2018-2019学年甘肃省静宁县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省静宁县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年甘肃省静宁县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（ ）‎ A． 15,5,2 B． 15,15,15 C． 10,5,30 D． 15，10，20‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各 年级中抽取的人数．‎ ‎【详解】‎ 根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，‎ 则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，‎ 高三年级抽取的人数是400×=20人，‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．‎ ‎2．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　　)‎ A． 0.4 B． 0.6 C． 0.8 D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件 ‎“恰有一件次品”，则，故选B．‎ ‎【考点】古典概型．‎ ‎3．已知命题：，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“”的否定为特称命题“”，故选C.‎ ‎4．“”是“方程表示双曲线”的( )‎ A． 充分不必要条件 B． 充要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k范围，即可判断出结论．‎ ‎【详解】‎ 方程+=1表示双曲线⇔（3﹣k）（k﹣1）＜0，解得k＞3或k＜1．‎ ‎∴k＜3是方程+=1表示双曲线的非充分非必要条件．‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的标准方程、充要条件的判断、不等式的解法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题．‎ ‎5．下列说法错误的是（ ）‎ A． 对于命题，则 B． “”是“”的充分不必要条件 C． 若命题为假命题，则都是假命题 D． 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：对于A,全称命题的“非”是存在性命题，且否定结论，即A正确；‎ 对于B，时，成立，但反之，时，，所以B正确；‎ 对于C,，命题为假命题，说明至少有一为假命题，所以C错；‎ 对于D，逆否命题否定原命题条件和结论并互换，D正确，故选C．‎ ‎【考点】1、逆否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．‎ ‎6．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）‎ A． 虚轴长为4 B． 焦距为 C． 离心率为 D． 渐近线方程为 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；‎ 对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；‎ 对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为 ‎，则C错误；‎ 对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7．如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用几何概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 设正方形的边长为2a,则圆的半径为a,‎ 由几何概型的概率公式得,故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8．当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． B． C． D． 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，结束循环，输出，故选D．‎ ‎9．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据 的中位数和平均数分别是( )‎ A． 91.5和91.5 B． 91.5和92 C． 91和91.5 D． 92和92‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平 均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，‎ 所以其中位数为=91.5，‎ 平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法．在求中 位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个 数字的平均数即为所求．‎ ‎10．抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（ ）‎ A． B． 1‎ C． 2 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.‎ ‎【详解】‎ 抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，‎ 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ 抛物线的焦点为 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C ‎12．已知点在双曲线：上，的焦距为6，则它的离心率为（ ）‎ A． 2 B． 3 C． 4 D． 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得c=3,再求出a的值得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得c=3,所以左右焦点为（-3,0），（3,0），‎ 所以，‎ 所以离心率为 故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题 ‎13．静宁一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“”是假命题，求的范围。王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“”是真命题，求的范围。你认为，两位同学题中的范围是否一致？__________（ 填“是”或“否”）‎ ‎【答案】是 ‎【解析】利用特称命题和全称命题的否定进行判断得解.‎ ‎【详解】‎ 若命题“”是假命题，所以该命题的否定是真命题，即命题“”是真命题，所以两位同学题中的范围是一致的.‎ 故答案为：是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题和特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．椭圆上一点到左焦点的距离为2，是的中点，则等于______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据椭圆的定义：,所以,是中点，是的中点，所以．‎ ‎【考点】1．椭圆的定义；2．椭圆的几何意义．‎ ‎15．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为，，焦点，如图：‎ 将带入椭圆方程得；解得；∵；∴；‎ ‎∴，整理得：；即解得（负值舍去）；故答案为：．‎ ‎【考点】1．直线与椭圆的位置关系；2．椭圆的离心率．‎ ‎16．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求 ‎|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．‎ ‎【详解】‎ 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|‎ ‎∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小 当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为3+=‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用．‎ 三、解答题 ‎17．已知命题关于的方程有实数根，命题方程表示双曲线.‎ ‎（1）若是真命题，求的取值范围;‎ ‎（2）若命题是真命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题得（m-1）(m+2)＜0，解不等式即得m的取值范围.(2)先化简命题p求出m的范围，再求出，再根据命题是真命题求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得（m-1）(m+2)＜0，所以.‎ ‎(2) 因为关于的方程有实数根，‎ 所以 所以命题p:,‎ 因为命题是真命题，所以且，‎ 所以m的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程，考查复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．已知椭圆 的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，的周长为16，的周长为12.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程与离心率；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点，且是线段的中点，求直线的一般方程.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得关于的方程组，求解方程组计算可得：标准方程为，离心率为；‎ ‎(2)很明显直线的斜率存在，设出点的坐标，利用点差法可得CD中点坐标为，且，利用点斜式方程可得直线l的一般方程是 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题知，解得， ‎ 椭圆E的标准方程为，离心率.‎ ‎（2）由（1）知，易知直线的斜率存在，设为，‎ 设,则，，‎ ‎，‎ 又是线段CD的中点，，‎ 故直线的方程为，化为一般形式即.‎ 点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部.‎ ‎19．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为坐标原点)，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1）－y2＝1‎ ‎（2）(－1，－)∪(，1)‎ ‎【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ 由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，‎ 所以双曲线C的方程为－y2＝1．‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，‎ 由题意得 ‎，‎ 故k2≠且k2<1 ①．‎ 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，‎ 由·>2得xAxB＋yAyB>2，‎ xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，‎ 于是>2，即>0，解得

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