2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：19

2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：19

‎（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎7.数列满足，，是数列前5项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推公式求得的值.进而利用裂项相消求和法，求得的值.‎ ‎【详解】由递推公式，将，代入得，解得；将代入递推公式得，解得.同理解得，所以 .‎ ‎【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和.属于中档题.‎ ‎（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）‎ ‎12.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，‎ ‎【详解】由题意，可得当时，；时，，‎ ‎∴当时，的最大值为；‎ 又由，∴当时，的最大值为；‎ 当时，的最大值为，…，‎ 所以当时，的最大值为，‎ 由等比数列的前n项和公式，得 .‎ 若对任意的正整数成立，则，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题）‎ ‎15.已知数列的前项和为，．当时，，则=_______‎ ‎【答案】1010‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得：，整理变形可知当时，数列任意连续两项之和为1，据此求解的值即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 两式作差可得：，即,‎ 即当时，数列任意连续两项之和为1，‎ 据此可知：.‎ ‎【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ ‎（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）‎ ‎16.已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式和裂项相消法求出数列的和，最后利用放缩法和恒成立问题的应用求出结果．‎ ‎【详解】数列的首项，‎ 则：常数 故数列是以为首项，3为公差的等差数列．‎ 则：首项符合通项．‎ 故：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由于数列的前n项和恒成立，‎ 故：，‎ 则：t的最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）‎ ‎16.在下图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数（），已知 ‎（），且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即（，若，则正整数的最小值为__________．‎ ‎【答案】103‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，利用数列的递推关系式，求得数列的递推关系式，利用累加法和数列的单调性，即可求解。‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 由题意可知，（），∴，（），‎ 即，（），‎ ‎∴ ，‎ 又由 ‎ 所以当时,数列显然递增，又易知，‎ ‎∴的最小值为103，故应填103.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中结合数列的性质，求出数列的通项公式是解答本题的关键，综合性较强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力。‎ ‎（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎5.已知数列中，，为其前项和，则的值为（　　）‎ A. 57 B. 61 C. 62 D. 63‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由条件可得，所以，故选A.‎ 考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.‎ ‎（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）‎ ‎16.已知数列的前项和为，若对成立，则实数的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先将递推关系式整理为关于的形式，然后结合等比数列通项公式可得，由前n项和公式确定通项公式，计算可得，结合恒成立的条件可得恒成立，据此讨论可得实数a的取值范围.‎ ‎【详解】据题意，得：．‎ 又，．‎ 当时，；‎ 当时：‎ ‎，‎ ‎．‎ 又当时，恒成立，对，且成立，．‎ 又成立．综上，所求实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）‎ ‎6.已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（ ）‎ A. 1008 B. 1009 C. 2017 D. 2018 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,得数列的前2018项和分组求和即可.‎ ‎【详解】由题,解得,‎ 设 数列的前2018项和为=2=2018‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是 ,推得每两项的和为2，分组求和.‎ ‎（山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）‎ ‎14.若数列满足：，，则______．‎ ‎【答案】234‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，，可得故为等比数列，且，可得，可得答案.‎ ‎【详解】解：，‎ 故为等比数列.，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的性质及数列前n的项的和，得出为等比数列，且是解题的关键.‎ ‎（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）‎ ‎7.已知数列的通项公式是，其前项和，则项数 　　‎ A. 13 B. 10 C. 9 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵数列{an}的通项公式是，则：‎ 据此可得：，求解关于的方程可得n＝6.‎ 本题选择D选项.‎ ‎（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）‎ ‎16.数列满足 ，则=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在满足的关系式中，设，则左式即为的前 项和，由此可以利用数列的项与和的关系，求得，进一步求得，得到结果.‎ ‎【详解】令，因为 ，‎ 所以有，‎ ‎，‎ 两式相减得，所以，‎ 故答案是：64.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列的和与项的关系，整体思维的运用，属于简单题目.‎ ‎（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）‎ ‎11.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，可设这堆货物总价为万元，从而可得到，利用错位相减法可求出的表达式，结合 可求出答案。‎ ‎【详解】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎，‎ 则,‎ 解得， ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】利用错位相减求和是解决本题的关键，考查了学生利用数列知识解决应用问题的能力，属于中档题。‎ ‎（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）‎ ‎17.已知数列为等差数列，为的前项和，.数列为等比数列且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）记，其前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1） ； （2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题列关于的方程组即可求由得，进而求得（2）将变形为裂项相消求和得，由单调性即可证明.‎ ‎【详解】（1）设公差为，则由 得,解得，所以.‎ 设的公比， 因为，由且，‎ 解得，所以。‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 易知随着的增大而增大，所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式，等比数列性质，裂项求和，熟记等差等比通项及性质，准确求和是关键，是中档题 ‎（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）‎ ‎17.设是公比不为1的等比数列的前项和.已知.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设.若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意布列基本量首项与公比的方程即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，，利用裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】(1) 设等比数列的公比为，则.‎ 因为，所以.‎ 解得（舍去），.‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以 数列的前项和 ‎ .‎ ‎【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：‎ ‎(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）‎ ‎18.已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由可得 ‎ 化为：．由成等比数列，可得 ‎ 化为：联立解得：即可得出 （2） 利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，即 即，①‎ 因为为等比数列，即 所以，化简得：②‎ 联立①和②得：，‎ 所以 ‎（2）因为 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）‎ ‎21.设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列已知，，，．‎ ‎1求和的通项公式；‎ ‎2设数列的前项和为，‎ 求；‎ 证明 ‎ ‎【答案】(1)，；(2)（i）.（ii）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由题意得到关于的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （2）（i）由（1），有，则.‎ ‎（ii）因为，裂项求和可得.‎ 详解：（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为 ‎，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 ‎（2）（i）由（1），有，故.‎ ‎（ii）因为，‎ 所以.‎ 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎（安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（文）试题）‎ ‎17.已知数列中，，且，，1成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差中项求解出公比，利用求解出首项，从而得到通项公式；（2）得到的通项公式后，利用裂项相消求解.‎ ‎【详解】（1），，成等差数列 ‎ 且 数列是等比数列，且公比 由得： ‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查等比数列求通项以及利用裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.‎ ‎（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，满足.数列的前项和为，满足.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，求得，然后求得公差，即可求出数列的通项，再利用 求得的通项公式；‎ ‎（2）先求出的通项，然后利用数列求和中错位相减求和.‎ ‎【详解】解：（1）由，得，解得.‎ 由，解得或.‎ 若，则，所以.所以，故不合题意，舍去.‎ 所以等差数列的公差，‎ 故.‎ 数列对任意正整数，满足.‎ 当时，，解得；‎ 当时，，‎ 所以.‎ 所以是以首项，公比的等比数列，‎ 故数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以，①‎ 所以，②‎ ‎①-②，得 ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的综合（包含数列通项的求法，以及求和中错位相减），易错点在于是否检验n=1的情况，以及计算的失误，属于中档题.‎ ‎（河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）‎ ‎17.已知数列是公差不为0的等差数列，，成等比数列.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设数列的首项为，公差为，由成等比数列，列出方程，求得，即可得到数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.‎ ‎【详解】（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），则an＝a1＋(n－1)d．‎ 因为a2，a3，a5成等比数列，‎ 所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，‎ 化简得，a1d＝0，‎ 又因为d≠0，‎ 所以a1＝0，又因为a4＝a1＋3d＝3，‎ 所以d＝1．‎ 所以an＝n－1．‎ ‎（2）bn＝n·2n－1，‎ Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1， ①‎ 则2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ． ②‎ ‎①－②得，‎ ‎－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，‎ ‎＝－n·2n ‎ ‎＝(1－n)·2n－1．‎ 所以，Tn＝(n－1)·2n＋1．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，利用乘公比错位相减法，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”‎ 之后求和时，弄错等比数列的项数，增大了难度，导致错解，试题能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）‎ ‎17.已知等差数列的公差，其中是方程的两根，数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，且，若不等式对任意都成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意可得，，得到，从而得到数列的通项公式，由可得，进而得到的通项公式；‎ ‎（2）由（1）得，，利用错位相减法可得，根据的变化趋势得到结果.‎ ‎【详解】解：（1）易得方程的两根为-1和7，因为，所以，.‎ 所以，所以.‎ 当时，由，得；‎ 当时，可得，两式相减得，即.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 两式相减得，，‎ ‎，‎ 所以.‎ 当时，；当时，；当时，因为，所以.‎ 所以的最大值为，‎ 从而，得，所以整数的最小值为-4.‎ ‎【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）‎ ‎17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）∵数列是公差为的等差数列，‎ ‎∴‎ ‎∴又是与的等比中项，‎ ‎，‎ ‎∴解得舍掉）‎ 故数列的通项公式为 ‎，‎ ‎【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数，和裂项后剩余几项是易错点.‎ ‎（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）‎ ‎17.已知递增的等差数列前项和为，若，.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）若，且数列前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意列出关于的方程组，求解，进而求得d，即可得到通项公式.‎ ‎（2）整理，代入的表示式子即可求解.‎ ‎【详解】（1）由，且知：，‎ 公差，∴数列的通项公式为； ‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎∴；‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了裂项求和，属于基础题.‎ ‎（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎18.已知等差数列的前项和为，且，数列满足．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用已知条件建立的首项与公差的方程组，求解，再由递推关系式写出时的等式，作差求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用（1）的结论，求出通项，利用裂项相消法求出数列的和．‎ ‎【详解】（1）设首项为，公差为的等差数列的前项和为，且，‎ 所以：，解得：，‎ 所以：，‎ 由于．‎ 故：①，‎ 所以：当时，②，‎ ‎①﹣②得：，‎ 所以：，当时（首项符合通项），故：，‎ ‎（2）由于，所以：，‎ 故： ‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查了运算能力，属于基础题型．‎ ‎（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）‎ ‎17.已知正项等比数列中，，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等比数列和等差数列的通项公式列出方程可求公比q,由此能求数列{an}的通项公式．（2）写出数列的通项公式，然后利用裂项相消求和法可得结果.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为 因为成等差数列，‎ 所以，得，‎ 又，则，即，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以 显然，所以，解得 故数列的通项公式 ‎（2）由（1）知，‎ 所以 则 ‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.‎ ‎（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）‎ ‎17.在数列和等比数列中，，，．‎ ‎1求数列及的通项公式；‎ ‎2若，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）； ;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ先求出公比，可得数列的通项，从而可求的通项公式；Ⅱ利用错位相减法，可求数列的前n项和．‎ ‎【详解】Ⅰ依题意，，‎ 设数列的公比为q，由，可知，‎ 由，得，又，则，‎ 故，‎ 又由，得 Ⅱ依题意，‎ 则 得，‎ 即，故 ‎【点睛】本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等．数列求和的常用方法有:分组求和,错位相减求和,倒序相加求和等.‎ ‎（河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）‎ ‎17.已知数列满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，数列的前项和为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得数列是等比数列，且公比为.结合成等差数列求得数列的首项即可确定数列的通项公式；‎ ‎（2）裂项求和可得，结合前n项和表达式的单调性确定的取值范围即可.‎ ‎【详解】（1）由知数列是等比数列，且公比为.‎ 成等差数列， ‎ ‎（2） ‎ 易知单调递减，‎ 当时，‎ 的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，列项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）‎ ‎17.已知数列的前项和为，满足，且数列各项为正数.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由，利用作差法可得从而得到数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）知，，利用分组求和法可得结果.‎ ‎【详解】（1）解：依题意，①‎ ‎②‎ ‎②-①得，即.‎ 因为各项为正，所以，即.‎ 又当时，，且，解得.‎ 所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列.‎ 通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，，记的前项和为，则 ‎，‎ ‎.‎ 数列的前项和为.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.‎ ‎（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）‎ ‎17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1） ；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1） ,‎ 解得，，， ,‎ 依题意，，.‎ ‎（2）是周期的数列 ,‎ ‎，，， ,‎ ‎，，， ,‎ 从而，，……，‎ 所以是周期为4的数列,‎ ‎（）.‎ ‎【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.‎ ‎（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）‎ ‎17.设数列{}满足，；数列{bn}的前n项和为，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列{}和{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若＝，求数列{}的前n项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据数列递推式，利用累加法可得，验证n=1也符合，可求出数列{}的通项公式；将已知中的n换为n-1，得到，作差可得，验证n=1也符合即可.‎ ‎（Ⅱ）由，利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由已知，当时，+2=，‎ 又因为，所以数列{}的通项公式为．‎ 因为，所以，‎ 两式作差可得，且也满足此式，因此所求通项公式为.（Ⅱ）由，可得， ‎ ‎∴‎ ‎， ‎ 两式相减得 ‎=，‎ 整理得.‎ ‎【点睛】本题数列递推式的应用，考查数列的通项的求法，考查了错位相减法求和，属于中档题.‎ ‎（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）‎ ‎17.已知为数列的前n项和，且，，，．‎ 求数列的通项公式；‎ 若对，，求数列的前2n项的和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，，时，，化为：，‎ ‎，由，可得，时，，且，解得 ‎，利用等差数列的通项公式可得 ‎，利用分组求和即可得出 ‎【详解】，．‎ 时，，化为：，‎ ‎，，‎ 时，，且，解得．‎ 数列是等差数列，首项为1，公差为3．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 数列的前2n项的和．‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）‎ ‎17.设正项数列的前项和，且是与的等比中项，其中.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由是与的等比中项列方程整理，可得出：数列是首项为1，公差为1的等差数列，问题得解。‎ ‎（Ⅱ）整理，代入的表示式子即可求解。‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）∵是与的等比中项，‎ ‎∴，‎ 等时，，∴.‎ 当时， ，‎ 整理得.‎ 又，∴，‎ 即数列是首项为1，公差为1的等差数列.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ），[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于基础题。‎ ‎（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学（理）试题）‎ ‎17.已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足.‎ ‎(Ⅰ)求数列，的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先设等比数列的公比为q(q)，根据，且构成等差数列，求出q，即可得出的通项公式，再由，可得出的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)先由等差数列的前项和公式求出，再由裂项相消法求出即可.‎ ‎【详解】解：(Ⅰ)设等比数列的公比为q(q)，由题意，得 ‎ 解得或（舍）‎ 又所以 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)．‎ ‎∴ ，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）‎ ‎17.已知等比数列为递增数列，且，，数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和为.‎ ‎【答案】(1) , (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；‎ ‎（2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和．‎ ‎【详解】（1）对于数列， ‎ 即 注意到为递增数列[来源:学科网]‎ 则 ∴‎ 对于数列，由得 相减得 又∵ ∴为定值 ‎∴数列和都是以4为公差的等差数列 又∵ ∴在中令得 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎（2）由（1）得 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）‎ ‎17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用,计算通项,即可.(2)将数列通项代入,利用裂项相消法,即可.‎ ‎【详解】解：（1）因为，，成等差数列，‎ 所以，‎ 当时，，所以，‎ 当时，，，‎ 两式相减得，‎ 所以，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 所以 ，‎ 所以[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.‎ ‎（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎17.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本元的思想，将题目所给已知条件转化为的形式，解方程组求得 的值，由此求得和的通项公式.（2）利用错位相减法求得的前项和.‎ ‎【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则 ‎，‎ 解得，‎ 所以；‎ ‎（2），当时，；‎ 当时，‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎① -②得：，‎ ‎，‎ 综上 ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解有关等差和等比数列的问题，考查错位相减求和法，属于中档题.‎ ‎（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）‎ ‎17.已知数列的前项和 ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)设数列满足,求数列的前n项和Tn ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项 的表达式。（2）由（1），所以，，分组求和，分解成一个等比数列求和及一个等差数列求和。‎ 试题解析：（1）当时，. ‎ 当时， 满足上式, 所以 . ‎ ‎（2）由题意得., ‎ ‎.‎ ‎【点睛】知道的表达式求通项的表达式时，我们常用公式。‎ ‎（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）‎ ‎17.已知数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用，计算通项，即可。（2）采用裂项相消法，求和，即可。‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）当时，由，解得，‎ 当时，，‎ 得：，∴，即，‎ ‎∴数列是首项为3，公比为3的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等.‎ ‎（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）‎ ‎18.设是等差数列，前项和为 ，是等比数列，已知，，，.‎ ‎（1）求数列和数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记，求.‎ ‎【答案】（1），;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设数列的公差为等比数列{bn}的公比为q，由已知列式求得d，q及首项，则可求数列和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）由（1）知，，利用错位相减直接求和.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为 由已知得：，即，‎ 又，所以，‎ 所以 由于，‎ ‎，‎ 所以，即（不符合题意，舍去）‎ 所以，‎ 所以和的通项公式分别为，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以 所以 上述两式相减，得：‎ ‎=‎ ‎=，‎ 得.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．‎ ‎（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）‎ ‎14.已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式。‎ ‎【详解】由题意，可知当时，；‎ 当时，. ‎ 又因为不满足，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）‎ ‎16.已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先明确的通项公式，进而利用错位相减法求出前项和.‎ ‎【详解】由题意可知：，，‎ ‎，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴①‎ ‎②‎ ‎①﹣②得，‎ 所以，‎ 整理得．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)‎ 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）‎ ‎16.已知数列满足， ，则数列中最大项的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将转化为，证得是等差数列，由此求得的通项公式，进而求得的通项公式.计算的值，利用数列的单调性求得的最大项.‎ ‎【详解】由得 ，‎ 即数列是公差为8的等差数列，故，所以，‎ 当时；当时，，数列递减，故最大项的值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知递推公式求数列的通项公式，考查等差数列的定义以及通项公式，考查数列的单调性以及最值，属于中档题.解题的突破口在于将题目所给的递推公式，转化为等差数列的形式，根据等差数列的通项公式间接求得的通项公式.数列的最大值一般是利用数列的单调性来求.‎ ‎（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）‎ ‎10.数列满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，数列满足，即 所以 ‎，则 ‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及裂项法求和的应用，其中解答中根据数列的递推公式，求得数列的通项同时，再根据裂项法求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）‎ ‎15.已知数列的前项和为，，，则的值为__________．‎ ‎【答案】231‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，由，可以得到，两式相减可得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，然后分别求出、，从而，可得到答案。‎ ‎【详解】将代入得，‎ 由，可以得到，‎ 得，所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，‎ 则，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题。‎ ‎（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）‎ ‎16.已知正项数列的前n项和为，,令,设的前n项和为，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴当时，， 整理得：，又∵数列的每项均为正数，∴， 又∵，即，∴数列是首项、公差均为的等差数列，∴，∴，∴数列的前项和为，要使为有理数，只需为有理数即可，即，∵，∴，即在中有理数的个数为个，故答案为.‎ 考点：数列的通项及前项和．‎ ‎【思路点睛】对于数列：可利用整理计算可知，进而可知是首项、公差均为的等差数列，所以；对于数列：对代入，进而裂项可知，并项相加可知，进而只需当时即可，进而可得结论.本题主要考查数列通项公式和前n项和的求法.‎ ‎（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）‎ ‎9.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）‎ A. 2022 B. 1011 C. 2020 D. 1010‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.‎ ‎【详解】由，‎ 得，　 ①‎ ‎，　②‎ ‎①-②得，即，，‎ 所以.故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得 ，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）‎ ‎17.设为各项均是正数的数列的前项和，满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求时的结果，然后再求出时的结果，然后进行检验时是否成立 ‎(2)化简已知条件得，代入公比即可求出结果 ‎【详解】（1）当时，，；‎ 时，①‎ ‎②‎ ‎①-②得：，，‎ 满足上式，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知数列是公比为的等比数列，‎ 由，‎ 得，‎ 即，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了求数列的通项公式，可以采用的方法，需要注意检验时是否成立。‎ ‎（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）‎ ‎17.已知数列且，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式;‎ ‎（Ⅱ）记为数列的前项和，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意得，由累乘法得；（Ⅱ）先求出，进而得到，由裂项相消法求数列的前项和可得到答案。‎ ‎【详解】(Ⅰ)由，得，所以 ‎ 由累乘法:‎ ‎,,，…，，‎ 得，‎ 所以数列的通项公式为. ‎ ‎(Ⅱ)由等差数列前项和公式得：，‎ 则，‎ ‎， ‎ 数列的前项和为：‎ ‎.[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎【点睛】本题考查了累乘法求通项公式，及裂项相消法求数列的前项和，属于中档题。‎ ‎（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）‎ ‎17.在中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前 项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由（1）可得，再由、、成等比数列，列方程求得公差，从而得，则 ，利用裂项相消法可得结果.‎ ‎【详解】（1）由 得 ‎ ‎，所以 ‎ 又 ‎ ‎（2）设的公差为，由（1）得，且，‎ ‎∴．又，∴，∴． ‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴‎ ‎【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）‎ ‎17.为数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由和作差得，化简可得等比数列，从而得解；‎ ‎（2）由，利用裂项相消法求和得，进而求解不等式即可.‎ 详解：（1）由，可知．可得，易知，于是．‎ 又，得．所以是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为．‎ ‎（2）由可知．‎ 于是．‎ 不等式可化为．因为，所以，故．‎ 因此实数的取值范围为．‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）‎ ‎17.数列中，，.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)结合,构造数列,证明得到该数列为等差数列,结合等差通项数列计算方法,即可.(2)运用裂项相消法,即可.‎ ‎【详解】（1）由， （即），可得，‎ 所以，‎ 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎（2），‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本道题考查了等差数列通项计算方法和裂项相消法,难度一般.‎ ‎（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）‎ ‎17.已知等差数列的公差，，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．‎ ‎【详解】（1）根据题意，得 即 解得或（不合，舍去），‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以数列是首项为4，公比为4的等比数列.‎ 所以 ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）‎ ‎18.已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）数列满足，数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数列中与的关系化简得，进而得到，即可作出证明；‎ ‎（2）由（1）求得，，得到，利用裂项法，即可求解数列的和.‎ ‎【详解】（1）当时，，∴，‎ 当时，∵，①‎ ‎②‎ 由①─②得 ‎∴，‎ ‎∴（），‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴是首项为4，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的与的关系，以及等比数列的定义与通项公式和数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记数列与的关系，利用利用等比数列的定义和通项公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）‎ ‎17.已知数列的前n项和为，且满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，求得的值，用求得的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，利用基本元的思想求得的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前项和.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 由得（），‎ 两式相减得，又，‎ ‎∴（）， ‎ 又，∴（）， ‎ 显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，‎ ‎∴； ‎ ‎（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，∴， ‎ 又 ‎∴‎ ‎ ．‎ ‎【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法，考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列 ‎（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）‎ ‎17.在数列中，已知.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎(2)设数列的前和为，,求数列的前和．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对已知条件因式分解，化简后得到，由此证得为等差数列.（2）由（1）求得的前项和，利用裂项相消求法和求得的值.‎ ‎【详解】（1）由得 因为，所以，即 又因为，所以数列是首项为,公差为的等差数列。‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列的定义，考查裂项相消求法和的运用，还考查了运算求解能力.属于基础题.‎ ‎（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）‎ ‎17.等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（1）由是等差数列，，，可求出，由是等比数列，，，，可求出；（2）将和的通项公式代入，则 ，利用裂项相消求和法可求出.‎ ‎【详解】(1)，，，解得 ‎.‎ 又，，‎ ‎ .‎ ‎（2）由（1），得 ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题。‎ ‎（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题）‎ ‎18.已知非零数列满足，且，的等差中项为6．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列的概念易得公比，结合a1，a2的等差中项为6可得首项，得解；‎ ‎（2）易得bn＝2n，利用转化原式即可得解．‎ ‎【详解】（1）由，得为等比数列且公比.‎ 设首项为，的等差中项为6，‎ 即，解得，‎ 故.‎ ‎(2)由 ‎ 得到：，‎ ‎∴,‎ 因为可以看成关于n的单调递增函数，所以n=1时，最小为，且，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了等比，等差数列的综合，数列求和，难度不大．‎ ‎（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）‎ ‎18.已知数列的前项和为，数列是以3为首项、3为公差的等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）得，‎ 利用裂项相消法即可得到数列的前项和.‎ ‎【详解】解：（1）因为数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，所以. ‎ 当时，， ‎ 当时，， ‎ 又当时，满足上式，所以数列的通项公式 ‎ ‎（2）由（1）得， ‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题）‎ ‎17.已知数列的前项和.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用法直接求.‎ ‎（2）去绝对值得到：当时，‎ 再分组求和即可。‎ ‎【详解】解：（1）当时，‎ ‎， ‎ 当时，适合上式. ‎ ‎∴. ‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，令， ‎ ‎∴当时，， ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎∵也适合上式， ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】（1）主要考查了法求数列的通项公式----‎ ‎（2）考查了分类思想及分组求和方法，还考查了等比数列求和公式。注意不要弄错项数，计算要细心。‎ ‎（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）‎ ‎17.已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得，两式作差整理即可得到，从而可得数列为等比数列；‎ ‎（2）先由（1）写出，从而可得 ‎，进而可直接求出数列的前项和.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，则.‎ 当时，因为，所以，‎ 则，即.‎ 从而，即.‎ 因为，所以.‎ 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.‎ ‎（2）由（1）可得，即.‎ 因为，所以.‎ 则，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题第一问主要考查等比数列的证明，只需数列的第n项与第n-1项之比为非零常数即可;第二问主要考查裂项相消的方法求数列的前n项和;属于基础试题.‎ ‎（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）‎ ‎17.已知数列的首项，，且对任意的，都有，数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知的递推关系式可知数列为等差数列，从而可得的通项公式，代入可得的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法和等比数列的求和公式得到数列的前n项和,通过判断数列的单调性可得满足条件的n的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）令得，，解得.‎ 又由知 ，‎ 故数列是首项，公差的等差数列，‎ 于是，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.‎ 于是 .‎ 令，易知是关于的单调递增函数，‎ 又，，‎ 故使成立的最小正整数的值是10.‎ ‎【点睛】本题考查等差，等比数列的通项公式和等差，等比数列的前n项和公式的应用，以及数列单调性的判断，考查学生推理和计算能力.‎ ‎（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）‎ ‎17.已知等比数列的公比，，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列的性质得到，，进而得到通项；（2‎ ‎）由第一问得到，错位想减求和即可.‎ 详解：‎ ‎ ，， ‎ ‎ 又成等差数列，， ‎ ‎ ，， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎①‎ ‎② ‎ ‎-②： ‎ ‎ ‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.‎ ‎（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）‎ ‎17.设数列｛｝的前n项和为Sn，已知3Sn=4－4，．‎ ‎（1)求数列｛｝的通项公式；‎ ‎ (2）令，求数列｛｝的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由求得，由时，可得的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；‎ ‎（2）根据（1）的结论，数列的前项和可用裂项相消法求得．‎ 详解：（1）∵ ①‎ 当时，，∴[来源:学+科+网]‎ 当时， ②‎ 由①-②得：‎ ‎∴‎ ‎∴是以为首项，公比为的等比数列 ‎∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ 点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．‎ ‎（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）[来源:学科网]‎ ‎17.已知数列为等比数列，其前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用 ，可求的通项公式；‎ ‎（2）化简可得，利用错位相减法可求.‎ 试题解析：（1）由，得.‎ ‎∴‎ 当时，.‎ ‎∵.∴是以为首项，4为公比的等比数列.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ 当时，，符合上式.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知.‎ ‎∴.①‎ ‎.‎ ‎①-②得：，‎ ‎∴‎