2018-2019学年安徽省芜湖市安师大附中高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年安徽省芜湖市安师大附中高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

芜湖市安师大附中2018-2019学年度第二学期期中考查 高二数学（理）试题 命题教师： 审题教师： ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.下列求导运算正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋x2，则f ′(1)＝（ ）‎ A．－1 B．－‎2 C．1 D．2 ‎ ‎4.在用数学归纳法证明:“对从开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的 ‎ 等于(　　)‎ ‎ A．1　　 　　B．‎3　‎　 　　C．5　　 　　D．7‎ ‎5.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B‎1C1组合而成，现用3种 ‎ 不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B‎1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的 ‎ 染色方案共有(　　)‎ ‎ A．24种 B．18种 ‎ ‎ C．16种 D．12种 ‎ ‎ ‎6.函数f(x)＝xcosx的导函数f ′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为(　 　)‎ ‎ A B C D ‎ ‎7.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样 ‎ 的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”‎ 都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是(　 　)‎ ‎①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.‎ ‎ A．①④　　 　 B．②⑤　　　 C．③⑤　　　 D．②③‎ ‎8.向平面区域Ω＝{(x，y)|－≤x≤，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方 ‎ 的概率是(　 　)‎ ‎ A． B． C．－1 D． ‎9.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f ′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解 ‎ 集为(　 　)‎ ‎ A．{x|x>0} B．{x|x<0} C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为，则可推算出：EF＝，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD、BC相交于O点，设△OAB、△OCD的面积分别为S1、S2，EF∥AB，且EF到CD与AB的距离之比为，则△OEF的面积S0与S1、S2的关系是 ．‎ ‎16.如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝‎1m，AD＝‎0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共5小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分8分). 已知函数在处有极值.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数的单调性并求出单调区间．‎ ‎18.(本小题满分8分).用这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？‎ ‎（Ⅰ）比大的偶数；‎ ‎（Ⅱ）左起第二、四位是奇数的偶数．‎ ‎19.(本小题满分10分)已知数列满足.‎ ‎（Ⅰ）证明：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）令，用数学归纳法证明：.‎ ‎ ‎ ‎20．(本小题满分10分)已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为,记,求函数在区间上的最小值.‎ 安徽师范大学附属中学2018-2019学年度第二学期期中考查 高二数学试题（理）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B C D A C D A C A B 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎13. 14. 15. ＝ 16. ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分8分）‎ 解: （Ⅰ）因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f ′(x)＝2ax＋.‎ 又函数f(x)在x＝1处有极值，‎ 所以即可得a＝，b＝－1. ………4分 ‎（Ⅱ）由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，‎ 且f ′(x)＝x－＝.‎ 当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f ′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．………8分 ‎18.（本小题满分8分）‎ 解: （Ⅰ）①当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3×A＝18个．‎ ‎②当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2×A＝12个．‎ ‎③当末位数字是4时，首位数字是3的有A＝6个，首位数字是2时，有3个，共有9个．‎ 综上知，比21034大的偶数共有18＋12＋9＝39个． ………4分 ‎（Ⅱ）第二、四位从奇数1,3中取，有A个；首位从2,4中取，有A个；余下的排在剩下的两位，有A个，故共有AAA＝8(个)． ………8分 ‎19.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ），是首项为1，公比为3的等比数列. ………4分 ‎（Ⅱ）原不等式即为：（）‎ 用数学归纳法证明不等式：‎ ‎ 当时，左边=，不等式成立 假设时，不等式成立，即 则时，左边=‎ 当时，不等式也成立.‎ 因此，当时， ………10分 ‎20.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）, ‎ ‎,所求切线方程为 ………2分 ‎（Ⅱ）令 ① 当时，，时，；时，‎ 在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎，即 ………4分 ① 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，‎ 则，解得 ………6分 ② 当时，，在上是增函数，‎ ‎，成立 ………8分 ③ 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，要使，‎ 则，解得 ‎ 综上，实数的取值范围为 ………10分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（I） ………1分 时，或 ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 函数单调增区间为，；减区间为. ………3分 ‎（II）由（I）知在内单调递增，在内单调递减.‎ 所以函数在内恰有两个零点当且仅当，‎ 解得，的取值范围是. ………7分 ‎（III）,由（I）知：在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.‎ ‎（1）当 ‎（2），在单调递增，在单调递减..最小值是与的较小者，‎ ‎，‎ ‎，在递减，最小值为.‎ ‎（1）、（2）可以合并 ………10分 ‎(3),‎ 最大值为与较大者，最小值为与较小者 在，上单调递增 而 ‎，，‎ 综上，函数在上的最小值为. ………12分