安徽省黄山市2020届高三第一次质量检测文科数学

安徽省黄山市2020届高三第一次质量检测文科数学

黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测 数学（文科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.‎ ‎2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.‎ ‎4．参考公式：，其中.‎ P(k>ko)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ko ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题.） ‎ ‎1.已知复数z满足,则（ ）‎ A. 5 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，，再求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，则 故选：C ‎【点睛】本题考查复数的运算，属于容易题.‎ ‎2.设U＝R，A＝，B＝，则＝（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合，，直接进行交集运算即可.‎ ‎【详解】‎ A＝，，‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查集合的交集，补集运算，属于基础题.‎ ‎3.三个数，，的大小关系是（ ）‎ A. ＜＜ B. ＜＜‎ C. ＜＜ D. ＜＜‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断这三个数与0，1的大小关系，即可得解.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以＜＜‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查利用指数函数，对数函数的单调性比较数的大小，属于基础题.‎ ‎4.斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成).斐波那契螺旋线在自然界中很常见，比如海螺的外壳、花瓣、向日葵、台风、水中的漩涡、星系等所呈现的都是斐波那契螺旋.图中所示“黄金螺旋”的长度为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据弧长公式计算这7段弧的长度之和即可.‎ ‎【详解】若正方形边长为，则此正方形内的弧长，‎ 图中所示“黄金螺旋”的长度为:‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题.‎ ‎5.函数在区间的图象大致是（　　　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断的奇偶性，利用奇偶性及的特殊函数值排除选项，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以既不是奇函数也不是偶函数，排除A，B，‎ 又因为，‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查函数图像的判断，一般从奇偶性，单调性，零点和函数值等方面判断，属于基础题.‎ ‎6.下图为2014-2018年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率），则以下结论不正确的是（ ）‎ A. 2014年以来，我国国内生产总值逐步在增长 B. 2014年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳 C. 2014-2018年，国内生产总值相比上一年年增长额最大在2018年 D. 2014-2018年，我国国内生产总值年增长率的平均值为6.86%‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项判断正误，C选项求出各年的国内生产总值相比上一年年增长额即可判断.‎ ‎【详解】2014-2018年，2017年国内生产总值相比上一年年增长了80693元，2018年国内生产总值相比上一年年增长了79555元，故C错误.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查从柱形图与折线图，考查学生观察分析能力，属于基础题.‎ ‎7.已知，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式将正弦函数转化为余弦函数，已知数值代入二倍角的余弦公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查三角函数诱导公式六，考查二倍角的余弦公式，属于基础题.‎ ‎8.已知非零向量,满足,,则向量,的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由化简得，代入夹角的余弦公式化简得，从而求得，的夹角.‎ ‎【详解】由可得，‎ 因为，所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积的含义，属于基础题.‎ ‎9.已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.‎ ‎【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，‎ 由题意可知过圆的圆心，‎ 则，解得，点A的坐标为，‎ ‎，切点为B则，‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框中可以填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 该程序框图的功能是计算的值.‎ 要使输出S的值为0，则，即 故①中应填 故选C 点睛：：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎11.已知△ABC的内角A,B,C的对边为，△ABC的面积为，且，，则△ABC的周长为（ ）‎ A. 4+ B. 6 C. 4+ D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理化简解得，由结合即可求得边，，从而求得△ABC的周长.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，化简得，‎ ‎，所以 又因为，解得①‎ ‎②，联立①②得，则△ABC 为等边三角形，‎ 所以△ABC的周长为：6.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式及其应用，属于中档题.‎ ‎12.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，点是椭圆和双曲线的一个交点，且椭圆的离心率为，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆与双曲线的定义列出方程组，求得，又因为，代入即可求得.‎ ‎【详解】不妨设椭圆和双曲线的焦点在x轴上，设椭圆长半轴长为，焦距为2c，离心率为，双曲线实半轴长为，焦距为2c，离心率为，‎ 根据已知条件可得：‎ ‎①式同时平方可得：⑤，‎ 将②式代入⑤式可得⑥，‎ 将⑥式代入④式同时平方后的式子可得：‎ 代入，可得 故选:A ‎【点睛】本题考查椭圆、双曲线的定义，圆锥曲线的离心率，考查考生的分析归纳与计算能力，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎13.曲线在点处的切线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 带入得切线的斜率，‎ 切线方程，整理得 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.‎ ‎14.在数列中，，为前项和，若=36，则=____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断出数列为等差数列，求出首项与公差，代入前n项和即可得解.‎ ‎【详解】因为，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ 则，解得.‎ 故答案为:6‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的概念与已知等差数列的前n项和求n，属于基础题.‎ ‎15.已知函数的图象关于直线对称，则的值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把函数化简为正弦型函数，由正弦型函数的对称性即可求出.‎ ‎【详解】‎ 因为的图象关于直线对称，‎ 所以，解得，‎ 因为，所以.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式及正弦型函数的图像与性质，属于基础题.‎ ‎16.已知棱长为2的正方体，点M在线段BC上（异于C点），点N为线段的中点，若平面AMN截该正方体所得截面为四边形，则三棱锥体积的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定当,平面AMN截该正方体所得截面为四边形，从而得知当点M为BC中点时三棱锥的体积取得最小值，当点M与点B重合时，三棱锥的体积取得最大值，进而求得三棱锥体积的范围.‎ ‎【详解】当,平面AMN截该正方体所得截面为四边形, 如图（1），图（2）所示，当,平面AMN截该正方体所得截面为五边形，如图（3）所示：‎ ‎、‎ 图（1） 图（2） 图（3）‎ 当时，；‎ 当点B与点M重合时，.‎ 故答案: ‎ ‎【点睛】本题考查正方体截面问题的求解，关键是能够确定截面为四边形和五边形的临界点，从而得到所求的范围，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎17.某市在争创文明城市过程中，为调查市民对文明出行机动车礼让行人的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于45岁 ‎80‎ 年龄大于45岁 ‎10‎ 合计 ‎70‎ ‎100‎ ‎（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄段与是否支持文明出行机动车礼让行人有关？‎ ‎（3）已知在被调查的年龄小于25岁的支持者有5人，其中2人是教师，现从这5人中随机抽取3人，求至多抽到1位教师的概率.‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) 能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与是否支持文明出行有关(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据即可；（2）假设没有关系，根据列联表把求得的数据代入观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论；（3）列举法确定基本事件即可求出概率.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于55岁 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ 年龄大于55岁 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（2）‎ 所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与是否支持文明出行有关.‎ ‎（3）记5人为a，b，c，d，e，a，b表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：‎ abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个，其中“至多1位教 师”含有7个基本事件，所以所求概率 ‎【点睛】本题考查列联表，独立性检验的基本思想及应用，古典概型，属于基础题.‎ ‎18.已知等比数列中，，，且，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，若前的前项和，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) 最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由是等比数列，令可列出方程求出，代入等比数列通项公式即可；（2）表示出的通项公式，由错位相减法可求得，代入已知不等式即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由是等比数列，令可得 ‎ 或（舍去），故. ‎ ‎（2）由题，所以 又 两式相减得 ‎ 易知单调递增，且，故最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求前n项和，属于中档题.‎ ‎19.如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若， ，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（Ⅱ）根据等体积法求高，即得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）连接，交于点，再连接，‎ 由已知得，四边形为正方形，为的中点，‎ ‎∵是的中点，∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面. ‎ ‎（Ⅱ）∵在直三棱柱中，平面平面,且为它们的交线，‎ 又，∴平面,又∵平面,‎ ‎∴，且.‎ 同理可得，过作，则面，且. ‎ 设到平面的距离为,由等体积法可得：‎ ‎，即，‎ 即.‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎20.已知的三个顶点都在抛物线上，且抛物线的焦点为的重心.‎ ‎（1）记的面积分别为，求证：为定值；‎ ‎（2）若点的坐标为，求所在的直线方程.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)确定抛物线的焦点F的坐标，由重心知从而求得A，B，C三点的坐标关系，进而求得；(2)首先求出抛物线的标准方程，与直线方程联立，通过韦达定理求出参数m的值，进而求出直线方程.‎ ‎【详解】解：(1)记，‎ 由重心知，又 于是.‎ ‎(2)将代入得，，‎ ‎，设所在的直线方程为，代入抛物线得，由代入 ‎，‎ 所以所在的直线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，三角形重心的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.‎ ‎21.已知曲线在点处的切线斜率为.‎ ‎（1）求的值，并求函数的极小值；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】(1) ,极小值为 (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由导数的几何意义求出参数m，得到函数具体解析式，再通过导数判断函数单调性从而求得极小值；(2)化简不等式得，由(1)求得的最小值，再利用导数求出的范围，即可证明不等式.‎ ‎【详解】解：(1)由题意，的定义域为.‎ ‎，， ‎ ‎，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减，‎ 是的极小值点，的极小值为 ‎ ‎(2)要证，两边同除以，‎ 只需证即可.即证. ‎ 由（1）可知，在处取得最小值； ‎ 设，则，‎ ‎，在区间上单调递减，从而 即.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性、极值与最值得综合应用，考查利用导数证明不等式，属于中档题.‎ 考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C与直线l相交于M,N两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（t为参数），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线的参数方程直接写出即可，将两边同时乘以，变形为，再根据转化为直角坐标方程即可.‎ ‎（2）将的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，‎ 确定与，代入，求解取值范围，即可.‎ ‎【详解】（1）参数方程：（t为参数），‎ 曲线的直角坐标方程： ；‎ ‎（2）将的参数方程代入曲线C的方程得,‎ ‎，①‎ 由于恒成立，所以方程①有两个不等实根，‎ 由于，所以异号，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查直线的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的几何意义，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若恒成立,求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论，，，，分别求解即可.‎ ‎（2）求分段函数的最小值，再解不等式，即可.‎ ‎【详解】（1）当，则 ，‎ 当时，则 ，‎ 当时，则，此时无解，‎ 故解集为；‎ ‎（2）由（1）知，所以当时，的最小值为，则，‎ 所以 .‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及恒成立问题求参数的取值范围.属于中档题.‎ ‎ ‎