数学理卷·2019届贵州省铜仁市第一中学高二下学期开学考试（2018-02）

数学理卷·2019届贵州省铜仁市第一中学高二下学期开学考试（2018-02）

铜仁一中 2017-2018 学年第二学期开学考试 高二理科数学 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．设命题 ： ， ，则 为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．“ ”是“ ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．右面的程序框图的运行结果是( ) A. B. C. － D. －1 4.连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，向量 a＝(m，n)与 向量 b＝(1,0)的夹角记为θ，则θ∈(0， )的概率为( ) A． B． C． D． 5 .当输入 时，右面的程序运行的结果是 ( ) A. B. C. D. 2 4 5 6 8 30 40 50 70 6 已知某种商品的广告费支出 (单位:万元)与销售额 (单位:万元)之间有如表 对应数据: 根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出 与 的线 性回归方程为 ,则表中的 值为( ) A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 7.如果数据 的平均数是 ，方差是 ，则 的 平均数和方差分别是（ ） A．4 与 3 B．7 和 3 C．7 和 12 D．4 和 12 8. 已 知 为 坐 标 原 点 ， 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 为 上 一 点 , 若 ，则 的面积为( ) A. B. C. D. 9.在长方体 中， ， ，则面 与面 所成角的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆 + =1 的焦点分别是 、 ， 是椭圆上一点，若连结 、 、 三 点恰好能构成直角三角形，则点 到 轴的距离是( ) A． B． C． D． 11．设 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 的直线交双曲 线右支于 两点．若 ，且 ，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 12．已知 ， ， 其中 是常数，且 的最小值是 ，满足条件的点 是双曲线 一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（） A． B． C． D． 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 如右图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆 数为 100 颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积为_________. 14. 一条渐近线方程是 的双曲线，它的一个焦点与方程是 的抛物线的 焦点相同，此双曲线的标准方程是___________ ； 15.已知棱长为 2 的正方体 ， 是过顶点 圆上的一点， 为 中点，则 与面 所成角余弦值的取值范围是 . 16.如图所示，在正方体 中，点 是棱 上的一个动点， 平面 交棱 于点 ．给出下列命题： ①存在点 ，使得 //平面 ； ②对于任意的点 ，平面 平面 ； ③存在点 ，使得 平面 ； ④对于任意的点 ，四棱锥 的体积均不变. 其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）. 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 已知命题 ：存在 ，使 ；命题 ：方程 表示双曲线．若命题“( )∧ ”为真命题，求实数 的取值范围． 18.(本小题满分 12 分) 已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线上的点到 右焦点的距离与到直线 的距离之比为 . (1) 求双曲线 的方程； （2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ，且线 段 的中点在圆 上，求 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知在正方体 中 ， 分别是 的中点， 在棱 上， 且 ． （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值． 20.（本小题 12 分） x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的 生产能耗 （吨标准煤）的几组对照数据: (1)请根据上表提供的数据， 关于 的线性回归方程 ； (2)已知该厂技改前 100 吨甲产品生产能耗为 95 吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程， 预 测 生 产 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 比 技 改 前 降 低 多 少 吨 标 准 煤 ？ （ 参 考 公 式 ： ） 21.（本题满分 12 分） 已知椭圆 上的焦点为 ，离心率为 ． （1）求椭圆方程； （2）设过椭圆顶点 ，斜率为 的直线交椭圆于另一点 ，交 轴于点 ，且 ， ， 成等比数列，求 的值． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴 正半轴为极轴)中，圆 的方程为 . (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 与直线 交于点 .已知点 ，求 的值. 铜仁一中 2017-2018 学年第二学期开学考试 理科数学 （参考答案） 一、 选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C B B D C C C A B D 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.___16______.14. ____ _____； 15. .16.②④． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 解： 若 p 为真，则Δ＝(a＋1)2－4(a＋4)>0， 解得：a<－3 或 a>5， ∴¬p 为：－3≤a≤5； 若 q 为真，则(a－3)(a－6)>0，解得：a<3 或 a>6. 因为(¬p)∧q 为真，所以¬p 与 q 都为真， 可得 －3≤a≤5， a<3 或 a>6， 故实数 a 的取值范围是：－3≤a<3.……………… 12 分 18.(本小题满分 12 分) 解：（1）由题意，得 ，解得 ，………………3 分 ∴ ，∴所求双曲线 C 的方程为 . ………………5 分 （2）设 A、B 两点的坐标分别为 ，线段 AB 的中点为 ， 由 得 （判别式 ）,………………8 分 ∴ ， , ………………10 分 ∵点 在圆 上， ∴ ，∴ . ……………… 12 分 19．(本小题满分 12 分) （1）如图建立空间直角坐标系 ，设正方体棱长为 4，则 （ 1 ） ， ∴ ∴ ，∴ ……………5 分 （2）平面 的一个法向量为 ……………… 6 分 设平面 的一个法向量为 ∴ 即 ∴ 令 ，则 ，∴可取 ∴ ………………10 分 如图可知，二面角为钝角。∴二面角 的余弦值为 …………12 分 20.（本小题 12 分） 解：（1）由系数公式可知 ， ， ，所以线性回归方程 （2） 时， ， 所以预测产生 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 24.65 吨标准煤.……… 12 分 21.（本题满分 12 分） 解 ： （ 1 ） 由 已 知 ， ， 解 得 ， 所 以 ， 椭 圆 的 方 程 为 ． ………………5 分 由（1）题过 B 点的直线为 ，由 得 ， 所以 ，所以 ，依题意 ， 因 为 ， ， 成 等 比 数 列 ， 所 以 ， 所 以 ， 当 时， ，无解； 当 时， ，解得 ，所以 ，解 得 ． 所以，当 ， ， 成等比数列时， ．……………… 12 分 22. （本小题满分 10 分） 解：(1)由ρ＝2sin θ，得 x2＋y2－2y＝0， 即 x2＋(y－)2＝5. (2)法一：将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程， 得(3－ 2 2t)2＋( 2 2t)2＝5， 即 t2－3t＋4＝0. 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根， 所以 2， t1·t2＝4. 又直线 l 过点 P(3，)， 故由上式及 t 的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.……………… 10 分 (2)法二：因为圆 C 的圆心为(0，)，半径 r＝， 直线 l 的普通方程为：y＝－x＋3＋. 由() 52＝5， . 得 x2－3x＋2＝0. 解得： x＝1， . 或 x＝2， . 不妨设 A(1,2＋)，B(2,1＋)， 又点 P 的坐标为(3，)， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3.……………… 10 分