2017-2018学年江西省吉安市泰和县二中、吉安县三中、安福县二中高二下学期三校联考(5月)数学(文)试题 Word版
2017-2018学年江西省吉安市泰和县二中、吉安县三中、安福县二中高二下学期三校联考(5月)
数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-2,0,2},B={ x|x2-x-2=0},则A∩B=( )
A.∅ B.{2} C.{0} D.{-2}
2.若z=4+3i,则= ( )
A. 1 B. -1 C. +i D. -i
3.设,,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知命题p:;命题q:若,则a
; ②ln(x2+1)>ln(y2+1);
③sin x>sin y; ④x3>y3.
三、解答题:本大题共6小题,总分70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m≤x<1+m(m>0).
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若m=5,如果p和q有且仅有一个真命题,求实数x的取值范围.
18.(12分)已知z0=2+2i,|z-z0|=.
(1)求复数z在复平面内的对应点的轨迹;
(2)求z为何值时|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
19.(12分)在平面直角坐标系中,圆的方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,直线的极坐标方程为
(1)当时,判断直线与圆的关系;
(2)当上有且只有一点到直线的距离等于时,求上到直线距离为的点的坐标.
20.(12分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附:.
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
21.(12分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1时,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=ln x-a(x-1),g(x)=ex.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数h(x)=f(x+1)+g(x),当x>0时,h(x)>1恒成立,求实数a的取值范围.
数学(文)参考答案
一:选择题(每小题5分)
1-5 BDBBA 6-10 BDCCD 11-12 AD
二:填空题(每小题5分)
13. 12 14. 6 15. 31 16.①②③
三:解答题
17.解 (1)由命题p:(x+1)(x-5)≤0,解得-1≤x≤5.................................2分
命题q:1-m≤x<1+m(m>0).
∵p是q的充分条件,
∴[-1,5]⊆[1-m,1+m),
∴解得m>4,............................................................4分
则实数m的取值范围为(4,+∞).....................................................5分
(2) ∵m=5,∴命题q:-4≤x<6.
∵p和q有且仅有一个为真命题,
∴当p真q假时,可得解得x∈∅..............7分
当q真p假时,可得
解得-4≤x<-1或53.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”..........................6分
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.
其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2.bj表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的...........................................................................8分
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则
A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}......................................10分
事件A是由7个基本事件组成,因而P(A)=..................12 分
21.(1)0当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0...1分
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=
其图象如图所示,由图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0,所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.............................6分
(2)当x∈时,f(x)=1+a,
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3,..........................................................8分
所以x≥a-2对x∈都成立,故-≥a-2,即a≤................10分
从而a的取值范围是....................................................................12分
22.(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a=(x>0)....1分
①若a≤0,对任意的x>0,均有f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;....................................3分
②若a>0,当x∈时,f′(x)>0,当x∈时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.......5分
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区
当a>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为
.................6分
(2)因为h(x)=f(x+1)+g(x)=ln (x+1)-ax+ex,所以
h′(x)=ex+-a..............................................................7分
令φ(x)=h′(x),因为x∈(0,+∞),φ′(x)=ex-=>0................................................................................8分
所以h′(x)在(0,+∞)上单调递增,h′(x)>h′(0)=2-a,
①当a≤2时,h′(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(x)>h(0)=1恒成立,符合题意;.............................................................9分
②当a>2时,h′(0)=2-a<0,h′(x)>h′(0),所以存在x0∈(0,+∞),使得h′(x0)=0......................................................................10分
所以h(x)在(x0,+∞)上单调递增,在(0,x0)上单调递减,又h(x0)
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