2019-2020学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考数学试题 Word版

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湖北省荆州中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 不等式的解集为(     )‎ A. B. C. D. ,‎ 2. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是    ‎ A. “至少有一个黑球与都是黑球” B. “至少有一个黑球与至少有一个红球” C. “恰好有一个黑球与恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球与都是红球”‎ 3. 若且,则的终边在(     )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第三象限或第四象限 4. 函数的最大值为(     )‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 7‎ 5. 已知点、,若向量与的方向相反,则 A. 1 B. C. D. ‎ 6. 已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC,,则该球的体积为  ‎ A. B. C. D. ‎ 7. 如图,正方形ABCD中,M、N分别是BC、CD的中点,若,则(     )‎ A. 2 B. C. D. ‎ 1. 定义在R上的偶函数满足：对任意的,,有,且,则不等式解集是(     )‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知数列满足：,,且,则数列的前13项和为(     )‎ A. B. C. D. ‎ 3. 等差数列的前n项之和为,已知,,,则,,,,,,中最大的是(     )‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知a、b、c为实常数,数列的通项,,则“存在,使得、、成等差数列”的一个必要条件是(     )‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知等比数列的公比是q,首项,前n项和为,设,,成等差数列,若,则正整数k的最大值是　　‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 14 D. 15‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 6. 一个骰子连续投2 次,点数积大于21 的概率______ ．‎ 7. 已知正数x,y满足,则的最小值为______ ．‎ 8. 已知函数在定义域上是偶函数,在上单调递减,并且,则m的取值范围是______．‎ 9. 已知向量,,若,则的值为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 10. 在中,． 求的大小； 求的最大值． ‎ 1. 已知向量,,记．Ⅰ求的单调递减区间；Ⅱ若,求的值；Ⅲ将函数的图象向右平移个单位得到的图象,若函数在上有零点,求实数k的取值范围．‎ 2. 如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将,分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点P如图2．Ⅰ求证：； Ⅱ求四棱锥的体积．‎ 3. 上周某校高三年级学生参加了数学测试,年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；；第六组,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图． Ⅰ 估计这次月考数学成绩的平均分和众数；Ⅱ从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间内的概率． ‎ ‎21. 如图,摄影爱好者在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为,已知摄影爱好者的身高约为米将眼睛S距地面的距离SA按米处理． Ⅰ求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；Ⅱ立柱的顶端有一长为‎2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转当时,求摄影爱好者观察彩杆MN的视角的余弦值． ‎ ‎22. 已知数列的前n项和,点在函数的图象上 求的通项公式； 设数列的前n项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数a 的取值范围． ‎ ‎20190928数学试卷 CCCBC ADBBC AA 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 1. 在中,． 求的大小； 求的最大值．‎ ‎【答案】解：在中,． ． 由正弦定理得, 又因为, ； 由得：, , , 故当时,取最大值1, 即的最大值为1．‎ ‎【解析】本题考查的知识点是余弦定理,和差角公式,正弦型函数的图象性质,属于中档题．Ⅰ 由已知根据余弦定理,可得,进而得到答案．Ⅱ由得：,结合正弦型函数的图象和性质,可得的最大值． ‎ 1. 已知向量,,记．Ⅰ求的单调递减区间；Ⅱ若,求的值；Ⅲ将函数的图象向右平移个单位得到的图象,若函数在上有零点,求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】解：Ⅰ , 由,求得, 所以的单调递减区间是,；Ⅱ由已知,得, 即,则,． ；Ⅲ将函数的图象向右平移个单位得到的图象, , ,所以, ． 若函数在上有零点, 则函数的图象与直线在上有交点, 所以实数k的取值范围为 ‎【解析】本题考查向量的数量积公式,三角恒等变换,正弦函数的单调性,函数的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．Ⅰ两个向量的数量积公式,三角恒等变换,正弦函数的单调性,求的单调递减区间；Ⅱ由题意,求出,,代入可得结果；Ⅲ利用的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,‎ 求得实数k的取值范围． ‎ 1. 如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将,分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点P如图2．Ⅰ求证：；Ⅱ求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】证明：Ⅰ边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点, 将,分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点P, ,, ,平面PEF, 平面PEF,． 解：Ⅱ 2. 上周某校高三年级学生参加了数学测试,年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；；第六组,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图． Ⅰ估计这次月考数学成绩的平均分和众数；Ⅱ从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．‎ ‎【答案】解：Ⅰ因各组的频率之和为1,所以成绩在区间内的频率为 , 所以平均分, 众数的估计值是Ⅱ设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间内”,由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人,记这4名学生分别为a,b,c,d, 成绩在区间内的学生有人,记这2名学生分别为e,f, 则从这6人中任选2人的基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,,共15种, 事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：,,,,,,,,,共9种, 所以． 故所求事件的概率为：．‎ ‎【解析】本题考查了频率分布直方图,考查了古典概型及其概率计算公式,解答的关键是对事件的列举做到不重不漏,难度适中．Ⅰ由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在的学生频率,再估计这次月考数学成绩的平均分和众数；Ⅱ用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生的事件个数,列出至少有1名学生成绩在的事件个数,然后直接利用古典概型概率计算公式求解． ‎ 1. 如图,摄影爱好者在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为,已知摄影爱好者的身高约为米将眼睛S距地面的距离SA按米处理． Ⅰ求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；Ⅱ立柱的顶端有一长为‎2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转当时,求摄影爱好者观察彩杆MN的视角的余弦值．‎ ‎【答案】解：Ⅰ如图,作于C, 依题意, 又, 故在中,可求得, 即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为‎3米, 在中,,,, 又, 故, 即立柱的高度OB为米；Ⅱ因为, 所以, 于是得, 又, 从而．‎ ‎【解析】本题考查的是解三角形的应用,解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题,熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理,属于中档题．Ⅰ摄影者眼部记为点S,作于C,则有,．,在中,由三角函数的定义可求AB；再由,,在中由三角函数的定义可求OC,进而可求OB；Ⅱ由题意可得,结合余弦定理可得,则有,再由,可求的余弦值． ‎ 1. 已知数列的前n项和,点在函数的图象上 求的通项公式； 设数列的前n项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】解：点在函数的图象上, , 当时,, ‎ 得, 当时,,符合上式, ； 由知,则 , 数列单调递增, ． 要使不等式对任意正整数n恒成立,只要, , , ,即．‎ ‎【解析】本题考查数列的通项与求和,着重考查等差关系的确定及数列的单调性的分析,突出裂项法求和,突出转化思想与综合运算能力的考查,属于难题． 根据题意可得,可得,从而即可求的通项公式； 由知,利用裂项法可求,从而可求得,由,可判断数列单调递增,从而可求得a的取值范围． ‎