2017-2018学年江苏省溧水高级中学、东山外国语学校、扬中、江都中学高二上学期四校期中联测试题 数学

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‎2017-2018学年江苏省溧水高级中学、东山外国语学校、扬中、江都中学高二上学期四校期中联测数学试卷 2017.11.16 ‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．)‎ ‎1.命题“”的否定形式为___________________.‎ ‎2.曲线在处的切线方程是__________.‎ ‎3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________ .‎ ‎4.已知函数，则 .‎ ‎5.的____________.‎ ‎（从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）‎ ‎6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.‎ ‎7.设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60°，则b = ．‎ ‎8.已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.‎ ‎9.已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围为_____________ .‎ ‎10.函数的图像在点处的切线方程是，则等于_________.‎ ‎11.已知是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，则的取值范围是___________ . ‎ ‎12.已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为_______________.‎ ‎13.设，则的最小值为___________.‎ ‎14.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆 交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为，记，若直线的斜率，则的取值范围为___________.‎ 二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ 15. ‎（本小题满分14分）‎ ‎（1）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.‎ ‎（2）已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5，‎ 求抛物线的标准方程.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 已知为实数，点在圆的内部；都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，求的取值范围；（3）若为假命题，且为真命题，求的取值范围．‎ ‎17.（本小题满分15分）‎ 已知曲线 （1） 若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；‎ （2） 若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。‎ ‎18.（本小题满分15分）‎ ‎(1)设，若，求在点处的切线方程；‎ ‎(2)若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.‎ 19. ‎（本小题满分16分）‎ 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，右准线记为；‎ 设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值.‎ 若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围.‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.‎ ‎(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；‎ ‎ (Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.‎ 第20题 P A R O F1‎ Q x y F2‎ ① 求证:圆心在定直线上；‎ ① 圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. ‎ ‎ ‎ 答案 2017.11.16 ‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．)‎ ‎1.命题“”的否定形式为___________________.‎ 答案：‎ ‎2.曲线在处的切线方程是__________.答案：‎ ‎3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________ .答案：‎ ‎4.已知函数，则 .‎ 答案：‎ ‎5.的____________.‎ ‎（从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）‎ 答案：充分不必要条件 ‎6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.‎ 答案：‎ 7. 设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60°，则b = ．‎ 答案：‎ 8. 已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.‎ 答案：‎ 9. 已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围为_____________ .‎ 答案：‎ 7. 函数的图像在点处的切线方程是，则等于_________.‎ 答案：2‎ 8. 已知是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，则的取值范围是___________ . ‎ 答案：‎ 9. 已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为_______________.‎ 答案：‎ ‎13.设，则的最小值为___________.‎ 答案：‎ ‎14.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆 交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为，记，若直线的斜率，则的取值范围为___________.‎ 答案：‎ 二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ 15. ‎（本小题满分14分）‎ ‎（1）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.(8分）‎ ‎（2）已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5，‎ 求抛物线的标准方程.（6分）‎ 解：（1）椭圆的焦点为，顶点为 ----------------4分 ‎ 双曲线的标准方程可设为 由题意知 ‎ -----------------6分 则双曲线的标准方程为------------------8分 （2） 由题意知，抛物线的标准方程可设为 --------------10分 ‎ ------------------12分 ‎ 抛物线的标准方程为 ------------------------14分 ‎16.（本小题满分14分）‎ 已知为实数，点在圆的内部；都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，求的取值范围；（3）若为假命题，且为真命题，求的取值范围．‎ 解：（1）为真命题 解得 ------------4分 （2） 为真命题时，恒成立 解得 为假命题时， -----------8分 （3） 为假命题，且为真命题 一真一假 ------------9分 ‎，则 ------------11分 ‎，则 ----------13分 ‎ -----------14分 ‎17.（本小题满分15分）‎ 已知曲线 （1） 若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；（7分）‎ （2） 若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。（8分）‎ 解：(1)圆 设圆心到直线的距离为 则 ---------------2分 若的斜率不存在，则符合题意； ----------------4分 若的斜率存在，设为，则 即 解得，可得 ------------6分 综上，直线的方程为或. -------------7分 ‎（2）曲线表示圆 且直线与圆相交 ‎ -------------9分 设过两点的圆的方程为 ‎ ----------------11分 圆心在上，且过原点 ‎ -------------13分 解得 ‎ ------------15分 ‎（法二）曲线表示圆 且直线与圆相交 ‎ -------------9分 设A,B坐标，将直线与圆联立，消去y得到关于x的一元二次方程，得到韦达定理------11分 利用向量数量积等于0，得到关于m的方程 ----------13分 解得m的值 -------------15分 18. ‎（本小题满分15分）‎ ‎(1)设，若，求在点处的切线方程；（5分）‎ ‎(2)若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.（10分）‎ 解：（1）因为 ‎ --------------1分 ‎ ‎ ‎ --------------3分 ‎ ‎ 在点处的切线方程为 ---------------5分 ‎（2）设曲线的切点为 ‎，‎ ‎ ------------7分 又该切线过点 解得 -------------9分 ‎1.当时，切点为，切线 又直线与相切 满足 ‎ ------------------12分 ‎2.当时，切点为，切线 又直线与相切 满足 ‎ ------------------15分 综上 19. ‎（本小题满分16分）‎ 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是 ‎，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，右准线记为；‎ 设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值.‎ 若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围.‎ 解：（1）由题意知2a=4，则a=2，‎ 由e==，求得c=1， ------------2分 b2=a2﹣c2=3‎ ‎∴椭圆C的标准方程为； -----------4分 ‎（2）①证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4．‎ 把x=1代入直线1： +=1，解得 ‎ ----------6分 把x=4代入直线1： +=1方程，解得y=，‎ ‎ ----------8分 ‎∴‎ ‎--------10分 ‎②由，解得=3（1﹣）（﹣2≤x0＜2），x0≠﹣1．‎ 直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．‎ 直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），‎ 令x=4，可得yQ=．‎ 点Q，‎ ‎∵，k2=， ----------12分 ‎∴k1•k2==． -------13分 ‎∵点P在椭圆C上，∴，‎ ‎∴k1•k2==． ‎ ‎∵﹣1＜x0＜2，‎ ‎∴∈（，+∞），‎ ‎∴k1•k2＜﹣．‎ ‎∴k1•k2的取值范围是k1k2∈（﹣∞，﹣）． ---------16分 ‎20.（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.‎ ‎(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；‎ ‎ (Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.‎ ① 求证:圆心在定直线上；‎ 第20题 P A R O F1‎ Q x y F2‎ ② 圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. ‎ ‎【解】:(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分 ‎ 而,所以，故椭圆的标准方程为…………………5分 ‎ (Ⅱ)①解法一:易得直线,‎ 所以可得,再由∥,得……………8分 则线段的中垂线方程为, 线段的中垂线方程为,‎ 由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分 经验证,该圆心在定直线上…………………………… 11分 解法二: 易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分 设的外接圆的方程为,‎ 则,解得…10分 所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上 …11分 ‎②由①可得圆C的方程为………13分 该方程可整理为,‎ 则由,解得或,‎ 所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分