河南省南阳市第一中学校2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

河南省南阳市第一中学校2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

高三文科数学期中考试模拟试题 一、选择题 ‎1.已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，复数在复平面内对应的点分别为和 故答案选 ‎2.对于任意实数a，b，若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A. B. a2＞b2 C. a3＞b3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意，依次分析选项：对于A，当，时，，故A错误；对于B，当，时，，故B错误；对于C，由不等式的性质可得C正确；对于D，当，时，，故D错误；故选C.‎ ‎3.等差数列满足，，则（ ）‎ A. 36 B. 39 C. 44 D. 51‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得的值，再由 可得的值，计算可得答案.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 等差数列满足，‎ 则，则，‎ 则，‎ 即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式及等差数列的性质，是基础题.‎ ‎4.若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）‎ A. 1 B. 15 C. 0.75 D. 1.75‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线的变化范围，最后由三角形的面积公式解之即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，不等式组 表示的平面区域是，‎ 动直线 (即)在轴上的截距从-2变化到1，‎ 知是斜边为3的等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形，所以区域的面积为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查的是线性规划应用，利用数形结合是解决线性规划问题的基本方法，是基础题.‎ ‎5.设命题，；命题，中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为,在单调递增,所以假，若都小于，则，又根据基本不等式可得,矛盾，真, 根据真值表知为真,故选B.‎ 考点：1、函数的单调性；2、基本不等式的应用及反证法.‎ ‎6.如图，在中，，，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可.‎ ‎【详解】 ,,‎ ‎, ,,‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎,‎ ‎,,则,故选：.‎ ‎【点睛】本题考查是向量的线性运算，向量加法的三角形法则，是基础题.‎ ‎7.已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.‎ ‎【详解】设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为 ‎，‎ 则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,‎ 故不等式的解集为.故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.‎ ‎8.已知是内部一点，，且，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由可知点O是的重心，，，所以，=，选A.‎ ‎【点睛】在中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点），重心分中线为比2:1，重心与三个项点连线三等分三角形面积．‎ ‎9.若数列满足，且，则数列的前项中，能被整除的项数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由得数列是以为首项，为公差的等差数列，即，得，要使能被整除，只需满足被整除，在前项中有共项，或能被整除，在前项中有 共项，故总共项，故选B.‎ 考点：数列递推式.‎ ‎10.在△ABC中，D为边BC上一点，DC =2BD，AD=，ADC=45°，若AC=AB，则BD等于（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】在中，，‎ 在中，,‎ ‎∵，，∴，整理得，‎ 解得或（舍去）．故选C.‎ 考点：余弦定理．‎ ‎11.已知函数关于直线对称 , 且,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D.‎ ‎12.已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，‎ ‎ 所以恒成立，且，‎ 即，解得，‎ 所以，所以，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了函数解析式的求法和函数值的求解问题，着重考查学生的运算、求解能力，试题比较基础，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13.集合，则中元素的个数为______‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式，求出集合,用列举法表示即可.‎ ‎【详解】，‎ ‎,‎ 集合中的元素的个数为4个.‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法，同时用列举法表示集合，是基础题.‎ ‎14.菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为____________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由数量积的几何意义知，当在上的投影最大时，最大.‎ 从图可以看出，当N点在点C处，在上投影最大，‎ 所以的最大值为：.‎ ‎15.已知，，且，则的最小值为______‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简方程为，然后变换表达式利用基本不等式求出表达式的最小值即可.‎ ‎【详解】由得，即，‎ ‎ ‎ ‎，当且仅当时取等号.‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】本题考查的是基本不等式的应用，考查学生的观察问题、分析问题的能力，是中档题.‎ ‎16.函数是奇函数，且图象经过点，则函数的值域为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数的值域即可.‎ ‎【详解】函数是奇函数，则:①,‎ 结合函数所过的点可得:②,①②联立可得:， 则函数的解析式为:，结合指数函数的性质可得:，，. ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法（待定系数法）及函数定义域值域的求法，要求学生仔细审题，考查学生的计算能力，是难题.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数.‎ ‎（1）若的定义域为，求的单调递增区间；‎ ‎（2）若的内角，，的对边分别为，，，且，.在上的最大值为，求长.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先，结合二倍角公式和辅助角公式化简给定的函数，得到,‎ 然后，根据三角函数的单调性进行确定单调递增区间;‎ ‎(2)由(1)知,且，可得，即可求的值，进而利用余弦定理可求的值.‎ ‎【详解】（1），由，，‎ 得，而，则的单调递增区间为.‎ ‎（2）由（1）知，时，‎ ‎，，‎ 即时取最大值，则，中由余弦定理得 将， ，代入，解得.‎ ‎【点睛】本题考查的是三角函数的化简及应用，二倍角公式以及辅助角公式的应用，三角函数在给定区间上的单调性，三角函数的最值，及余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题.‎ ‎18.已知数列的前项和为，有，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 运用，计算通项即可.‎ ‎(2)采用裂项相消法求和，即可.‎ ‎【详解】解：（1）时，,,‎ 得，即，‎ 将代入，得，，‎ 得到数列是首项，公比为3的等比数列，‎ 所以.‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查的是数列通项，及数列求和的裂项求和等基础知识，考查学生的运算能力，是中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)若,求证：在上是增函数；‎ ‎(2)求在上的最小值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 求出，证明时，即可得到在上是增函数；(2)分三种情况讨论的取值范围，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性可求在上的最小值．‎ ‎【详解】（1）当时，,‎ 当时，,‎ 所以在上是增函数.‎ ‎（2）,‎ 当 若则当时，‎ 所以在上是增函数，‎ 又故函数在上的最小值为1,‎ 若，则当 所以在上是减函数，又 所以函数在上的最小值为,‎ 若，则：‎ 当时，，此时是减函数,‎ 当时，，此时增函数,‎ 又,‎ 所以函数在上的最小值为,‎ 综上可知，当函数在上的最小值为1,‎ 当，函数在上的最小值为,‎ 当，函数在上的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论思想的应用. 属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.‎ ‎20.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，设，向量 ‎．‎ ‎（1）若，求向量与的夹角；‎ ‎（2）若 对任意实数都成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）向量与的夹角为；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意结合平面向量的坐标表示，结合平面向量的数量积运算法则可得. 则向量与的夹角为. ‎ ‎(2)原问题等价于任意实数都成立.分离参数可得任意实数都成立.结合三角函数的性质求解关于实数的不等式可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意， ， ，‎ 所以 ， ，‎ 设向量与的夹角为, ‎ 所以.‎ 因为，即，所以. ‎ 又因为，所以,即向量与的夹角为. ‎ ‎（2）因为对任意实数都成立，而,‎ 所以，即任意实数都成立. . ‎ 因为，所以任意实数都成立.‎ 所以任意实数都成立. ‎ 因为，所以任意实数都成立.‎ 所以，即， ‎ 又因为，所以 ‎21.设数列的前项和为，已知，.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）若数列满足：，.‎ ‎①求数列的通项公式；‎ ‎②求 ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）①,②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)应用等比数列的定义证明;‎ ‎(2)先证明数列是等差数列,再利用等差数列的通项公式求出的通项公式，进而求出的通项公式，最后利用错位相减法求和.‎ ‎【详解】（1）解：由，得，‎ 两式相减，得，即.‎ 因为，由，得，所以，‎ 所以对任意都成立，‎ 所以数列为等比数列，首项为1，公比为2.‎ ‎（2）①由（1）知，，由，得，即，‎ 即，因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以.‎ ‎②设，则，‎ 所以，‎ 两式相减，得:‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的概念、通项公式，求和公式以及错位相减法求和的综合应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.是难题.‎ ‎22.已知函数，（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）求曲线在处的切线的方程；‎ ‎（2）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；‎ ‎（3）当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）不存在,理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程;‎ ‎(2) 讨论和，由参数分离和构造函数,求出导数，单调区间，可得最值，进而 得到所求的范围;‎ ‎(3)依题意,，求出导数，可令， 求得导数和单调区间、可得最值，进而得到M(x)的单调性，即可判断存在性.‎ ‎【详解】（1），.‎ 在处的切线斜率为，‎ ‎∴切线的方程为，即.‎ ‎（2）∵对于任意实数，恒成立，‎ ‎∴若，则为任意实数时，恒成立；‎ 若，恒成立，即，在上恒成立，‎ 设，则，‎ 当时，，则在上单调递增；‎ 当时，，则在上单调递减；‎ 所以当时，取得最大值，，‎ 所以的取值范围为.‎ 综上，对于任意实数，恒成立实数的取值范围为.‎ ‎（3）依题意，，所以，‎ 设，则，当，‎ 故在上单调增函数，因此在上的最小值为，‎ 即，又，所以在上，‎ ‎，即在上不存在极值.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性;函数的最值及其几何意义;利用导数研究函数的极值，是难题.‎ ‎ ‎