福建省龙岩市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 龙岩市2019~2020学年第一学期期未高二教学质量检查 数学试题 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上.‎ ‎1.命题:“,使得”的否定是( )‎ A. ,使得 B. ,都有 C. ,都有 D. ,都有 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题否定定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】命题:“,使得”‎ 根据存在性命题的否定是全称命题 命题:“,使得”的否定是:,都有.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了特称命题否定,解题关键是掌握特称命题定义,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎2.抛物线的准线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,可得 - 26 -‎ 抛物线的准线方程为:.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求抛物线的准线,解题关键是掌握抛物线定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎3.甲、乙两人进行轮投篮训练,每轮投篮次,每轮投进的次数如下:甲:；乙:.若甲的中位数为,乙的众数为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数和众数定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】甲:‎ 即:甲:其数据是奇数个 甲数据的中位数是:.故.‎ 乙:‎ 乙数据的众数是.故.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求数据的中位数和众数,解题关键是掌握中位数和众数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎4.总体由编号为01,02,…,49,50的50个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第6行的第9列开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为( )‎ 附：第6行至第7行的随机数表：‎ ‎2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620‎ ‎7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125‎ A. 48 B. 41 C. 19 D. 20‎ ‎【答案】C - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表法进行简单随机抽样的方法,即可求得答案.‎ ‎【详解】选取方法是从随机数表第6行的第9列开始从左到右依次选取两个数字 则这四个数为:41、48、28,19,‎ 故选: C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了随机数表法进行简单随机抽样,解题关键是掌握随机数表法进行简单随机抽样,属于基础题.‎ ‎5.双曲线的右焦点到其渐近线的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的右焦点坐标,渐近线方程,利用已知条件求解,即可求得答案.‎ ‎【详解】双曲线 可得:,可得:‎ 可得右焦点为 ,‎ 点F到渐近线的距离为:‎ 故选: D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线焦点到渐近线的距离,解题关键是掌握双曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎6.已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“∥”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 - 26 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,即,不一定有∥,也可能 ‎“”是“∥”的不充分条件 ‎∥,可以推出,‎ ‎“”是“∥”是必要条件,‎ 综上所述, “”是“∥”必要不充分条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.‎ ‎7.从四双不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”（ ）‎ A. 是对立事件 B. 不是互斥事件 C. 是互斥但不对立事件 D. 都是不可能事件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从双不同的鞋中任意摸出只,可能的结果为:“恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”,即可求得答案.‎ ‎【详解】从双不同的鞋中任意摸出只,可能的结果为:‎ ‎“恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”,‎ 故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有只成对”+“只都不成对”“至少有两只不成对”.‎ 事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”是:对立事件.‎ - 26 -‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断2个事件否是对立事件,解题关键是掌握对立事件概念和结合实际问题具体分析,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎8.如图所示,在平行六面体中,,,,是中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平行六面体中根据空间向量的加法合成法则,对向量进行线性表示,即可求得答案.‎ ‎【详解】连接 可得:‎ - 26 -‎ 又 故选: D.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.‎ ‎9.命题,若是真命题,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,要保证命题是真命题,只需保证大于在上的最小值,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 利用参数分离法可得:‎ 要保证命题是真命题 只需保证大于等于在上的最小值 当,‎ 当且仅当时取等号.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数,‎ - 26 -‎ 解题关键是掌握含参一元二次不等恒成立的解法和灵活使用参数分离法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎10.在空间直角坐标系中,,为的中点,为空间一点且满足,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,为的中点,,, 设:,可得结合,即可求得答案.‎ ‎【详解】,为的中点 设:‎ 整理可得:①‎ 可得②‎ ‎③‎ 联立①②③可得:‎ - 26 -‎ 解得: ‎ 故:‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间坐标数量积,解题关键是掌握向量基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡上.‎ ‎11.已知函数的定义域是A,值域是;的定义域是C,值域是,且实数满足.下列命题中,正确的有( )‎ A. 如果对任意,存在,使得,那么;‎ B. 如果对任意,任意,使得,那么;‎ C. 如果存在,存在,使得,那么;‎ D. 如果存在,任意,使得,那么.‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据连个函数定义域和值域之间的关系,逐项判断,即可求得答案.‎ ‎【详解】对于A, 如果对任意,存在,使得,可得,故A正确;‎ - 26 -‎ 对于B, 如果对任意,任意,使得,即:的值域的最小值大于值域的最大值,可得,故B正确;‎ 对于C,取的值域,值域,此时满足存在,存在,使得,但,故C错误;‎ 对于D, 如果存在,任意,使得,即的值域的最大值大于值域的最小值,故D正确.‎ 综上所述,正确的是ABD.‎ 故选: ABD.‎ ‎【点睛】本题考查了两个函数之间任意与存在性问题,解题关键是掌握函数定义域和值域的基础知识和存在性问题,任意性问题的解法,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.‎ ‎12.已知分别为双曲线的左右焦点,且,点为双曲线右支上一点,为的内心 ,若成立,过原点作的平行线交于则下列结论正确的有( )‎ A. B. ‎ C. 点的横坐标为 D. ‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给条件,结合抛物线知识和正弦定理,逐项判断,即可求得答案.‎ ‎【详解】对于A,分别为双曲线的左右焦点 根据,即①‎ 又②‎ 由①②可得:‎ - 26 -‎ 即:,‎ 解得:‎ 又 设的内切圆半径为 由 得 即 ‎,即 ‎,故A正确;‎ 对于B,由A求解可知, ,故B错误;‎ 对于C,延长交轴于,过点分别向,交点分别为 为的内心 - 26 -‎ 可得:‎ 即 故:①‎ 又②‎ 由①②解得:‎ ‎,故C正确;‎ 对于D,在,设,则 在和,根据正弦定理可得:‎ ‎③‎ ‎④‎ 由③④可得:‎ ‎,解得 ‎∥‎ 即 故D正确.‎ 综上所述,正确的是ACD.‎ - 26 -‎ 故答案为: ACD.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线中的三角形问题,解题关键是掌握双曲线的定义和三角形内心特征,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.古代科举制度始于隋而成于唐，完备于宋、元，明代则处于其发展的鼎盛阶段，其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷按比例录取，其录取比例为.若明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用所给比例,即可求得答案.‎ ‎【详解】明宣德五年会试录取人数为,‎ 根据会试分南卷、北卷、中卷按比例录取,其录取比例为 中卷录取人数为:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,正确理解分层抽样是关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎14.为了提高中小学生的身体素质,教育部明确规定“保证学生每天锻炼一小时”.某校为了调查学生体育锻炼情况,现从该校名学生中抽取名学生,统计其每天体育锻炼的时间,进行整理后分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.根据直方图可以估计该校每天锻炼“不低于一小时”的学生人数_______.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 26 -‎ ‎【分析】‎ 先根据直方图求出频率，进而可得结果.‎ ‎【详解】由频率分布直方图得:‎ 该校每天锻炼“不低于一小时”的学生锻炼的时间的频率为:‎ 估计该校每天锻炼“不低于一小时”的学生人数:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据频率直方图计算频率和数据统计,解题关键是掌握频率直方图基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎15.已知直线与椭圆交于两点,且为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则该椭圆的离心率是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出草图,根据直线与椭圆交于两点,且为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,可得,即可求得答案.‎ ‎【详解】根据题意画出草图 直线与椭圆交于两点,且为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点 - 26 -‎ 与联立方程:‎ 则:解得:‎ 两点 可得,‎ 由,可得 即 ‎,即 可得:,故 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率,解题关键是掌握椭圆离心率定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎16.在棱长为的正方体中,为中点,点在正方体的表面上移动,且满足,当在上时,______;点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积为_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点分别为连结可得点的运动轨迹为梯形 - 26 -‎ ‎,可求当点在上时,点为的中点,利用勾股定理可求,由于梯形为等腰梯形,可求其面积,即可求得答案.‎ ‎【详解】取的中点分别为,连结 四点共面,且四边形为梯形，‎ 面 点在正方体表面上移动 点的运动轨迹为梯形 如图所示：‎ 正方体的边长为，‎ 当点在上时,点为的中点,‎ 又,‎ 梯形为等腰梯形 等腰梯形高为 - 26 -‎ 故答案为:, 点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求正方体中两点距离和正方体中的四边形面积,解题关键是掌握正方体的特征和动点面积求法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知条件:空间向量,,满足;条件:方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）求使条件成立的的取值范围;‎ ‎（2）若成立是成立的充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为空间向量,,可得,即可求得答案;‎ ‎（2）方程表示焦点在x轴上的双曲线, ,解得,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）空间向量,‎ 可得,‎ 要使p成立,只需 ‎（2）方程表示焦点在x轴上的双曲线,‎ ‎,解得,‎ 若p成立是q成立的充分条件,‎ 的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据命题成立求参数范围和根据充分条件求参数范围,解题关键是掌握充分条件定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ - 26 -‎ ‎18.已知抛物线的焦为,点在抛物线上,.‎ ‎（1）求抛物线的方程;‎ ‎（2）设直线与抛物线相交于两点,O为坐标原点,求证:.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为抛物线的焦为,点在抛物线上,,即可求得答案;‎ ‎（2）设由,消去,可得,故,由,两式相乘,得,即可求得答案;‎ ‎【详解】（1）抛物线的焦为,点在抛物线上,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故抛物线方程为.‎ ‎（2）设,‎ 由,消去 可得,‎ ‎,‎ 由,两式相乘,‎ 得,‎ ‎,‎ ‎.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了求抛物线方法和抛物线与直线关系问题,解题关键是掌握抛物线基础知识和在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起关系式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ ‎19.《国家中长期教育改革和发展规划2010-2020》指出,到2020年基本实现教育现代化,进入人力资源强国行列,并提出要实现更高水平的普及教育,基本普及学前教育、巩固提高九年义务教育、提高高等教育大众化水平,从国家层面确立了教育的重要地位.随着国家对教育的日益重视,教育经费投入也逐渐加大.下图是我国2010年到2016年国家财政性教育经费投入(单位:万亿元)的散点图,年份代码为.‎ 注:年份代码1-7分别对应年份2010-2016.‎ ‎（1）由散点图可知国家财政性教育经费投入与年份代码具有相关关系,试建立国家财政性教育经费投入与年份代码的回归方程;‎ ‎（2）预测2020年我国国家财政性教育经费投入的值是否能超过万亿.‎ 附注:参考数据:,,‎ 参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.‎ ‎【答案】（1）；（2）是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ ‎（1）由散点图中数据和附注中参考数据得,,求得和,即可求得答案;‎ ‎（2）根（1）求得回归直线方程,将代入,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）由散点图中数据和附注中参考数据得,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 可得得.‎ 关于的回归方程为:‎ ‎（2）将2020年对应的代入回归方程得:.‎ 预测2020年我国国家财政性教育经费投入的值约为万亿元,超过万亿.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求数据的回归直线方程,解题关键是掌握回归直线的解法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎20.如图,菱形的边长为,,将沿折起,使点到达点的置,且.‎ ‎（1）求证:平面平面;‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）答案见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据条件求证平面,即可求证平面平面,即可求得答案;‎ ‎（2）由（1）知两两垂直,取O为原点,方向作为轴的正方向,建立空间直角坐标系,求得平面的法向量和,设与平面所成角为,根据,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）取中点,由于与均为等边三角形,‎ ‎,在中,,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又 平面,而平面,‎ 平面平面 ‎（2）由（1）知两两垂直,‎ 取O为原点,方向作为轴的正方向,建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ ‎,‎ 设平面的法向量,‎ - 26 -‎ 由得,‎ 令,得.‎ 平面的一个法向量为,‎ 设与平面所成角为,‎ 则,‎ 与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求证面面垂直和向量法求线面角,解题关键是掌握面面垂直的证法和向量法求线面角的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎21.某厂为了评估某种零件生产过程的情况,制定如下规则:若零件的尺寸在,则该零件的质量为优秀,生产过程正常;若零件的尺寸在且不在,则该零件的质量为良好,生产过程正常;若零件的尺寸在且不在,则该零件的质量为合格,生产过程正常;若零件的尺寸不在,则该零件不合格,同时认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,(其中为样本平均数,为样本标准差)下面是检验员从某一天生产的一批零件中随机抽取的20个零件尺寸的茎叶图(单位:cm)经计算得,其中为抽取的第个零件的尺寸,.‎ ‎（1）利用该样本数据判断是否需对当天的生产过程进行检查;‎ ‎（2）利用该样本,从质量良好的零件中任意抽取两个,求抽取的两个零件的尺寸均超过的概率;‎ ‎（3）剔除该样本中不在的数据,求剩下数据的平均数和标准差 - 26 -‎ ‎(精确到0.01)‎ 参考数据:,,,‎ ‎【答案】（1）是；（2）；（3）平均数和标准差 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给数据求得,根据,可得,即可求得答案;‎ ‎（2）因为,,可得质量良好的零件有5个,其中大于的有3个,设为,小于的有2个,结合条件,即可求得答案;‎ ‎（3）剔除样本中不在的数据24.81,则剩下数据的,根据求得,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）根据所给数据求得,‎ ‎,‎ ‎,‎ 而,‎ 需对当天的生产过程进行检查.‎ ‎（2）,‎ 质量良好的零件有5个,其中大于的有3个,设为,小于的有2个,‎ 设为,‎ 所有的可能性有共10种,其中两个零件的尺寸均超过的有,共种,‎ 从质量良好的零件中任意抽取个,其尺寸均超过的概率为；‎ ‎（3）剔除样本中不在的数据24.81,‎ - 26 -‎ 则剩下数据的,‎ 剩下的数据的 剩下的数据的平均数和标准差 ‎【点睛】本题主要考查了求数据的平均值和标准差,解题关键是掌握平均数和标准差的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎22.如图,圆,点,以线段为直径的圆与圆内切于点,记动点的轨迹为.‎ ‎（1）求曲线的方程;‎ ‎（2）设,是曲线上位于直线两侧的两动点,当运动时,始终满足,试求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接,则过点,取关于轴的对称点,连接,则,‎ ‎,可得点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆,即可求得答案;‎ ‎（2）不妨设的方程为:,代入得:,根据韦达定理,结合已知条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）连接,则过点M,取关于y轴的对称点,连接,‎ 则,‎ 又 点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆.其中,‎ 曲线的方程为 ‎（2）不妨设的方程为:,代入 得:,‎ 设,‎ 点在椭圆上,‎ - 26 -‎ ‎,‎ 由,得,‎ 把上式以代,‎ 可得.‎ 直线的斜率,‎ 设直线的方程为.代入 得:,‎ ‎,‎ 由得,‎ 由弦长公式得 ‎(当时取等号)‎ 线段长度的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求椭圆方程和求椭圆弦长的最值,解题关键是掌握椭圆的基本知识和在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ - 26 -‎ ‎ ‎ - 26 -‎