2019-2020学年江苏省苏州市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省苏州市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省苏州市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集 U = {1,2,3,4}, 集合 A = {1,3}, 则 （ ）‎ A．{1,3} B．{2,4} C．{1,2} D．{3,4}‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接进行补集运算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为U = {1,2,3,4}, A = {1,3},所以.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查集合的补集运算,属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A．(−∞,4) B．(−∞,4] C．(4,+∞) D．[4,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据分式中分母不为零,偶次根式被开方数是非负数列出不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为,解得,所以函数的定义域为,‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查函数定义域的求解,属于基础题.‎ ‎3．已知，则 a,b,c 的大小关系为 （ ）‎ A．c < a < b B．b < a < c C．c 0)的图象经过点，且在区间上单调，则 ω , φ 可能的取值为 （ ）‎ A．ω = 2, φ = B．ω = 2, φ = C．ω = 6, φ = D．ω = 6, φ =‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ 将各选项代入解析式,逐项判断是否过点,再计算出正弦函数的单调区间,判断函数在区间上是否单调,即可得解.‎ ‎【详解】‎ 对于A,,,图像不过点,不合题意;‎ 对于B, ,图像过点,‎ 令,解得,‎ 所以在区间上单调递增;‎ 对于C, ,图像过点,‎ 令,解得,‎ 令,解得,‎ 所以在区间上单调递减;‎ 对于D, ,图像过点,‎ 令,解得,‎ 当 所以在区间上不是单调函数,不合题意.‎ 故选:BC ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的单调性,属于基础题.‎ 三、填空题 ‎13．已知 A(2,−3),B(8,3)，若，则点 C 的坐标为__________.‎ ‎【答案】(6,1)‎ ‎【解析】设,求出,的坐标,根据列出方程组,即可求出点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 设,则,‎ 因为,所以,解得.‎ 故答案为:(6,1)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理及坐标表示,属于基础题.‎ ‎14．函数的零点所在区间为 (n,n+1),n ∈ Z，则 n = ___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以,‎ 由函数零点存在定理知函数在区间(2,3)上有零点,所以.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点的判定定理的应用,属于基础题.‎ ‎15．已知α∈(0,π),sinα+cosα=，则 tan α = _____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用同角三角函数间的基本关系可求得,从而求得,由三角函数商的关系求得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为①,两边平方得:,‎ 所以,所以, ,‎ 所以,②,‎ 联立①②得:,‎ 所以.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值,考查考生对三角函数基础公式的熟练应用,属于中档题.‎ ‎16．已知函数的图象关于直线 x = 2 对称，则 a+b = ______； 函数的最小值为 _________.‎ ‎【答案】5 ‎ ‎【解析】根据函数图像的对称性可得,可对x进行赋值,求a,b,所得函数为四次函数,根据导数判断函数的单调性,从而求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为图像关于直线 x = 2 对称,所以 当时,得①‎ 当时,得②‎ 联立①②可得:,所以 ‎,‎ ‎,‎ 令,解得,‎ 所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的对称性,考查运用导数求函数的单调性与最值,属于难题.‎ 四、解答题 ‎17．已知 A = {x | (x−a)(x+a−2) < 0},B = {x | 0 < x < 4}.‎ ‎(1) 若 a = 3, 求 A∩B；‎ ‎(2) 若 A∪B = A，求实数 a 的取值范围.‎ ‎【答案】(1) A∩B=;(2)‎ ‎【解析】(1)当a = 3时,求出集合,由集合的交集运算即可得解;(2)由A∪B = A知,对的关系进行讨论并利用并集的性质列出不等式组,求出a 的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)若a = 3,则,‎ 所以A∩B=;‎ ‎(2)因为A∪B = A,所以,‎ ‎①若即时,,‎ ‎,解得.‎ ‎②若即时,不满足题意;‎ ‎③若即时,,‎ ‎,解得,‎ 综上所述,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合交集的运算与根据并集结果求参数的取值范围,属于基础题.‎ ‎18．已知锐角满足.‎ ‎(1) 求 cos( α + β ) 的值；‎ ‎(2) 求 α − β.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】(1)由同角三角函数的平方关系可得,的值,代入即可得解;(2)计算,由余弦函数的单调性判断的范围,从而根据余弦值算出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为为锐角,所以 ‎;‎ ‎(2)‎ 因为为锐角且,则,‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的平方关系,考查两角和与差的余弦公式及余弦函数的单调性,计算过程中注意角的范围,属于基础题.‎ ‎19．如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,A = 60°，D 为线段 BC 中点，E为线段AD中点.‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)以,为基底分别表示出,直接求两向量的内积即可;(2) 以,为基底分别表示出,直接求两向量的数量积即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得,‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(2)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积,向量的基本运算,平面向量基本定理的应用,属于基础题.‎ ‎20．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.‎ ‎(1) 经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H(t)；‎ ‎(2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？‎ ‎(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)答案见解析;(3)的最大值为米 ‎【解析】(1)设,根据最高点和最低点可得A与B,由周期求值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h关于t的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可设,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,‎ ‎,得.‎ 又函数周期为30,,‎ ‎(),‎ 又时,,所以,即,可取,‎ 所以 ‎(2) ,解得,‎ 所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米;‎ ‎(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为,游客甲,乙中间相隔5个座舱,‎ 则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了()分钟,则游客乙在摩天轮上坐了分钟,所以高度差为:‎ 当即时,h取得最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角函数的性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答.‎