+|BF|= （ ） A ． B ． C ． 8 D ． 考点： 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据向量关系，用坐标进行表示，求出点 A，B 的坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF|． 解答： 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ∵P（1，0） ∴ =（1﹣x2，﹣y2）， =（x1﹣1，y1） ∵ ， ∴2（1﹣x2，﹣y2）=（x1﹣1，y1） ∴ 将 A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线 y2=12x，可得 ， 又∵﹣2y2=y1 ∴4x2=x1 又∵x1+2x2=3 解得 ∵|AF|+|BF|= 故选 D． 点评： 本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点 A，B 的横坐标． 14．已知双曲线 上的一点到其左、右焦点的距离之差为 4，若已知抛物线 y=ax2 上的 两点 A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线 y=x+m 对称，且 ，则 m 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题． 分析： y1=2x12，y2=2x22，A 点坐标是（x1，2x12），B 点坐标是（x2，2x22）A，B 的中点坐标是（ ， ） 因为 A，B 关于直线 y=x+m 对称，所以 A，B 的中点在直线上，且 AB 与直线垂直 = +m， 由此能求得 m． 解答： 解：y1=2x12，y2=2x22， A 点坐标是（x1，2x12），B 点坐标是（x2，2x22）， A，B 的中点坐标是（ ， ）， 因为 A，B 关于直线 y=x+m 对称， 所以 A，B 的中点在直线上， 且 AB 与直线垂直 = +m， ， x12+x22═ +m，x2+x1=﹣ ， 因为 ， 所以 xx12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2= ， 代入得 ，求得 m= ． 故选 B． 点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解 题时要注意合理地进行等价转化． 15．已知双曲线 上存在两点 M，N 关于直线 y=x+m 对称，且 MN 的中点在抛物线 y2=9x 上，则实数 m 的值为（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 0 或 4 D ． 0 或﹣4 考点： 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题． 分析： 根据双曲线 上存在两点 M，N 关于直线 y=x+m 对称，求出 MN 中点 P（﹣ ， m），利用 MN 的中点在抛物线 y2=9x 上，即可求得实数 m 的值． 解答： 解：∵MN 关于 y=x+m 对称∴MN 垂直直线 y=x+m，MN 的斜率﹣1，MN 中点 P（x0，x0+m）在 y=x+m 上， 且在 MN 上 设直线 MN：y=﹣x+b，∵P 在 MN 上，∴x0+m=﹣x0+b，∴b=2x0+m 由 消元可得：2x2+2bx﹣b2﹣3=0 ∴Mx+Nx=﹣b，∴x0=﹣ ，∴b= ∴MN 中点 P（﹣ ， m） ∵MN 的中点在抛物线 y2=9x 上， ∴ ∴m=0 或 4 故选 D． 点评： 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定 MN 中点 P 的坐标． 二．解答题（共 15 小题） 16．已知椭圆 C： ，F1，F2 是其左右焦点，离心率为 ，且经过点（3，1） （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 A1，A2 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线 A1Q 斜率为 k，且 ， 求直线 A2Q 斜率的取值范围； （3）若 Q 为椭圆上动点，求 cos∠F1QF2 的最小值． 考点： 椭圆的简单性质；椭圆的应用． 菁优网版 权所有 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据椭圆的离心率为 ，且经过点（3，1），求椭圆 C 的标准方程； （2）设 A2Q 的斜率为 k'，Q（x0，y0），则可得 kk'= = ，利用 ，即可求 直线 A2Q 斜率的取值范围； （3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求 cos∠F1QF2 的最小值． 解答： 解：（1）∵椭圆的离心率为 ，且经过点（3，1），建立方程，求出几何量，即可 ∴ ， ∴椭圆 C 的标准方程为 …（3 分） （2）设 A2Q 的斜率为 k'，Q（x0，y0），则 ， …（5 分） ∴kk'= 及 …（6 分） 则 kk'= = 又 …（7 分） ∴ ， 故 A2Q 斜率的取值范围为（ ） …（8 分） （3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 a，b，c，则有 ， 由椭圆定义，有 …（9 分） ∴cos∠F1QF2= …（10 分） = …（11 分） ≥ …（12 分） = = …（13 分） ∴cos∠F1QF2 的最小值为 ．（当且仅当|QF1|=|QF2|时，即 Q 取椭圆上下顶点时，cos∠F1QF2 取得最小值） …（14 分） 点评： 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性 强． 17．已知椭圆 x2+ =1 的左、右两个顶点分别为 A，B．双曲线 C 的方程为 x2﹣ =1．设点 P 在第一象限且在双 曲线 C 上，直线 AP 与椭圆相交于另一点 T． （Ⅰ）设 P，T 两点的横坐标分别为 x1，x2，证明 x1•x2=1； （Ⅱ）设△TAB 与△POB（其中 O 为坐标原点）的面积分别为 S1 与 S2，且 • ≤15，求 S ﹣S 的取值范围． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算． 菁优网版 权所有 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）设直线 AP 的方程与椭圆方程联立，确定 P、T 的横坐标，即可证得结论； （Ⅱ）利用 • ≤15，结合点 P 是双曲线在第一象限内的一点，可得 1＜x1≤2，利用三角形的面积公式求 面积，从而可得 S ﹣S 的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求 S ﹣S 的取值范围． 解答： （Ⅰ）证明：设点 P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直线 AP 的斜率为 k（k＞0）， 则直线 AP 的方程为 y=k（x+1）， 代入椭圆方程，消去 y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0， 解得 x=﹣1 或 x= ，故 x2= ． 同理可得 x1= ． 所以 x1•x2=1． （Ⅱ）设点 P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2）， 则 =（﹣1﹣x1，y1）， =（1﹣x1，y1）． 因为 • ≤15，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+y12≤15，即 x12+y12≤16． 因为点 P 在双曲线上，所以 ，所以 x12+4x12﹣4≤16，即 x12≤4． 因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点，所以 1＜x1≤2． 因为 S1=|y2|，S2= ， 所以 S ﹣S = = 由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即 ． 设 t= ，则 1＜t≤4，S ﹣S =5﹣t﹣ ． 设 f（t）=5﹣t﹣ ，则 f′（t）=﹣1+ = ， 当 1＜t＜2 时，f'（t）＞0，当 2＜t≤4 时，f'（t）＜0， 所以函数 f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4 ] 上单调递减． 因为 f（2）=1，f（1）=f（4）=0， 所以当 t=4，即 x1=2 时，S ﹣S 的最小值为 f（4）=0，当 t=2，即 x1= 时，S ﹣S 的最大值为 f （2）=1． 所以 S ﹣S 的取值范围为[0，1 ] ． 点评： 本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化 归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力． 18．设椭圆 D： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 A，在 x 轴负半轴上有一点 B，满足 ，且 AB⊥AF2． （Ⅰ）若过 A、B、F2 三点的圆 C 恰好与直线 l：x﹣ y﹣3=0 相切，求圆 C 方程及椭圆 D 的方程； （Ⅱ）若过点 T（3，0）的直线与椭圆 D 相交于两点 M、N，设 P 为椭圆上一点，且满足 （O 为坐标 原点），求实数 t 取值范围． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．菁优网版 权所有 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）利用 ，可得 F1 为 BF2 的中点，根据 AB⊥AF2，可得 a，c 的关系，利用过 A、B、F2 三 点的圆 C 恰好与直线 l： 相切，求出 a，即可求出椭圆的方程与圆的方程； （Ⅱ）设直线 MN 方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数 t 取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）由题意知 F1（﹣c，0），F2（c，0），A（0，b）． 因为 AB⊥AF2，所以在 Rt△ABF2 中， ， 又因为 ，所以 F1 为 BF2 的中点， 所以 又 a2=b2+c2，所以 a=2c． 所以 F2（ ，0），B（﹣ ，0）， Rt△ABF2 的外接圆圆心为 F1（﹣ ，0），半径 r=a， 因为过 A、B、F2 三点的圆 C 恰好与直线 l： 相切， 所以 =a，解得 a=2，所以 c=1，b= ． 所以椭圆的标准方程为： ，圆的方程为（x+1）2+y2=1； （Ⅱ）设直线 MN 方程为 y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），则 直线方程代入椭圆方程，消去 y 可得（4k2+3）x2﹣24k2x+36k2﹣12=0， ∴△=（24k2）﹣4（4k2+3）（36k2﹣12）＞0， ∴k2＜ ， x1+x2= ，x1x2= ， ∵ ， ∴x1+x2=tx，y1+y2=ty， ∴tx= ，ty= ， ∴x= ，y= ， 代入椭圆方程可得 3×[ ] 2+4×[ ] 2=12， 整理得 = ∵k2＜ ， ∴0＜t2＜4， ∴实数 t 取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）． 点评： 本题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，难度大 19．已知 F1、F2 为椭圆 C： 的左，右焦点，M 为椭圆上的动点，且 • 的最大值为 1，最小值为﹣2． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M，N 两点，A 为椭圆的左顶点．试判断∠MAN 是否 为直角，并说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）设 M（x'，y'），化简 • = x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），从而求最值，进而求椭圆方程； （2）设直线 MN 的方程为 x=ky﹣6 并与椭圆联立，利用韦达定理求 • 的值，从而说明是直角． 解答： 解：（1）设 M（x'，y'）， 则 y'2=b2﹣ x'2， • = x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a）， 则当 x'=0 时， • 取得最小值 2b2﹣a2=﹣2， 当 x'=±a 时， • 取得最大值 b2=1， ∴a2=4， 故椭圆的方程为 ． （2）设直线 MN 的方程为 x=ky﹣ ， 联立方程组可得， 化简得：（k2+4）y2﹣2.4ky﹣ =0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 y1+y2= ，y1y2=﹣ ， 又 A（﹣2，0）， • =（x1+2，y1）•（x2+2，y2） =（k2+1）y1y2+ k（y1+y2）+ = =﹣（k2+1） + k + =0， 所以∠MAN 为直角． 点评： 本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题． 20．如图，P 是抛物线 y2=2x 上的动点，点 B，C 在 y 轴上，圆（x﹣1）2+y2=1 内切于△PBC，求△PBC 面积的最 小值． 考点： 圆与圆锥曲线的综合． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设 P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设 b＞c．直线 PB：y﹣b= ，化简，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0， 由圆心（1，0）到直线 PB 的距离是 1，知 ，由此导出（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0， 同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，所以（b﹣c）2= ，从而得到 S△PBC= ， 由此能求出△PBC 面积的最小值． 解答： 解：设 P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），设 b＞c． 直线 PB 的方程：y﹣b= ， 化简，得（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0， ∵圆心（1，0）到直线 PB 的距离是 1， ∴ ， ∴（y0﹣b）2+x02=（y0﹣b）2+2x0b（y0﹣b）+x02b2， ∵x0＞2，上式化简后，得 （x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0， 同理，（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0， ∴b+c= ，bc= ， ∴（b﹣c）2= ， ∵P（x0，y0）是抛物线上的一点， ∴ ， ∴（b﹣c）2= ，b﹣c= ， ∴S△PBC= = =（x0﹣2）+ +4 ≥2 +4=8． 当且仅当 时，取等号． 此时 x0=4，y0= ． ∴△PBC 面积的最小值为 8． 点评： 本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性 质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合 理运用． 21．已知直 L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．动圆（圆心为 M）被 L1L2 截得的弦长分别为 8，16． （Ⅰ）求圆心 M 的轨迹方程 M； （Ⅱ）设直线 y=kx+10 与方程 M 的曲线相交于 A，B 两点．如果抛物 y2=﹣2x 上存在点 N 使得|NA|=|NB|成立，求 k 的取值范围． 考点： 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题． 分析： （Ⅰ）设 M（x，y），M 到 L1，L2 的距离分别为 d1，d2，则 d12+42=d22+82．所以 ， 由此能求出圆心 M 的轨迹方程． （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0．AB 的中点为 ，AB 的中垂线为 ，由 ，得 ．由此能求出 k 的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）设 M（x，y），M 到 L1，L2 的距离分别为 d1，d2，则 d12+42=d22+82．…（2 分） ∴ ， ∴x2﹣y2=80，即圆心 M 的轨迹方程 M：x2﹣y2=80． …（4 分） （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），由 ， 得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣180=0． ① ∴AB 的中点为 ，…（6 分） ∴AB 的中垂线为 ，即 ，…（7 分） 由 ，得 ②…（8 分） ∵存在 N 使得|NA|=|NB|成立的条件是：①有相异二解，并且②有解． …（9 分） ∵①有相异二解的条件为 ， ∴ ⇒ 且 k≠±1．③…（10 分） ②有解的条件是 ，∴ ，④…（11 分） 根据导数知识易得 时，k3﹣k+40＞0， 因此，由③④可得 N 点存在的条件是：﹣1 或 1＜k＜ ． …（12 分） 点评： 本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查 运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想． 22．已知直线 l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中 a 是常数，a≠0． （1）求直线 l1 和 l2 交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率． （2）当 a＞0，y≥1 时，轨迹上的点 P（x，y）到点 A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值． 考点： 圆锥曲线的轨迹问题． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题；分类讨论；转化思想． 分析： （1）联立直线 l1 和 l2 的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程，根据 a 的取值 a＞0，﹣1＜a＜0，a=﹣1， a＜﹣1 说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率． （2）通过 a＞0，y≥1 时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点 P（x，y）到点 A（0，b）距离的表达式，通 过配方讨论 b 与 的大小，求出|PA|的最小值． 解答： 解：（1）由 消去 k，得 y2﹣ax2=1 ①当 a＞0 时，轨迹是双曲线，焦点为 ，离心率 ； ②当﹣1＜a＜0 时，轨迹是椭圆，焦点为 ，离心率 ； ③当 a=﹣1 时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为 1； ④当 a＜﹣1 时，轨迹是椭圆，焦点为 ，离心率 （2）当 a＞0 时，y≥1 时，轨迹是双曲线 y2﹣ax2=1 的上半支． ∵|PA|2=x2+（y﹣b）2= = ①当 b＞ 时，|PA|的最小值为 ； ②当 b≤ 时，|PA|的最小值为|1﹣b| 点评： 本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分 类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主． 23．如图，ABCD 是边长为 2 的正方形纸片，沿某动直线 l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻 折后点 B 都落在边 AD 上，记为 B'；折痕与 AB 交于点 E，以 EB 和 EB’为邻边作平行四边形 EB’MB．若以 B 为原 点，BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如下图）： （Ⅰ）．求点 M 的轨迹方程； （Ⅱ）．若曲线 S 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的，等腰梯形 A1B1C1D1 的三边 A1B1，B1C1，C1D1 分别与曲线 S 切于点 P，Q，R．求梯形 A1B1C1D1 面积的最小值． 考点： 圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）设出 M 的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根 据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点 M 的轨迹方程； （2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰 A1B1 的方程，分别令 y=0 和 y=1 求出与两底 的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形 A1B1C1D1 面积，利用基本不等式求出其最小值． 解答： 解：（1）如图，设 M（x，y），B′（x0，2），又 E（0，b） 显然直线 l 的斜率存在，故不妨设直线 l 的方程为 y=kx+b，则 而 BB′的中点 在直线 l 上， 故 ，① 由于 ⇒ 代入①即得 ， 又 0≤x0≤2 点 M 的轨迹方程 （0≤x≤2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分） （2）易知曲线 S 的方程为 （﹣2≤x≤2） 设梯形 A1B1C1D1 的面积为 s，点 P 的坐标为 ． 由题意得，点 Q 的坐标为（0，1），直线 B1C1 的方程为 y=1． 对于 有 ∴ ∴直线 A1B1 的方程为 ， 即： 令 y=0 得， ， ∴ ． 令 y=1 得， ， ∴ 所以 当且仅当 ，即 时，取“=”且 ， 时， s 有最小值为 ．梯形 A1B1C1D1 的面积的最小值为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15 分） 点评： 本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线 斜率；利用基本不等式求函数的最值．属于一道难题． 24．（1）已知一个圆锥母线长为 4，母线与高成 45°角，求圆锥的底面周长． （2）已知直线 l 与平面α成φ，平面α外的点 A 在直线 l 上，点 B 在平面α上，且 AB 与直线 l 成θ， ①若φ=60°，θ=45°，求点 B 的轨迹； ②若任意给定φ和θ，研究点 B 的轨迹，写出你的结论，并说明理由． 考点： 圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）由圆锥的母线长为 4，母线与高成 45°角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定 理可知底面半径为 2 ，由圆周公式 2πR 可算出底面周长． （2）①设 l∩α=C，点 A 在平面α上的射影为点 O．建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有 A（0，0，asin60°）， C（0，﹣acos60°）．设 B（x，y，0），则 =（0，﹣acos60°，﹣asin60°）． =（x，y，﹣asin60°）．所以 ．又由 |•cos45°，知﹣acos60°•y+a2sin60°=a， 平方整理得 ，由此知点 B 的轨迹． ②设 l∩α=C，点 A 在平面α上的射影为点 O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有 A（0，0，asinφ）， C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜ ）．设 B（x，y，0），则（6 分） =（0，﹣acosφ，﹣asinφ）． =（x，y， ﹣asinφ）．所以 φ．由 |•cosθ=a• •cosθ．知 cos2θ•x2+（cos2θ﹣cos2φ） y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．故当φ= 时，点 B 的轨迹为圆；当θ＜φ＜ 时，点 B 的轨 迹为椭圆；当θ=φ＜ 时，点 B 的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点 B 的轨迹为双曲线． 解答： 解：（1）∵圆锥的母线长为 4，母线与高成 45°角， 高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形， 即高和底面半径长度一样， 则由勾股定理可知底面半径为 2 ， 则由圆周公式 2πR 可算出底面周长 4 π； （2 分） （2）①设 l∩α=C，点 A 在平面α上的射影为点 O．如图建立空间直角坐标系， 设|AC|=a，有 A（0，0，asin60°），C（0，﹣acos60°）． 设 B（x，y，0），则 =（0，﹣acos60°，﹣asin60°）． =（x，y，﹣asin60°）． ∴ ． 又∵ |•cos45°=a• ． ∴﹣acos60°•y+a2sin60°=a ． （11 分） 平方整理得 cos245°•x2+（cos245°﹣cos260°）y2+a2ysin60°sin120°+a2sin260°（cos245°﹣sin260°）=0． 即 ， ∴点 B 的轨迹椭圆； （4 分） ②设 l∩α=C，点 A 在平面α上的射影为点 O．如图建立空间直角坐标系， 设|AC|=a，有 A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜ ）．设 B（x，y，0），则（6 分） =（0， ﹣acosφ，﹣asinφ）． =（x，y，﹣asinφ）． ∴ φ． 又∵ |•cosθ=a• •cosθ． ∴﹣acosφ•y+a2sinφ=a ． （11 分） 平方整理得 cos2θ•x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0． i．当 cos2θ﹣cos2φ=0，即θ=φ时，上式为抛物线方程； ii．当 cos2θ﹣cos2φ＞0，即θ＜φ时，上式为椭圆方程； iii．当 cos2θ﹣cos2φ＜0，即θ＞φ时，上式为双曲线方程．（14 分） 故当φ= 时，点 B 的轨迹为圆； 当θ＜φ＜ 时，点 B 的轨迹为椭圆； 当θ=φ＜ 时，点 B 的轨迹为抛物线； 当θ＞φ时，点 B 的轨迹为双曲线． （16 分） 点评： 第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答． 第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”， 以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错． 25．已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 ，且长轴长与短轴长的比是 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1，过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA，PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A，B，求证：直线 AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值． 考点： 椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版 权所有 专题： 压轴题． 分析： （1）待定系数法求椭圆的方程． （2）设出 A、B 坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出 A、B 横坐标之差，纵坐标之差，从而求 出 AB 斜率． （3）设出 AB 直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求 AB 长度，计算 P 到 AB 的距离，计算 △PAB 面积， 使用基本不等式求最大值． 解答： 解：（Ⅰ）设椭圆 C 的方程为 ． 由题意 ，解得 a2=4，b2=2． 所以，椭圆 C 的方程为 ．故点 P（1， ） （Ⅱ）由题意知，两直线 PA，PB 的斜率必存在，设 PB 的斜率为 k， 则 PB 的直线方程为 ． 由 得， ． 设 A（xA，yA），B（xB，yB），则 ，同理可得 ． 则 ， ． 所以直线 AB 的斜率 为定值． （Ⅲ）设 AB 的直线方程为 ，由 得 ． 由 ，得 m2＜8．此时 ， ． 由椭圆的方程可得点 P（1， ），根据点到直线的距离公式可得 P 到 AB 的距离为 ， 由两点间的距离公式可得 = ， 故 = = = ≤ × = ． 因为 m2=4 使判别式大于零，所以当且仅当 m=±2 时取等号，所以△PAB 面积的最大值为 ． 点评： 直线与圆锥曲线的综合问题，注意应用一元二次方程根与系数的关系，式子的化简变形，是解题的难点和 关键． 26．已知点 B（0，1），A，C 为椭圆 上的两点，△ABC 是以 B 为直角顶点的直角三角形． （I）当 a=4 时，求线段 BC 的中垂线 l 在 x 轴上截距的取值范围． （II）△ABC 能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （I）依题意，可知椭圆的方程为： +y2=1，设 C（4cosθ，sinθ），可求得直线 l 的方程为 y=﹣ x+ + ，令 y=0 得 x= = cosθ（cosθ≠0），利用余弦 cosθ的有界性即 可求得线段 BC 的中垂线 l 在 x 轴上截距的取值范围； （II）当等腰直角三角形 ABC 的两条腰 AB 与 BC 不关于 y 轴对称时，设出 AB 的方程为 y=kx+1（k＞0）， BC 的方程为 y=﹣ x+1，利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形 ABC 中的两腰|AB|=|BC|， 借助基本不等式即可求得 a 的取值范围；同理可求两条腰 AB 与 BC 关于 y 轴对称时 a 的取值范围． 解答： 解：（I）∵a=4， ∴椭圆的方程为： +y2=1，故 B（0，1）， 设 C（4cosθ，sinθ）， 则 BC 的中点 M（2cosθ， ）， ∵BC 的斜率 kBC= ， ∴线段 BC 的中垂线 l 的斜率 k=﹣ =﹣ ， ∴直线 l 的方程为：y﹣ =﹣ （x﹣2cosθ）， ∴y=﹣ x+ + ， 令 y=0 得：x= = cosθ（cosθ≠0） ∵﹣1≤cosθ≤1 且 cosθ≠0， ∴﹣ ≤x= cosθ≤ 且 x≠0， ∴线段 BC 的中垂线 l 在 x 轴上截距的取值范围为[﹣ ，0）∪（0， ] ． （II）当等腰直角三角形 ABC 的两条腰 AB 与 BC 不关于 y 轴对称时，作图如右， 设此时过 B（0，1）的 AB 的方程为 y=kx+1（k＞0），则 BC 的方程为 y=﹣ x+1， 由 得：（a2k2+1）x2+2a2kx=0， 设该方程两根为 x1，x2，则 x1+x2=﹣ ，x1x2=0， 则|AB|= =|x1﹣x2|• = • = •| |， 同理可求，|BC|= •| |= •| |， ∵|AB|=|BC|， ∴ •| |= •| |， 约分后整理得：k3﹣a2k2+a2k﹣1=0， 即 a2k（k﹣1）=（k﹣1）（k2+k+1）， 当 k=1 时，AB 的方程为 y=x+1，BC 的方程为 y=﹣x+1，此时两直线关于 y 轴对称，与所设不符，故 k≠1； ∴a2= =k+ +1≥3（当且仅当 k=1 时取等号），又 k≠1， ∴a2＞3， ∴a＞ ，即当 a＞ 时，如图的不关于 y 轴对称等腰直角三角形 ABC 存在， 又不关于 y 轴对称的还有另一个，关于 y 轴对称的必有一个， 因此，当 a＞ 时，以 B 为直角顶点的等腰三角 ABC 共三个． 当 1＜a≤ 时，以 B 为直角顶点的等腰三角 ABC 只有一个，此时两腰关于 y 轴对称． 点评： 本题考查椭圆的性质，着重考查椭圆的参数方程的应用，考查直线的点斜式、截距的综合应用，突出考查 直线与圆锥曲线的位置关系，考查转化思想、方程思想、分类讨论思想的综合应用，考查逻辑思维、创新 思维、综合运算能力，属于难题． 27．如图，P 是抛物线 C：x2=2y 上一点，F 为抛物线的焦点，直线 l 过点 P 且与抛物线交于另一点 Q，已知 P（x1， y1），Q（x2，y2）． （1）若 l 经过点 F，求弦长|PQ|的最小值； （2）设直线 l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与 x 轴交于点 S，与 y 轴交于点 T ①求证： ②求 的取值范围． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）由抛物线的方程求出抛物线的焦点，写出过焦点的直线 l 的方程，和抛物线方程联立后化为关于 x 的 一元二次方程，利用根与系数关系求出 P，Q 的横坐标的和，借助于抛物线的定义把弦长|PQ|转化为两点横 坐标的代数式，利用不等式求弦长|PQ|的最小值； （2）①分别过 P，Q 作 PP′⊥x 轴，QQ′⊥x 轴，利用平行线截线段成比例定理把要证的等式的左边转化为 直线在 y 轴上的截距与点的纵坐标的比，从而得到要证得结论； ②联立 ，消去 x，得 y2﹣2（k2+b）y+b2=0，利用根与系数关系得到 P，Q 两点的纵坐标的和与积， 结合基本不等式代入①后得到结论，或利用分类讨论的方法求解 的取值范围． 解答： （1）解：∵F 为抛物线的焦点，∴ 设直线 ， 联立 ，得 x2﹣2kx﹣1=0（﹡） 则|PQ|= ． 由（﹡）得 x1+x2=2k，带入上式得|PQ|=2k2+2≥2，当仅当 k=0 时|PQ|的最小值为 2； （2）证明：如图， ①分别过 P，Q 作 PP′⊥x 轴，QQ′⊥x 轴，垂足分别为 P′，Q′， 则 ②联立 ，消去 x，得 y2﹣2（k2+b）y+b2=0（﹟） 则 ． （方法 1） 而 而 y1，y2 可取一切不相等的正数∴ 的取值范围为（2，+∞）． （方法 2） 当 b＞0 时，上式= ； 当 b＜0 时，上式= ． 由（﹟）式△＞0 得 k2+2b＞0 即 k2＞﹣2b 于是 综上， 的取值范围为（2，+∞）． 点评： 本题考查了直线与圆锥曲线的综合题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，直线与圆锥 曲线关系问题，常采用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用 的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题． 28．过点 F（0，1）作直线 l 与抛物线 x2=4y 相交于两点 A、B，圆 C：x2+（y+1）2=1 （1）若抛物线在点 B 处的切线恰好与圆 C 相切，求直线 l 的方程； （2）过点 A、B 分别作圆 C 的切线 BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2 的取值范围． 考点： 圆与圆锥曲线的综合． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；综合题；压轴题． 分析： （1）先求抛物线过点 B 的切线方程，利用点 B 处的切线恰好与圆 C 相切及点 B 在抛物线即可求得点 B 坐 标，从而可求直线方程； （2）由已知，直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为：y=kx+1，与 x2=4y 联立，再分别表示出各线段长， 即可求得|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2 的取值范围． 解答： 解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2） 由 x2=4y，得 ，则过点 B 的切线方程为： 由已知：点 B 处的切线恰好与圆 C 相切， ∴ ，即点 B 坐标为 ， ∴直线 l 的方程为： （Ⅱ） 法一：由已知，直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为：y=kx+1， 联立 x2=4y，得 x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4 ∴x12+x22=16k2+8 ∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2=（﹣2﹣2k2）x1x2﹣4k（x1+x2）﹣6=﹣8k2+2≤2 ∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2 的取值范围是（﹣∞，2 ] 法二：根据题意，连接 AC、AB﹑EC﹑ED．设直线 l 的方程为：y=kx+1， 联立 x2=4y 可得 x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4 |AE|2=|AC|2﹣|EC|2=x12+（y1+1）2﹣1． 同理，|BD|2=x22+（y2+1）2﹣1． 又|AB|2=（y1+y2+2）2 ∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2=2x1x2+4（x1+x2）﹣（y12+y22）﹣2（y1+y2）+4=﹣8k2+2≤2． ∴|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2 的取值范围是（﹣∞，2 ] 点评： 本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形 特征，这也是高考常考的知识点 29．已知圆 C 的圆心在抛物线 x2=2py（p＞0）上运动，且圆 C 过 A（0，p）点，若 MN 为圆 C 在 x 轴上截得的弦． （1）求弦长 MN； （2）设 AM=l1，AN=l2，求 的取值范围． 考点： 圆与圆锥曲线的综合． 菁优网版 权所有 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）先设圆心坐标 C（x0，y0），根据条件得到圆 C 的方程，再求出交点 M 和 N 的横坐标，再根据弦长公 式 MN=|x2﹣x1|求得 MN． （2）首先设∠MAN=θ，接着根据三角形 MAN 面积得 l1 与 l2 关系式①，再根据余弦定理求得 l12+l22 的表达式 即 l1 与 l2 关系式②，联立①②求得frac{{l}_{1}}{{l}_{2}}+frac{{l}_{2}}{{l}_{1}}的表达式，根据θ的范围代入求解． 解答： 解：（1）依题意设 C（x0，y0），M、N 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 则圆 C 的方程为：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=x02+（y0﹣p）2． 令 y=0，并由 x02=2py0，得 x2﹣2x0x+x02﹣p2=0， 解得 x1=x0﹣p，x2=x0+p， 所以弦长 MN 为|x2﹣x1|=x0+p﹣（x0﹣p）=2p． （2）设∠MAN=θ，因为 ， 所以 ，因为 l12+l22﹣2l1 l2cosθ=4p2， 所以 l12+l22= ． 所以 ． 因为 0＜θ≤900，所以当且仅当θ=45°时，原式有最大值 ，当且仅当θ=90°时，原式有最小值为 2， 从而 的取值范围为 ． 点评： 这是一道圆锥曲线与三角函数的知识点交汇综合题型，此题考查学生的运算能力， 知识点方面还考查直线与圆的位置关系，及弦长公式的运用，同时利用三角函数求最值方法． 30．已知以动点 P 为圆心的圆与直线 y=﹣ 相切，且与圆 x2+（y﹣ ）2= 外切． （Ⅰ）求动 P 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）若 M（m，m1），N（n，n1）是 C 上不同两点，且 m2+n2=1，m+n≠0，直线 L 是线段 MN 的垂直平分线． （1）求直线 L 斜率 k 的取值范围； （2）设椭圆 E 的方程为 + =1（0＜a＜2）．已知直线 L 与抛物线 C 交于 A、B 两个不同点，L 与椭圆 E 交 于 P、Q 两个不同点，设 AB 中点为 R，PQ 中点为 S，若 =0，求 E 离心率的范围． 考点： 圆与圆锥曲线的综合． 菁优网版 权所有 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （Ⅰ）根据动点 P 为圆心的圆与直线 y=﹣ 相切，且与圆 x2+（y﹣ ）2= 外切，建立方程，即可求动 P 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）（1）求得直线 L 斜率，根据 M，N 两点不同，m2+n2=1 且 m≠n，可得（m+n）2＜2（m2+n2）=2，即 可求得结论； （2）求出直线方程代入抛物线和椭圆方程，由 =0，求得 a 的范围，即可求得离心率的范围． 解答： 解：（Ⅰ）设 P（x，y），则有 …（2 分） 化简得：x2=y …（4 分） （II）（1）因为直线 MN 的斜率为 =m+n ∵l⊥MN，m+n≠0，∴直线 L 斜率 k=﹣ …（6 分） ∵M，N 两点不同，m2+n2=1 且 m≠n，∴（m+n）2＜2（m2+n2）=2 ∴0＜|m+n|＜ ∴|k|＞ ∴k＜﹣ 或 k＞ …（8 分） （2）l 方程为：y﹣ =k（x﹣ ）， 又 m2+n2=1，m+n=﹣ ，∴l 方程为：y=kx+1 代入抛物线和椭圆方程并整理得：x2﹣kx﹣1=0①；（a+2k2） x2+4kx+2﹣2a=0②，易知方程①的判别式 ＞0 恒成立，方程②的判别式 ∵ ，a＞0，∴ ＞0 恒成立 …（10 分） ∵R（ ），S（ ） ∴由 =0 得﹣k2+a（ +1）=0 ∴a= =2﹣ ＞2﹣ = ∴ ∵ =e，∴a=2﹣2e2＞ ∴e2＜ ∴0＜e＜ …（14 分） 点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题．