数学理卷·2018届山东省淄博市临淄中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届山东省淄博市临淄中学高二上学期期末考试（2017-01）

高二数学理试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．抛物线的准线方程是 A． B． C． D．‎ ‎2．命题：，，为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．如果a＜b＜0，那么( )． ‎ A． B．ac＜bc C．＞ D．a2＜b2‎ ‎4．命题：若或，则，如果把命题视为原命题，那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5．在中，内角所对的边分别是，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6．如图在空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积是(　　)‎ A．3 B． C． D．3 ‎ ‎8．已知满足，且的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎9．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为 A． B． C． D． ‎ ‎10．已知向量，，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎11．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值为(　　)‎ A．14 B．‎16 C．18 D．10 ‎ ‎12．已知椭圆：（>>0）与双曲线有公共的焦点，圆 与的一条渐近线相交于两点．若恰好将线段三等分，则 A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．只要求填写最后结果．‎ ‎13．一元二次不等式的解集为 (－2，3) ．‎ ‎14．各项为正数的等比数列中，成等差数列，则的值为 ．‎ ‎15．在中，内角所对的边分别是，已知，，，则＝__或______．‎ ‎16．已知向量，，且与互相垂直，则的值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程是（为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）说明是哪种曲线？并将的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与交于两点，，求的斜率．‎ 解：（Ⅰ）由，得曲线的直角坐标方程为 ‎ …………………………………………3分 即 曲线是以为圆心，为半径的圆．…………………………………………5分 ‎ （Ⅱ）（方法一）由直线的参数方程（为参数），‎ 消去参数得．‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为．‎ 又，由垂径定理及点到直线的距离公式得 ‎，即，………………………………………8分 整理得，解得，‎ 所以的斜率为或． …………………………………………………10分 ‎ （方法二）易得直线的极坐标方程为，‎ 设，的极径分别为，其是的解，‎ 于是，，‎ ‎，……………………8分 由，得，，‎ 所以的斜率为或．…………………………………………………10分 ‎18．（本题满分12分）‎ 如图，在中，,,，‎ 是边延长线上的一点，，求的长.‎ 解：在中，,,，‎ ‎ 由余弦定理得，‎ ‎ 所以, , ‎ ‎ 在中，, , ，………………………8分 ‎ 由正弦定理得, ‎ ‎ 所以………………………………12分 ‎19．（本题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.请建立适当的坐标系，求解下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求证：异面直线与互相垂直；‎ ‎（Ⅱ）求二面角（钝角）的余弦值.‎ 解证：因为侧面，均为正方形， ，‎ 所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系………………1分 设，则.…………3分 ‎（Ⅰ）证明：由上可知：，，…………5分 所以,………………6分 所以，‎ 所以，异面直线与互相垂直. ……7分 ‎（Ⅱ）解：‎ ‎ ，…………9分 设平面的法向量为，则有 ‎，， ，‎ 取，得 ………………10分 又因为平面，所以平面的法向量为，………11分 因为二面角是钝角，‎ 所以，二面角的余弦值为. ………………12分 ‎20．（本题满分12分）‎ 已知数列的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以当时，.………3分 当时，，满足上式．………………4分 故.………………5分 ‎（Ⅱ）因为.所以，………………6分 其前项和： ①………8分 两边乘以4得：‎ ‎ ………………………②‎ 由①②得：‎ ‎ ………………11分 所以． ………………12分 ‎21．（本题满分12分）‎ 某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为‎6400立方米，深度为‎4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．‎ ‎（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；‎ ‎（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?‎ 解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，‎ 则有 (平方米)．…………………2分 池底长方形宽为米，则 S2＝8x＋8×＝8(x＋)．…………………………6分 ‎（Ⅱ）设总造价为y，则 y＝120×1 600＋100×8≥192000＋64000＝256000．……………………9分 当且仅当x＝，即x＝40时取等号．………………………………………………10分 所以x＝40时，总造价最低为256000元．‎ 答：当池底设计为边长‎40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．‎ ‎……………………………………………………12分 ‎22．（本题满分12分）‎ 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。‎ 解：（Ⅰ）由已知得：，，所以………………2分 又由，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为：.………………4分 ‎（Ⅱ）设T点的坐标为，则直线TF的斜率.………………5分 当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是 ‎ 当时，直线PQ的方程是，也符合的形式. ………………6分 将代入椭圆方程得：.‎ 其判别式. ‎ 设，‎ 则. ……………8分 因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.‎ 所以 解得.………………………………10分 此时四边形OPTQ的面积 ‎.‎ ‎………………………………12分