2017-2018学年河北省邢台市第八中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年河北省邢台市第八中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

邢台八中2017-2018学年第一学期期末考试 高二数学（理）试题卷 ‎ 命题人：吴振伟 ‎1、设,分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(    ) A. B. C. D.‎ ‎2、已知点、,动点满足,当点的纵坐标是时,点到坐标原点的距离是(    )‎ A. B. C. D.‎ ‎3、已知抛物线,过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点,若线段的中点的横坐标为,则该抛物线的准线方程为(   ) A. B. C. D.‎ ‎4、已知双曲线的焦距为,点在的渐近线上,则的方程为(    ) A. B. C. D.‎ ‎5、已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则到另一个焦点的距离为(   ) A.2 B.3 C.5 D.7‎ ‎6、已知抛物线的准线过双曲线的焦点,则双曲线的离心率为(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎7、椭圆的离心率为(     ) A           B           C                D ‎8、准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 A．y2=-4x B．y2=-8x C．y2=8x D．y2=4x ‎9、已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为(   ) A. B. C. D.‎ ‎10、过抛物线的焦点作直线,交抛物线于两点,如果,那么(   ) A.8 B.10 C.6 D.4‎ ‎11、设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,为垂足,如果直线斜率为,那么(     ) A. B. C. D.‎ ‎12、对于常数 ,,“”是“方程表示的曲线是椭圆”的(   ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 ‎13、抛物线y=12x2的焦点到准线的距离为          .‎ ‎14、已知双曲线C1与抛物线C2:y2=8x有相同的焦点F,它们在第一象限内的交点为M,若双曲线C1的焦距为实轴长的2倍,则|MF|=________.‎ ‎15、设为双曲线上一动点,为坐标原点,为线段的中点,则点的轨迹方程是________.‎ ‎16、已知双曲线的焦距为,右顶点为,抛物线的焦点为.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为,且,则双曲线的渐近线方程为                         .‎ 三、解答题 ‎17、设双曲线与椭圆有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的坐标为,求此双曲线的标准方程.‎ ‎18、设椭圆:过点,离心率为. 1.求椭圆的方程; 2.求过点且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.‎ ‎19、已知圆:与直线:相切,设点为圆上一动点,轴于,且动点满足,设动点的轨迹为曲线.‎ ‎1.求曲线的方程;‎ ‎2.直线与直线垂直且与曲线交于两点,求面积的最大值.‎ ‎20、设圆与两圆,中的一个内切,另一个外切.‎ ‎1.求的圆心轨迹的方程;‎ ‎2.已知点,且为圆心的轨迹上动点,求的最大值及此时点的坐标.‎ ‎21、如图,已知,是双曲线的两个焦点。‎ ‎1.若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于,求点到另一个焦点的距离; 2.若是双曲线左支上的点,且,试求的面积.‎ ‎22、已知椭圆的一个焦点为,离心率为. 1.求椭圆的标准方程; 2.若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程 ‎参考答案 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.答案： C 解： 设的中点为,由,故,即,在中,,故,则,即,∴,∴,即.故双曲线的渐进方程是,即,故选C.‎ ‎2.答案： A 解： 由已知得,,,点的轨迹为双曲线, 将代入,得,∴,故选A.‎ ‎3.答案： C 解： 抛物线的焦点坐标为,直线的方程为,代入抛物线方程消元得,根据题意,即,故抛物线的准线方程为.‎ ‎4.答案： A 解： 的焦距为, ∴.① 又双曲线渐近线方程为,且在渐近线上, ∴,即.② 由①②解得,,故选A.‎ ‎5.答案： D 解： 根据椭圆的定义，，不妨设，则可求得 ‎6.答案： C 解： 易知抛物线的准线方程为,双曲线的焦点坐标为,‎ ‎∴,∴,∴双曲线的离心率为.‎ ‎7.答案： D 解： 由方程可知,,,则,所以. 此题考查椭圆离心率基本运算.‎ ‎8.答案： B 解： 由于抛物线的准线方程为x=2，故该抛物线的焦点在x轴上，且开口向左。 故设抛物线方程为，则，， 所以抛物线方程为。‎ ‎9.答案： C ‎10.答案： A 解： 由于，因此，根据焦点弦公式. 考点：直线与抛物线相交求弦长.‎ ‎11.答案： B 解： 方法一： 的直线方程为， 当时，，∴， 将代入中，得， ∴‎ ‎， ∴，故选B。 方法二： 如图，∵，∴轴， 又∵直线的斜率为， ∴，∴， 又由抛物线定义知， ∴为等边三角形， 又在中，，∴， ∴，故选B。‎ ‎12.答案： B 解： 方程表示的曲线是椭圆,常数,的取值应满足,所以,由得不到方程表示的曲线是椭圆,如,时,方程不表示任何图形,因而是不充分条件;反过来,根据该曲线表示椭圆,能推出,因而是必要条件,故“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件。‎ 二、填空题 ‎13.答案： ‎ 解： ‎ 将方程化为标准形式是x2=y,因为2p=,所以p=,故焦点到准线的距离为.‎ 故答案为:.‎ ‎14.答案： ‎ ‎5‎ 解： ‎ 易知抛物线的焦点为(2,0),设双曲线为-=1(a>0,b>0),由题意知c=2,2c=4a.则a=1,b2=c2-a2=3,双曲线C1的方程为x2-=1.与y2=8x联立可解得x=3,或x=- (舍去).所以xM=3.结合抛物线的定义可得|MF|=xM+2=5.‎ ‎15.答案： ‎ 解： 设,.则,,代入已知的曲线方程,得.‎ ‎16.答案： ‎ 解： 由已知, 则 ‎, 所以. 又抛物线的准线方程为,联立 得,解得, 所以,所以, 所以, 所以双曲线的渐近线方程为,即 三、解答题 ‎17.答案： ‎ 解： 方法一:椭圆的焦点坐标是,设双曲线方程为,根据定义知,故.又,故所求双曲线方程为. 方法二:椭圆的焦点坐标是.设双曲线方程为,则,又点在双曲线上,所以,解得,.故所求双曲线的方程为. 方法三:设双曲线的方程为,由于双曲线过点 ‎,故,解得,,经检验都是分式方程的根,但不符合题意,应舍去,所以.故所求双曲线的方程为.  ‎ ‎18.答案： 1.将点代入椭圆的方程得,所以,又,得,即,所以,所以椭圆的方程为. 2.过点且斜率为的直线方程为,设直线与椭圆的交点为、,将直线方程代入椭圆的方程,得,即,解得,,所以的中点坐标,,即所截线段的中点坐标为. 注:也可由为韦达定理进行求解.‎ ‎19.答案： 1.设动点,因为轴于,所以,‎ 由题意得,‎ 所以圆的方程为.‎ 因为,所以,‎ 即,将代入圆:中,得动点的轨迹方程为. 2.由题意可设直线的方程为,,‎ 联立直线与椭圆的方程,消去,得,,解得,‎ ‎,‎ 又点到直线的距离, 所以,‎ 当且仅当,即时,等号成立.‎ 故面积的最大值为.‎ ‎20.答案： 1.依题意得两圆的圆心分别为,从而可得或,‎ 所以,‎ 所以圆心的轨迹是以原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为,焦距为的双曲线,‎ 因此,‎ 故圆心的轨迹的方程为. 2.易知过点的直线的方程为,与1中所求得的轨迹的方程联立,‎ 消去,化简得,解得,‎ 易知直线与双曲线的交点的坐标为,‎ 由,得.‎ 当点构成三角形时,易知,‎ 当点不能构成三角形,即三点共线时,‎ 有或,‎ 因为点在线段上,‎ 此时,‎ 点在线段外,‎ 此时.‎ 综上所述,的最大值为,此时点的坐标为.‎ ‎21.答案： 1.双曲线的标准方程为,故,, 由双曲线的定义得,又点到其中一个焦点的距离等于,设点到另一个焦点的距离等于则,解得或。 2.∵,两边平方得 ∴. 在中由余弦定理得 ∴, ∴‎ ‎22.答案： 1.由题意知,∵, ∴,, 故椭圆的标准方程为. 2.设两切线为,, ①当轴或轴时,轴或轴, 可知 ②当与轴不垂直且不平行时,,设的斜率为,且,则的斜率为,的方程为,与 联立, 整理得. ∵直线与椭圆相切,∴, 即, ∴, ∴是方程的一个根, 同理,是方程的另一个根, ∴,整理得,其中, ∴点的轨迹方程为. 检验满足上式. 综上,点的轨迹方程为.‎