数学文卷·2019届北京市海淀区北方交通大学附属中学高二上学期期中考试试题（解析版）x

数学文卷·2019届北京市海淀区北方交通大学附属中学高二上学期期中考试试题（解析版）x

北京海淀区北方交通大学附属中学2016-2017学年高二上学期期中考试 数学试卷 ‎1. 点(0, 5)到直线y= 2x的距离为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由点到直线的距离公式可得 ‎．‎ 故选．‎ ‎2. 已知正方体棱长为 2，则它的内切球的表面积为（ ）．‎ A. 2π B. 4π C. 8π D. 16π ‎【答案】B ‎【解析】因为棱长为的正方体的内切球的半径，所以表面积，故选B.‎ ‎ ‎ ‎3. 直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：‎ ‎（ 1）α//β ⇒ l⊥m （ 2）α⊥β ⇒ l// m ‎（ 3）l//m ⇒ α⊥β （ 4）l⊥m ⇒ α//β 其中正确的命题是（ ）．‎ A. （1 ）与（2 ） B. （ 2）与（4 ） C. （1 ）与（3 ） D. （3 ）与（4 ）‎ ‎【答案】C ‎【解析】（1）且平面平面，又直线平面，（1）正确；（2）,因为 可以相交、异面、平行，（ 2）错误；（3），直线平面直线平面，由直线平面，，（3）正确；（4）， 位置关系不确定，（4 ）错误，故选C.‎ ‎ ‎ ‎4. 由点P (1, 3)引圆x2 + y 2= 9的切线的长是（ ）．‎ A. 2 B. C. 1 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】点到圆心的距离为，圆的半径为根据勾股定理可得切线长为，故选C.‎ ‎ ‎ ‎5. 直线()x + y = 3和直线x + ()y = 2的位置关系是（ ）．‎ A. 垂直 B. 相交不垂直 C. 平行 D. 重合 ‎【答案】A ‎【解析】直线，它的斜率为，直线，此直线的斜率为， ，直线和直线的位置关系是垂直，故选A.‎ ‎6. 动点在圆x2 + y 2 = 1上移动时，它与定点B (3, 0 )连线的中点的轨迹方程是（ ）．‎ A. (x + 3) 2 + y2 = 4 B. (x − 3) 2 + y 2 = 1‎ C. (2x− 3) 2 + 4y 2 = 1 D. (x +) 2+ y2 = ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设中点坐标为P(x,y),则动点M(2x-3,2y)，因为M在圆上移动，所以 ‎7. 设长方形的三条棱长分别为a，b，c，若其所有棱长之和为24，一条对角线的长度为5，体积为2，则 为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，a+b+c=6…①，abc=2…②，a2+b2+c2=25…③，由①式平方-②可得ab+bc+ac=…④，④÷②得：=，故选A 考点：本题考查了长方体的有关知识 点评：此类问题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力，是基础题．‎ ‎8. 已知两点M (−1, 0 )，N (1, 0) ，若直线y = k (x − 2)上至少存在三个点P ，使得ΔM N P 是直角三角形，则实数 k 的取值范围是（ ）．‎ A. [− , 0)∪ (0, ] B. [− , 0)∪ (0, ]‎ C. [− , ] D. [− , ]‎ ‎【答案】B ‎【解析】若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则直线与以点为直径的圆有至少一个交点，且不在直线上，以点为直径的圆的圆心到直线的距离且，且，且，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 解答本题的关键是将存在点的问题转化为直线与圆相交的问题解答.‎ ‎9. 若圆经过点A(2, 0) ，B(4, 0) ，C (0, 2)，则这个圆的方程为___________________．‎ ‎【答案】(x−3) 2+ (y − 3) 2 = 10‎ ‎【解析】∵该圆一定经过线段的中垂线，‎ 且，，‎ 则的中垂线为，‎ ‎∴两条中垂线的交点即为圆心，‎ 又∵半径，‎ ‎∴圆的方程．‎ ‎10. 若圆C：x2 + y2 − 2x− 8 = 0，圆C 的圆心坐标为_______，圆C与圆D：(x + 2) 2+ (y − 4) 2= 4的位置关系是_______．‎ ‎【答案】 (1). (1, 0) (2). 外切 ‎【解析】将圆方程化为标准方程得，圆圆心坐标为，半径为 ，圆圆心坐标为为，半径为 ，圆心距 ‎,即圆心距等于两圆的半径和，所以两圆的位置关系是外切，故答案为，外切.‎ ‎11. 过点M (0, 4) ，且被圆(x− 1) 2 + y 2= 4截得的线段长为的直线方程为_______．‎ ‎【答案】15x+ 8y − 32 = 0 或x = 0‎ ‎12. 已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C ，它的体积是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆柱底面圆的半径为，高为，‎ ‎∴，，代入，，‎ ‎13. 某三棱锥的三视图如图所示，‎ ‎（1）该三棱锥的体积为_______．‎ ‎（2）该三棱锥的四个面中，最大面的面积是 _____．‎ ‎【答案】 (1). 8 (2). ‎ ‎【解析】‎ 由三视图可得，该三棱柱是底面为直角边分别的直角三角形，高为 的三棱锥，体积为 ，画出该三棱锥的直观图，如图，由直观图结合三视图可得， 都是直角三角形，面积分别为 ，是腰长为 ，底边为 的等腰三角形，其面积为 ，比较几个面积的大小可得三棱锥的四个面中，最大面的面积是，故答案为 .‎ ‎【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎14. 在棱长为1的正方体ABCD − A′B′C′D′中，若点P 是棱上一点，则满足 的点P 的个数为_______． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】因为正方体的棱长为，点是以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭球上，在正方体的棱上，应是椭球与正方体的棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱上各有一点满足条件，故答案为.‎ ‎15. 如图，正三棱柱ABC − A 1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，D是BC 的中点．‎ ‎（1） 求证：AD⊥平面B1BC C1；‎ ‎（2） 求证：A 1B//平面ADC ；‎ ‎（3） 求三棱锥C1 − ADB1的体积．‎ ‎【答案】（1）证明略．（2）证明略．（3）． ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用线面垂直的性质，可得由正三角形的性质可得，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；（2）连接，交 于点，连接，利用为中位线，可得，利用线面的平行的判定定理，可证平面；（3）利用等体积，根据棱锥的体积公式可得结论.‎ 试题解析：（1）证明：是正三棱柱，平面，‎ 平面是正三角形，为中点，，‎ 平面.‎ 证明：连接，交于点，连接，由是正三棱柱，得四边形为矩形，为的中点，又为中点，为中位线，平面平面，平面.‎ ‎(3) .‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的.‎ ‎16. 如图，已知三角形的顶点为A(2, 4 )，B(0, −2) ，C (−2, 3)，求：‎ ‎ ‎ ‎（1） A B边上的中线C M 所在直线的方程．‎ ‎（2） 求△ABC 的面积．‎ ‎【答案】（1）2x + 3y − 5 = 0 （2）11‎ ‎【解析】试题分析：（1）要求直线的方程，点的坐标是已知的，需要求的坐标，根据是的中点，利用中点坐标公式得到结果，后面只要过两点求直线方程；（2）已知三角形三个顶点的坐标，求出三条边的长度，根据余弦定理求一个角的余弦值，再得出正弦值，根据三角形面积公式得出三角形的面积.‎ 试题解析：（1）的中点边上的中线过点和中线的斜率是直线的方程是.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎17. 已知圆C 的圆心在直线y = x + 1上，且过点A (1, 3) ，与直线x + 2y − 7 = 0相切．‎ ‎（1） 求圆C 的方程．‎ ‎（2） 设直线 l：ax − y − 2 = 0(a > 0)与圆C 相交于A ，B两点，求实数a的取值范围． ‎ ‎（3） 在（____）的条件下，是否存在实数a ，使得弦A B的垂直平分线 l过点P (−2, 4)，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）x2 + (y − 1) 2 = 5 ． （2）(, +∞)‎ ‎（3）不存在实数a，使得过点P (−2, 4) 的直线l 垂直平分弦A．证明略．‎ ‎【解析】本试题主要是考查了线与圆的位置关系的综合运用。‎ ‎（1）因为圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点（1，3），与直线x+2y-7=0相切. 利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到结论。‎ ‎（2）因为直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径得到参数a的范围。‎ ‎（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心上，从而得到。‎ 解：（1）因为圆C的圆心在直线y=x+1上，可设圆心坐标为，由题意可列方 程，解得，所以圆心坐标为（），半径 为，所以圆的方程为。-----------------5分 ‎(2)联立方程，消得，由于直线与圆交于两点，所以，解得，所以的取值范围是（）------8分（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心上，‎ 所以，解得，由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.--------------13分 ‎ ‎