2018-2019学年湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高二下学期期中联考数学(理)试题 Word版

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2018-2019学年湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高二下学期期中联考数学(理)试题 Word版

湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高二下学期期中联考数学理科 试卷 考试时间:120分钟 总分:150分 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。每小题只有一个选项最符合题意。)‎ ‎1.复数在复平面内,z所对应的点在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.如图是导函数的图象,那么函数在下面哪个区间是减函数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.有一段“三段论”推理是这样的: ‎ 对于可导函数,如果,那么是函数的极值点,因为函数在处的导数值,所以,是函数的极值点.‎ 以上推理中 ( ) ‎ A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 ‎4. 9件产品中,有4件一等品,3件二等品,2件三等品,现在要从中抽出4件产品来检查,至少有两件一等品的种数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 的展开式中,含的项的系数( )‎ A.-9 B.121 C.-74 D.-121‎ ‎6.函数在处有极值10, 则点为 (   )‎ A. B. C. 或 D.不存在 ‎7.随机变量服从二项分布~,且则等于( )‎ A. B. C. 1 D. 0 ‎ ‎8. =( ) ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9、函数若函数上有3个零点,则m的 取值范围为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.从5名志愿者中选出4人分别到A、B、C、D四个部门工作,其中甲、乙两名志愿者不能到A、B二个部门工作,其他三人能到四个部门工作,则选派方案共有( ) ‎ A.120种 B.24种 C.18种 D.36种 ‎11.曲线, 和直线围成的图形面积是 (   )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知在区间上是减函数,那么( ) ‎ A.有最大值 B.有最大值- C.有最小值 D.有最小值- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。请将答案填在答题纸的对应位置上。)‎ ‎13.已知随机变量服从正态分布,若,则 。‎ ‎14.曲线上的点到直线的最短距离是 。‎ ‎15.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是___ ___(写出所有正确结论的编号).‎ ‎①P(B)=; ②P(B|A1)=; ③事件B与事件A1相互独立;‎ ‎④A1,A2,A3是两两互斥的事件;‎ ‎⑤P(B)的值不能确定,因为不知道它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.‎ ‎16.一同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆,●表示实心圆)‎ ‎○●○○●○○○●○○○○●……‎ ‎ 若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前2019个圆中有实心圆的个数为     .‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)已知,,‎ ‎(1)求:,,的值; (2)猜想的通项公式,并用数学归纳法证明。 ‎ ‎18.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数。‎ ‎(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;‎ ‎(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如,等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;‎ ‎(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。‎ ‎19.(12分)在某校组织的高二女子排球比赛中,有A、B两个球队进入决赛,决赛采用 ‎7局4胜制.假设A、B两队在每场比赛中获胜的概率都是.并记需要比赛的场数为.‎ ‎(Ⅰ)求大于4的概率; (Ⅱ)求的分布列与数学期望。‎ ‎20.(12分)已知函数 ‎(1)求的单调区间; (2)求曲线在点(1,)处的切线方程;‎ ‎(3)求证:对任意的正数与,恒有 。‎ ‎21.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;‎ ‎(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率。‎ ‎22.(12分)已知函数 ‎(1)讨论的单调性; (2)若有两个零点,求a的取值范围。‎ 答案 考试时间:120分钟 总分:150分 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。每小题只有一个选项最符合题意。)‎ ‎1.复数在复平面内,z所对应的点在( B )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.如图是导函数的图象,那么函数在下面哪个区间是减函数( B )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.有一段“三段论”推理是这样的: ‎ 对于可导函数,如果,那么是函数的极值点,因为函数在处的导数值,所以,是函数的极值点.‎ 以上推理中 ( A ) ‎ A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 ‎4. 9件产品中,有4件一等品,3件二等品,2件三等品,现在要从中抽出4件产品来检查,至少有两件一等品的种数是( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 的展开式中,含的项的系数( A )‎ A.-9 B.121 C.-74 D.-121‎ ‎6.函数在处有极值10, 则点为 ( B  )‎ A. B. C. 或 D.不存在 ‎7.随机变量服从二项分布~,且则等于( B )‎ A. B. C. 1 D. 0 ‎ ‎8. =( A ) ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9、函数若函数上有3个零点,则m的 取值范围为 ( D )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.从5名志愿者中选出4人分别到A、B、C、D四个部门工作,其中甲、乙两名志愿者不能到A、B二个部门工作,其他三人能到四个部门工作,则选派方案共有( D ) ‎ A.120种 B.24种 C.18种 D.36种 ‎11.曲线, 和直线围成的图形面积是 ( D  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知在区间上是减函数,那么( B ) ‎ A.有最大值 B.有最大值- C.有最小值 D.有最小值- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。请将答案填在答题纸的对应位置上。)‎ ‎13.已知随机变量服从正态分布,若,则 0.6 。‎ ‎14.曲线上的点到直线的最短距离是 。‎ ‎15.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是__②__④____(写出所有正确结论的编号).‎ ‎①P(B)=; ②P(B|A1)=; ③事件B与事件A1相互独立;‎ ‎④A1,A2,A3是两两互斥的事件;‎ ‎⑤P(B)的值不能确定,因为不知道它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.‎ ‎16.一同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆,●表示实心圆)‎ ‎○●○○●○○○●○○○○●…… 若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前2019个圆中有实心圆的个数为  62‎ ‎  .‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)已知,,‎ ‎(1)求:,,的值; (2)猜想的通项公式,并用数学归纳法证明 ‎ 解:(1),, ……………………3分 ‎(2)猜 ……………………5分 证明:下面用数学归纳法证明。‎ ① 时,易证 ……………………6分 ② 假设时,(k≥1,k∈N*),即: ‎ 则 ……………………9分 由①,②可知,对任意,都成立。 ……………………10分 ‎18.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.‎ ‎(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;‎ ‎(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如,等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;‎ ‎(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.‎ 解:(1)偶数分为二类:‎ 若个位数是0,则共有个;‎ ‎ 若个位数是2或4,则共有个;‎ ‎ 所以,共有30个符合题意的三位偶数。 ……………………4分 ‎(2)“凹数”分三类:‎ 若十位是0,则有个;‎ 若十位是1,则有个;‎ 若十位是2,则有个;‎ 所以,共有20个符合题意的“凹数”。 ……………………8分 ‎(3)符合题意的五位数分为三类:‎ ‎ 若两个奇数数字在一、三位置:共有个;‎ 若两个奇数数字在二、四位置:共有个;‎ 若两个奇数数字在三、五位置:共有个;‎ 所以,共有28个符合题意的五位数。 ……………………12分 ‎19.(12分)在某校组织的高二女子排球比赛中,有A、B两个球队进入决赛,决赛采用 ‎7局4胜制.假设A、B两队在每场比赛中获胜的概率都是.并记需要比赛的场数为.‎ ‎(Ⅰ)求大于4的概率; (Ⅱ)求的分布列与数学期望.‎ 解:(Ⅰ)依题意可知,的可能取值最小为4.‎ 当=4时,整个比赛只需比赛4场即结束,这意味着A连胜4场,或B连胜4场,于是,由互斥事件的概率计算公式,可得 P(=4)=2=.‎ ‎∴ P(>4)=1-P(=4)=1-=.‎ 即>4的概率为. ……………………4分 ‎(Ⅱ)∵的可能取值为4,5, 6,7,可得 P(=4)=2= P(=5)=2=‎ P(=6)=2= P(=7)=2=‎ ‎……………………8分 ‎∴的分布列为:‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P ‎……………………10分 ‎ 的数学期望为:E=4+5+6+7=. ……………………12分 ‎20.(12分)已知函数 ‎(1)求的单调区间; (2)求曲线在点(1,)处的切线方程;‎ ‎(3)求证:对任意的正数与,恒有.‎ 解:(1)单调增区间 ,单调减区间 ……………………4分 ‎ (2)切线方程为 ……………………8分 ‎(3)所证不等式等价为 ……………………9分 而,设则,由(1)结论可得,由此,所以即,记代入得证。 ………………12分 ‎21.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;‎ ‎(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.‎ 解:(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,‎ ‎∵利润=产量×市场价格-成本,‎ ‎∴X所有可能的取值为 ‎500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,‎ ‎300×10-1000=2000,300×6-1000=800. ………2分 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎4000‎ ‎2000‎ ‎800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎…………………6分 ‎(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),‎ 由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,‎ P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),‎ ‎3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;……8分 ‎3季中有2季的利润不少于2000元的概率为 ‎, ………………10分 ‎∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512+0.384=0.896.‎ ‎ ……………………12分 ‎22.(12分)22.(12分)已知函数 ‎(1)讨论的单调性; (2)若有两个零点,求a的取值范围。‎ ‎ 解:(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ………………1分 ‎①设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;‎ 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.‎ 所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ………………3分 ① 设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).‎ 若a=-,则f′(x)=(x-1)(ex-e), ‎ 所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. ………………4分 若a>-,则ln(-2a)<1,‎ 故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f′(x)>0;‎ 当x∈(ln(-2a),1)时,f′(x)<0.‎ 所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,‎ 在(ln(-2a),1)上单调递减. ………………5分 若a<-,则ln(-2a)>1,‎ 故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0;‎ 当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0.‎ 所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上单调递增, ‎ 在(1,ln(-2a))上单调递减. ………………6分 ‎(2)①设a>0,则由(1)知,f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln ,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,所以f(x)有两个零点. ………………8分 ‎②设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点. ………………9分 ‎③设a<0,若a≥-,则由(1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;若a<-,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点. ………………11分 ‎ 综上,a的取值范围为(0,+∞). ………………12分
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