数学理卷·2018届河南省南阳市下期高二期终质量评估（2017-07）

数学理卷·2018届河南省南阳市下期高二期终质量评估（2017-07）

南阳市2017年舂期高中二年级期终质量评估 数学试卷（理科）‎ ‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 ‎ 第Ⅰ卷（选择题　共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒ ‎ ‎1.已知：，则=（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解析：‎ ‎2.设随机变量～，随机变量～ ，若，则=(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析：因为，所以，所以.故～ ，因此，‎ y x O ‎1‎ ‎3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 附：若，则，‎ ‎ ‎ 解析：由题意知：，，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，落阴影部分的点的个数为1359.‎ ‎4.已知，的取值如下表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则=（ ）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎ A． B． C． D．‎ 解析：，，点（）在直线上，故 ‎5.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则=（　　）‎ ‎ A．35 B．‎48 ‎ C．63 D．80‎ 解析：方法一：找规律：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，35=5×7,48=6×8,63=7×9‎ ‎ 方法二：由得：，解得：‎ ‎6.从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为(　 　)‎ A. B. C. D.‎ 解析：记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A，记“抽出的两张都是假币”为事件B，则 ‎7.函数的部分图象是( D ) ‎ ‎8、已知函数函数，其中，若函数在区间内恰好有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解析：易知函数在区间内单调增加，在区间单调减少，从而函数在区间内恰好有两个零点，当且仅当 ‎ ，解得 ‎9.已知：，则=（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解析：令，则，‎ ‎ 故 ‎10.已知数列各项的绝对值均为，为其前项和.若，则该数列的前七项的可能性有（ ）种.‎ ‎ A. B. C. D.42‎ 解析：由可知，前七项之中有5项为，2项为，故该数列前七项的排列有 ‎11.若f(x)=，则f（2017）=（　 　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 解析：由题可知：当时，，所以，故 ‎12.已知定义在上函数是可导的，,且，则不等式的解集是（ ）（注：为自然对数的底数）‎ A. B. C. D.‎ 解析：设，则，因为，由已知可得，，即函数是单调减函数，，故，即，则有，‎ 第Ⅱ卷（非选择题　共90分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分, 请将正确答案填在答题纸上.‎ ‎13.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为__________（用最简分数表示）.‎ 解析：.‎ 由题意可知，展开式的通项为：（0，1，2，…，），则有，得.则当时，为整数，即在展开式的9项中，有3项为有理项，则所求的概率为 ‎14.若函数无极值点，则的取值范围是______.‎ 解析：答案： （数形结合）‎ ‎ ，设令，即，设，,易求过点的曲线的切线方程为，因此，由题意可得，，故 ‎15.已知结论：“在正△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=　　．‎ 解析：.‎ ‎【方法一】如图，设正四面体ABCD的边长为，其外接球的半径为，则有，，，故，则，在中，，解得，，即，，故.‎ ‎【方法二】：等体积法得H=4r ‎16.已知函数的导函数为，且，则=_______.‎ 解析：‎ ‎ 设，则，所以，， ‎ ‎ 令，求得，故，‎ ‎ 因此，，‎ ‎ 则有，得.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.（本小题满分10分）‎ ‎ 已知：二项式展开式中所有项的二项式系数和为64，‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）若展开式所有项的系数和为，其中为有理数，求和的值.‎ 解析：（1）由题意，， ………………………………4分 ‎ （2）展开式的通项为（） …………6分 则， …………………………………………8分 ‎ ……………………………………………………10分 ‎【方法二】令，则，‎ 因为 故，，.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：‎ 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？‎ ‎（２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.‎ ‎（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？‎ 附：‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解析：（１）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为 ‎ ∴男生应该抽取人………………………………….４分 ‎（２）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。 则从6名学生任取2名的所有情况为:种情况，其中恰有1名女生情况有:种情况， ‎ 故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为. ………………….８分 ‎（３）∵，且， ‎ ‎ 那么，我们有的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的……….12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（1）已知：，求证：；‎ ‎（2）已知：，求证：.‎ 解析：（1）不妨令，则，设，则 故在上是单调增加的，因此，，故.‎ 即：. ……………………………………………………6分 ‎ （2）【方法一】由（1）知，即，‎ ‎ 令，并相加得 ‎ ‎ ‎ 即得： …………………………………………12分 ‎【方法二——数学归纳法】‎ ‎ 证明：①当时，，即左边右边，命题成立；‎ ‎ ②假设当（）时，命题成立，‎ ‎ 即成立，‎ ‎ 当时 ‎ 右边=‎ ‎ 由（1）知：令，有，即 ‎ 因此有：左边=‎ ‎ 故，左边右边，‎ ‎ 即，当时，命题成立.‎ ‎ 综上①②，当，成立.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完.假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为.‎ （1） 求张同学前两发只命中一发的概率；‎ （2） 求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数的分布列与期望.‎ 解析：记“第发子弹命中目标”为事件，则相互独立，且，，其中 ‎（1）张同学前两发子弹只命中一发的概率为 ‎ ……………………4分 （2） 的所有可能取值为 ‎ ……………………………………6分 ‎ …………………………………8分 ‎ ……………………………9分 ‎ …………………………10分 综上，的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 故 ………………………………………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.‎ ‎（1）该小组中男女学生各多少人？‎ ‎（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）‎ ‎（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）‎ 解析：‎ （1） 设男生有人，则 ‎ ，即，解之得，‎ 故男生有人，女生有人. ……………………………………………………4分 （2） ‎【方法一】按坐座位的方法 ‎ 第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有=60480种；‎ ‎ 第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；‎ ‎ 故，一共有种重新站队方法. ……………………………8分 ‎ 【方法二】除序法 ‎ 第一步：9名学生站队共有种站队方法；‎ ‎ 第二步：3名女生有种站队顺序；‎ ‎ 故一共有=种重新站队方法. …………………………………………8分 （3） 第一步：将6名男生分成3组，共有种；‎ ‎ 第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种 ‎ 第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种 ‎ 故一共有：种站队方法.………………………………12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数（）.‎ ‎ （1）求的单调区间；‎ ‎ （2）曲线是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由.‎ 解析：（1）的定义域为，‎ ‎ ‎ ‎ 令，则 ‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ ， …………………………………………3分 ‎ 即当时，‎ ‎ 所以，的单调增区间为 ………………………………5分 ‎ （2）不妨设曲线在点处的切线经过原点，‎ ‎ 则有，即， ………………7分 ‎ 化简得：.（*）‎ ‎ 记，则，…………9分 ‎ 令，解得.‎ ‎ 当时，，当时，，‎ ‎ ∴是的最小值，即当时，.‎ ‎ 由此说明方程（*）无解，∴曲线没有经过原点的切线.………………12分