数学卷·2018届广东省清远市第三中学高二上学期第三次月考理科数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届广东省清远市第三中学高二上学期第三次月考理科数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年广东省清远市第三中学高二上学期第三次月考理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．过点且平行于直线的直线方程为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查两直线平行.设与直线平行的直线方程为,其过点,即,解得,即所求直线方程为.选A.‎ ‎ ‎ ‎2．高二某班共有学生56人，座号分别为1,2,3,…,56;现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是 A.30 B.31 C.32 D.33‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查系统抽样.由题意得间隔,而4号、18号、46号同学在样本中，所以也在样本中.选C.‎ ‎ ‎ ‎3．如果，则下列不等式成立的是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查不等关系与不等式.取,则,排除A;,排除B;,排除C;选D.‎ ‎ ‎ ‎4．在等比数列中，若公比，则的值为 A.56 B.58 C.63 D.64‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查等比数列.由题意得=56,即.选C.‎ ‎【备注】等比数列中，.‎ ‎ ‎ ‎5．已知直线平面,直线平面,给出下列命题：‎ ‎①∥；         ②；‎ ‎③∥           ④∥；‎ 其中正确命题的序号是 A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查点线面之间的位置关系.∥或,即①错误;排除A,C；∥或,即③错误,排除B;选D.‎ ‎ ‎ ‎6．已知的三边长为满足直线相离，则是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上情况都有可能 ‎【答案】C ‎【解析】本题考查直线与圆的位置关系.因为直线相离,所以,即；由余弦定理得,即为钝角,即是钝角三角形.选C.‎ ‎【备注】点到线的距离公式，余弦定理:.‎ ‎ ‎ ‎7．若为三角形中的最小内角，则函数的值域是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查三角恒等变换.因为为三角形中的最小内角，所以;=;而,所以，所以,即,即的值域是.选B.‎ ‎【备注】辅助角公式:.‎ ‎ ‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，输出的值是 A.5 B.1 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查程序框图.起初:；循环1次：；循环2次：；循环3次：,满足条件，结束循环，输出的值是.选C.‎ ‎【备注】常考查循环结构的流程图，一般循环5次左右求出结果.‎ ‎ ‎ ‎9．在中，，BC边上的高等于,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查和角公式.如图,过点作;而,所以,令，则,,所以,;令,则,,;而===.选B.‎ ‎【备注】.‎ ‎ ‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 A.60 B.72 C.81 D.114‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积.还原出空间几何体,如图所示；所以该多面体的表面积=.选B.‎ ‎ ‎ ‎11．若向量,满足，则在方向上投影的最大值是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查平面向量的数量积,基本不等式.,,所以===4,即;所以在方向上投影===(当且仅当时等号成立).即在方向上投影的最大值是.选B.‎ ‎ ‎ ‎12．圆锥的轴截面是边长为4的正三角形(为顶点)，为底面中心，为中点，动点在圆锥底面内(包括圆周)，若AM⊥MP，则点形成的轨迹长度为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查空间几何体的结构特征,线面垂直.由题意得,,,;作AM⊥ME交AB于E点,则;而AM⊥MP，所以AM⊥面MCD，即点形成的轨迹为CD；而CD=2CE=;即点形成的轨迹长度为.选D.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．双曲线的焦距是10，则实数的值为       .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查双曲线.由题意得,解得.‎ ‎ ‎ ‎14．点在不等式组的平面区域内，则的最大值为       .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图三角形所示,,;过点时,取得最大值.‎ ‎ ‎ ‎15．在中，，，则的大值为       .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查正弦定理,三角恒等变换.由正弦定理得,所以,;所以=====.即的大值为.‎ ‎【备注】正弦定理:.‎ ‎ ‎ ‎16．设，若时，恒有，则       .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.当时,,即；当时,,而,所以;令,则;而,;令,得,在上单减,在上单增;而,所以,;由题意得为的极小值点,即的最小值点,此时,所以,,所以.‎ 三、解答题：共6题 ‎17．已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点的距离的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知点是线段上异于的一个定点(为坐标原点)，是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)∵，∴，∴,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)由(1)得，∴，假设存在满足题意的直线，设为，‎ 代入，得.‎ 设，则，∴.‎ 设的中点为，则.‎ ‎∵，∴，即，∴，‎ ‎∴当时，，即存在这样的直线；‎ 当时，不存在，即不存在这样的直线.‎ ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)求得,,∴椭圆为.(2)由(1)得,∴,联立方程,套用根与系数的关系得的中点.∵，∴，即，∴当时,存在这样的直线；当时，不存在这样的直线.‎ ‎ ‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求直线与所成角的余弦值；‎ ‎(Ⅱ)在侧面内找一点，使面，求N点的坐标.‎ ‎【答案】(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则、、、、、，‎ 从而 设的夹角为，则;‎ ‎∴与所成角的余弦值为.‎ ‎(Ⅱ)由于点在侧面内，故可设点坐标为，则;‎ 由面可得，;‎ 即，化简得，解得.‎ 即点的坐标为.‎ ‎【解析】本题考查空间向量的应用.(Ⅰ)建立恰当的空间直角坐标系，求得，∴与所成角的余弦值为.(Ⅱ)设点坐标为，则;由面可得，解得，即.‎ ‎ ‎ ‎19．设，.‎ ‎(1)当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；‎ ‎(3)如果对任意的都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)当时，‎ ‎,故．‎ 所以曲线在处的切线方程为.‎ ‎(2)存在，使得成立，‎ 等价于：‎ ‎，‎ 由上表可知：‎ 满足条件的最大整数.‎ ‎(3)对任意的，都有成立．等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，‎ 由(2)知，在区间上，的最大值为.∴.‎ 又∵，∴.‎ 下面证当时，在区间上，函数成立．‎ 当.且时，，‎ 记，‎ 当时，；‎ 当时，，所以函数在区间上递减，在区间上递增，‎ ‎，即，所以当且时，成立，即对任意都有.‎ ‎【解析】本题考查的知识是利用导数求闭区间上函数的最值和利用导数研究曲线上某点切线方程.(1)根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；(2)存在，使得成立等价于：，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出，求出的范围；(3)当时，恒成立等价于恒成立，令，利用导数研究的最大值即可求出参数的范围.‎ ‎ ‎ ‎20．已知函数在上为增函数,且,为常数,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若在上为单调函数,求的取值范围;‎ ‎(3)设,若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)由题意：在上恒成立，‎ 即在上恒成立,只需;‎ 而 ‎(2)由(1),得f(x)-g(x)= -,,‎ 由于f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数，‎ 则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，故；‎ 综上，m的取值范围是 ‎(3)构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),,‎ 当由得，，‎ 所以在上不存在一个，使得；‎ 当m>0时，，‎ 因为，所以,在上恒成立;‎ 故F(x)在上单调递增，;‎ 故m的取值范围是 ‎【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.(1)在上恒成立，得,而;(2)问题转化为在上恒成立，故.(3)构造函数,分类讨论得m的取值范围是 ‎ ‎ ‎21．已知数列的前项和为，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和为.‎ ‎【答案】(1)当时，得.‎ 当时，，‎ 当时，也满足.‎ ‎∴.‎ ‎(2)，‎ 则，‎ 利用错位相减法可得.‎ ‎【解析】本题考查数列的通项与求和.(1)由，求得.(2)，错位相减法得.‎ ‎ ‎ ‎22．已知关于的不等式.‎ ‎(1)是否存在使对所有的实数，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；‎ ‎(2)设不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)要使不等式恒成立,只需，无解.‎ ‎∴不存在实数使对所有的实数，不等式恒成立.‎ ‎(2)由得.‎ 由，得.‎ 令，则.‎ 当时，，满足题意；‎ 当时，，不满足题意；‎ 当时，要使，只需，‎ 即，解得.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【解析】本题考查一元二次不等式.(1)不等式恒成立,只需,无解,∴不存在.(2)分类讨论得的取值范围是.‎ ‎ ‎