2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习：专题限时集训 第2部分 突破点21 算法初步、复数、推理与证明

2017年高考数学（理,山东）二轮专题复习：专题限时集训 第2部分 突破点21 算法初步、复数、推理与证明

专题限时集训(二十一)‎ 算法初步、复数、推理与证明 ‎[A组　高考题、模拟题重组练]‎ 一、程序框图(流程图)‎ ‎1．(2016·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图211是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(　　)‎ 图211‎ A．7　 B．12‎ C．17 D．34‎ C　[因为输入的x＝2，n＝2，所以k＝3时循环终止，输出s.根据程序框图可得循环体中a，s，k的值依次为2,2,1(第一次循环)；2,6,2(第二次循环)；5,17,3(第三次循环)．所以输出的s＝17.]‎ ‎2．(2016·全国乙卷)执行如图212所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)‎ 图212‎ A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x C　[输入x＝0，y＝1，n＝1，‎ 运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；‎ 运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；‎ 运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，‎ 输出x＝，y＝6.‎ 由于点在直线y＝4x上，故选C.]‎ ‎3．(2016·全国丙卷)执行如图213所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝(　　)‎ 图213‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ B　[程序运行如下：‎ 开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.‎ 第一次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；‎ 第二次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；‎ 第三次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；‎ 第四次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.‎ 此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.]‎ ‎4．(2016·山东高考)执行如图214所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．‎ 图214‎ ‎3　[第1次循环：a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，ab，输出i＝3.]‎ 二、复数 ‎5．(2016·全国甲卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－3,1)　　 B．(－1,3)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)‎ A　[由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．]‎ ‎6．(2016·全国丙卷)若z＝4＋3i，则＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C.＋i D.－i D　[∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，‎ ‎∴＝＝－i.]‎ ‎7．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)‎ A．1　　　　 B.　　　　‎ C.　　　　 D．2‎ A　[由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.]‎ ‎8．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)‎ A．－1 B．0 ‎ C．1 D．2‎ B　[∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.‎ ‎∴解得a＝0.故选B.]‎ ‎9．(2016·山东高考)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)‎ A．1＋2i　　 B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i B　[法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.‎ 法二：由已知条件2z＋＝3－2i①，得2＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，的方程组，得z＝1－2i.故选B.]‎ 三、合情推理 ‎10．(2016·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 立定跳远(单位：米)‎ ‎1.96‎ ‎1.92‎ ‎1.82‎ ‎1.80‎ ‎1.78‎ ‎30秒跳绳(单位：次)‎ ‎63‎ a ‎75‎ ‎60‎ ‎63‎ 学生序号 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远(单位：米)‎ ‎1.76‎ ‎1.74‎ ‎1.72‎ ‎1.68‎ ‎1.60‎ ‎30秒跳绳(单位：次)‎ ‎72‎ ‎70‎ a－1‎ b ‎65‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)‎ A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 B　[由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛．由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛，分类讨论如下：‎ ‎(1)当a<60时，a－1<59，此时2号和8号不能入选，即入选的只有1,3,4,5,6,7号；‎ ‎(2)当a＝60时，a－1＝59，此时2号和4号同时入选或同时都不入选，均不符合题意；‎ ‎(3)当a＝61时，a－1＝60，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；‎ ‎(4)当a＝62或63时，相应的a－1＝61或62，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；‎ ‎(5)当a≥64时，此时a－1≥63，不符合题意．‎ 综上可知1,3,5,6,7号学生一定进入30秒跳绳决赛．]‎ ‎11．(2016·全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．‎ ‎1和3　[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.‎ 若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；‎ 若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．‎ 故甲的卡片上的数字是1和3.‎ 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]‎ ‎12．(2016·山东高考)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎……‎ 照此规律，‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.‎ n(n＋1)　[通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．] ‎ ‎[B组　“10＋5”模拟题提速练]‎ 一、选择题 ‎1．(2016·威海二模)已知i为虚数单位，复数z＝的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．3 D．－3‎ D　[z＝＝＝.‎ 由题意知a－2＝2a＋1，解得a＝－3.]‎ ‎2．(2016·福州一模)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　)‎ A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i D　[＝(x－xi)＝1－yi，所以x＝2，y＝1，故选D.]‎ ‎3．(2016·广州一模)设复数z1＝3＋2i，z2＝1－i，则＝(　　) ‎ ‎【导学号：67722081】‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ D　[＝ ‎＝|3＋2i＋(1＋i)|＝|4＋3i|＝5.]‎ ‎4．(2016·青岛二模)已知复数z＝，则z－|z|对应的点所在的象限为(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[∵复数z＝＝＝＋i，‎ ‎∴z－|z|＝＋i－＝＋i，其对应的点所在的象限为第二象限．故选B.]‎ ‎5．(2016·郑州二模)某程序框图如图215所示，则该程序运行后输出的值是 ‎(　　)‎ 图215‎ A．2 014 B．2 015‎ C．2 016 D．2 017‎ D　[由程序框图得第一次循环，i＝2 014，S＝2 017；第二次循环，i＝2 013，S＝2 016；第三次循环，i＝2 012，S＝2 017；……，依此类推得最后一次循环为i＝0，S＝2 017，此时循环结束，输出S＝2 017，故选D.]‎ ‎6．(2016·烟台二模)某程序框图如图216所示，则输出的S的值为(　　)‎ 图216‎ A. B. C．0 D．－ C　[由程序框图知S＝sin＋sin＋sinπ＋…＋sinπ.‎ 因为y＝sin x的周期为2π，且sin＋sinπ＋…＋sinπ＝0，‎ 所以S＝sin＋sinπ＋sinπ＋sinπ＋sinπ＝0.‎ 所以S＝sin＋sinπ＋…sin π＝0.]‎ ‎7．(2016·太原一模)执行如图217所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件可以是(　　)‎ 图217‎ A．k≥7? B．k＞7?‎ C．k≤8? D．k＜8?‎ D　[模拟执行程序框图，可得：S＝0，k＝0，‎ 满足条件，k＝2，S＝，‎ 满足条件，k＝4，S＝＋，‎ 满足条件，k＝6，S＝＋＋，‎ 满足条件，k＝8，S＝＋＋＋＝.‎ 由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为.‎ 结合选项可得判断框内填入的条件可以是k＜8.]‎ ‎8. (2016·深圳一模)已知集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝219，则I(a)＝129，D(a)＝921)，阅读如图218所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为(　　)‎ 图218‎ A．792 B．693‎ C．594 D．495‎ D　[对于选项A，如果输出b的值为792，则a＝792，‎ I(a)＝279，D(a)＝972，b＝D(a)－I(a)＝972－279＝693，不满足题意．‎ 对于选项B，如果输出b的值为693，则a＝693，I(a)＝369，D(a)＝963，b＝D(a)－I(a)＝963－369＝594，不满足题意．‎ 对于选项C，如果输出b的值为594，则a＝594，I(a)＝459，D(a)＝954，b＝D(a)－I(a)＝954－459＝495，不满足题意．‎ 对于选项D，如果输出b的值为495，则a＝495，I(a)＝459，D(a)＝954，b＝D(a)－I(a)＝954－459＝495，满足题意．]‎ ‎9．(2016·葫芦岛一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为(　　) 【导学号：67722082】‎ A．201 B．411‎ C．465 D．565‎ C　[200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.]‎ ‎10．(2016·武汉模拟)如图219所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝(　　)‎ 图219‎ A. B. C. D. C　[每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，‎ 则＋＋＋…＋ ‎＝＋＋＋…＋＝1－＝，故选C.]‎ 二、填空题 ‎11．(2016·大连模拟)设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为________．‎ ‎－1　[∵z＝1－i(i为虚数单位)，‎ ‎∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i，‎ 故其虚部为－1.]‎ ‎12．(2016·济南一模)公元约263年，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限接近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图2110是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________(参考数据：≈1.732，sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)．‎ 图2110‎ ‎24　[由程序框图得第一次循环，n＝6，S＝3sin 60 °≈2.598＜3.10；第二次循环，n＝12，S＝6sin 30 °＝3＜3.10；第三次循环，n＝24，S＝12sin 15 °≈3.105 6＞3.10，此时循环结束，输出n的值为24.]‎ ‎13．(2016·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：‎ 甲说：“我们四人都没考好．”‎ 乙说：“我们四人中有人考得好．”‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”‎ 丁说：“我没考好．”‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．‎ 乙丙　[甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．]‎ ‎14．(2016·湖北七市联考)观察下列等式：‎ ‎1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；‎ ‎1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；‎ ‎1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)；‎ ‎……‎ 可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________.‎ n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*)　[根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)‎ ‎＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*)．]‎ ‎15．(2016·泉州一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．‎ 图2111‎ 该表由若干行数字组成，从第2行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为________．‎ ‎2 017×22 014　[由题意知数表的每一行都是等差数列，且第1行数的公差为1，第2行数的公差为2，第3行数的公差为4，……，第2 015行数的公差为22 014，‎ 第1行的第一个数为2×2－1，‎ 第2行的第一个数为3×20，‎ 第3行的第一个数4×21，‎ ‎……‎ 第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，‎ 第2 016行只有一个数M，‎ 则M＝(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.]‎