山东省威海市文登区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

山东省威海市文登区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列集合与集合相等的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的含义，对选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】对：集合中的元素代表点，与集合不同；‎ 对：集合中的元素代表点，与集合不同；‎ 对：，解得或，与集合元素相同；‎ 对：表示两个代数式的集合，与集合不同.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合相等的判断，属基础题.‎ ‎2.已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由，‎ 而推不出，‎ ‎“”是“充分不必要条件 ‎3.已知集合，，则( )‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合，再判断两个集合之间的关系.‎ ‎【详解】对集合，‎ 故存在集合A中的元素-1或2，使得其不属于集合.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合之间的关系，属基础题.‎ ‎4.下表为国家统计局对2012-2018年的农产品生产价格指数进行的统计数据，则下列四个类别的产品生产价格一直在增长的是，生产价格指数最不稳定的是( )‎ 农产品生产价格指数（上年100）‎ 指标 ‎2012年 ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 种植业产品 ‎104.8‎ ‎104.3‎ ‎1018‎ ‎99.2‎ ‎97.0‎ ‎99.5‎ ‎101.2‎ 林业产品 ‎101.2‎ ‎99.1‎ ‎99.4‎ ‎97.9‎ ‎96.1‎ ‎104.9‎ ‎989‎ 畜牧产品 ‎99.7‎ ‎102.4‎ ‎97.1‎ ‎104.2‎ ‎110.4‎ ‎90.8‎ ‎95.6‎ 渔业产品 ‎106.2‎ ‎104.3‎ ‎103.1‎ ‎102.5‎ ‎103.4‎ ‎104.9‎ ‎102.6‎ A. 畜牧产品，种植业产品 B. 渔业产品，畜牧产品 C. 渔业产品，林业产品 D. 畜牧产品，渔业产品 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图表中价格指数的增长情况以及波动情况，即可容易选择.‎ ‎【详解】根据图表可知：‎ 渔业产品每一年的价格指数均超过，故都在增长；‎ 又畜牧产品的价格指数增长波动最大.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查数据分析，属基础题.‎ ‎5.某班有男生28人，女生16人，用分层抽样的方式从中抽取容量为的样本，若男生抽取了7人，则的值为( )‎ A. 10 B. ‎11 ‎C. 12 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样等比例抽取的性质，即可容易判断.‎ ‎【详解】根据题意可得，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题.‎ ‎6.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.则某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算至多1次遇到红灯的概率，再用1减去所求概率，即可求得结果.‎ ‎【详解】若从甲地到乙地，遇到1次红灯，则概率为，‎ 没有遇到红灯的概率为，‎ 故某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查独立事件的概率计算，属基础题.‎ ‎7.下列大小关系正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性，即可判断大小.‎ ‎【详解】因为，‎ 故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较大小，属基础题.‎ ‎8.已知关于的不等式（且）的解集为，则( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行分类讨论，结合临界情况的取值，即可容易求得.‎ ‎【详解】当时，显然恒成立，不符合题意；‎ 当时，是单调减函数，是单调增函数，‎ 根据不等式的解集可知：，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是( )‎ A. “至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件 B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件 D. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，写出所有的基本事件，根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】不妨记两个黑球为，两个红球为，从中取出2个球，则所有基本事件如下：‎ ‎，‎ 恰有一个黑球包括基本事件：，都是黑球包括基本事件，‎ 两个事件没有共同的基本事件，故互斥；‎ 至少一个黑球包括基本事件：，都是红球包括基本事件，‎ 两个事件没有共同的基本事件，且两者包括的基本事件的并集为全部基本事件，故对立.‎ 故选：BC ‎【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的判断，属基础题.‎ ‎10.年度国内生产总值为该年度第一、二、三产业增加值之和，观察下列两个图表，则( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A. 2014~2018年，国内生产总值增长率连续下滑 B. 2014~2018年，第三产业对国内生产总值增长起到拉动作用 C. 第三产业增长率与国内生产总值增长率的变化趋势保持一致 D. 2018年第三产业增加值在国内生产总值的占比超过50%‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表格中数据，结合选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】对：年国内生产总之增长率相对年上涨，故错误；‎ 对：从图表中可知，随着第三产业增加值的增长，国内生产总值的在不断增长，故正确；‎ 对：年第三产业的增长率相对年在增大，而国内生产总值的增长率在下降，故错误；‎ 对：年第三产业的增加值超过万亿元，而当年的国内生产总值有90万亿元，故占比超过，故正确；‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题考图表数据的分析，属基础题.‎ ‎11.已知函数有且只有一个零点，则( )‎ A. ‎ B. ‎ C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数零点的分布，以及三个二次之间的关系，韦达定理的应用，即可容易求得.‎ ‎【详解】因为有且只有一个零点，‎ 故可得，即可.‎ 对：等价于，显然，故正确；‎ 对：，故正确；‎ 对：因为不等式的解集为，‎ 故可得，故错误；‎ 对：因为不等式的解集为，且，‎ 则方程的两根为，‎ 故可得，‎ 故可得，故正确.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式和二次方程，以及二次函数之间的关系，属基础题.‎ ‎12.已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，若，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数性质，赋值即可求得函数值以及函数的周期性.‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数，且为偶函数，‎ 故可得，‎ 则，故选项正确；‎ 由上述推导可知，故错误；‎ 又因为，故选项正确.‎ 又因为，故错误.‎ 故选：AD.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数函数值的求解以及周期性的求解，属综合基础题.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.一组数据2，3，4，5，7，10，12，14，16的25%分位数为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求数据的中位数，再求前一组数据的中位数即可.‎ ‎【详解】因为有9个数据，故可得其中位数为，‎ 则中位数前有2,3,4,5合计4个数，其中位数为，‎ 故可得其25%分位数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查四分位数的求解，属基础题.‎ ‎14.________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数和指数的运算即可容易求得.‎ ‎【详解】原式.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查对数和指数的运算，属基础题.‎ ‎15.三国时代数学家赵爽在注释《周髀算经》时，用几何的方法讨论一元二次方程的解：将四个长为，宽为的矩形围成如图所示正方形，于是中间小正方形的面积为________，且大正方形的面积为________，从而得到一元二次方程的根.（用，表示）‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，用整体代入的思想，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】由题可知，小正方形边长为，则小正方形的面积为；‎ 又四个小长方形的面积为，‎ 故可得大正方形的面积为：，‎ 又因为，故可得代入上式 可得大正方形的面积为.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查一元二次方程根的求解，属基础题.‎ ‎16.若，使不等式成立，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围.‎ ‎【详解】令，由可得，‎ 则问题等价于存在，，‎ 分离参数可得 若满足题意，则只需，‎ 令，令，‎ 则，容易知，‎ 则只需，整理得，‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设集合，，若，，写出符合条件的所有集合.‎ ‎【答案】，，，，，，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得二次函数值域和二次不等式，再写出集合的子集即可.‎ ‎【详解】由题意知，，.‎ 若，，所以， ‎ 所以，，，，，，，.‎ ‎【点睛】本题考查集合子集的求解，属基础题.‎ ‎18.空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AOI大小分为六级.某地区一监测站记录自2019年9月起连续天空气质量状况，得如下频数统计表及频率分布直方图.‎ 空气质量指数（AOI）‎ 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 频数（天）‎ ‎25‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）求，的值，并完成频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；‎ ‎（Ⅲ）在空气质量指数分别为和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，再从中任意选取2天，求事件“两天空气质量等级不同”发生的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ），，直方图见解析；（Ⅱ）90，81.25；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由频率的计算公式，即可求得参数，根据表格中数据，即可补全直方图；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图中平均数和中位数的求解方法，即可容易求得；‎ ‎（Ⅲ）先用分层抽样求得天中在区间和的天数，列举出所有任取天的可能性，找出满足题意的可能性，根据古典概型的概率求解公式即可求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题知，解得，所以. ‎ 频率分布直方图如图：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）平均数为 ‎； ‎ 中位数为 ；‎ ‎（Ⅲ）按分层抽样在和中抽取分别抽取4天和2天，‎ 在所抽取的6天中，将空气质量指数为的4天分别记为，，，，‎ 空气质量指数为的2天分别记为，，‎ 从中任取2天的基本事件为 ‎ 共15个，‎ 其中事件“两天空气质量等级不同”发生基本事件包括8个，‎ 所以概率.‎ ‎【点睛】本题考查频率的计算，频率分布直方图的绘制，以及由频率分布直方图计算中位数和平均数，古典概型的概率计算，涉及分层抽样，属综合中档题.‎ ‎19.已知命题，，，.试判断“为真命题”与“为真命题”的充分必要关系.‎ ‎【答案】“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由恒成立问题求得“为真命题”与“为真命题”对应的参数范围，结合集合之间的关系，判断充分性和必要性.‎ ‎【详解】若为真命题，则， ‎ 令，在单调递减，‎ 所以，∴，. ‎ ‎，， ‎ 若为真命题，则 由.，可得，‎ 所以 ‎ 因为，‎ 所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.‎ ‎【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由恒成立问题求参数的范围，属综合中档题.‎ ‎20.已知偶函数，且.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若的值域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由函数定义域关于原点对称，以及函数值，待定系数即可求得结果；‎ ‎（Ⅱ）根据对数型复合函数的值域以及的值域，即可求得参数的范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，‎ 对于，因为，所以 因为为偶函数，所以其定义域关于原点对称 所以对于，一定有，则 且有，可得 ‎ 所以 解得， ‎ 因为，‎ 所以，从而. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ‎ 当时，可得，所以，即； ‎ 当时，，所以， ‎ 因为的值域为，所以，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查由对数型复合函数的奇偶性求参数值，以及对数型符合函数值域的求解，属中档题.‎ ‎21.2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90‎ 万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障.‎ ‎（Ⅰ）写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润；‎ ‎（Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元；（Ⅲ）5年.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据，分段求得利润，将其写成分段函数即可；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所求，求分段函数的最值；‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所求，解简单不等式即可求得.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，‎ 年利润；‎ 时，.‎ 所以； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，，‎ 所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元； ‎ 时，，‎ 当且仅当万件时，乙获得的利润最大为24万元. ‎ 综上可知，年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元. ‎ ‎（Ⅲ）由题意，设最早年后还清所有贷款，‎ 则有，解得，‎ 所以企业最早5年后还清所有贷款.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，属综合基础题.‎ ‎22.已知函数（且）.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）用定义证明在单调递增；‎ ‎（Ⅲ）若，成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求得，再根据对数的运算性质，即可求得结果；‎ ‎（Ⅱ）对进行分类讨论，根据单调性定义，作差比较大小即可证明；‎ ‎（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所证，根据函数单调性求解不等式即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ），因为，‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）设且，那么 ‎ ‎ 当时，，则，‎ 又，，则，‎ 所以，从而； ‎ 当时，，则，‎ 又，，则，‎ 所以，从而，‎ 综上可知在单调递增. ‎ ‎（Ⅲ）由题意可知的定义域为，且，‎ 所以偶函数. ‎ 所以等价于，‎ 又因为在单调递增，‎ 所以，即，‎ 所以有：，， ‎ 令，‎ 则，，‎ ‎，且，或或，‎ 所以或.‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算性质，以及利用函数单调性的定义求证指数型函数的单调性，涉及利用函数单调性求解不等式，属综合中档题.‎