高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：2-4第2课时

高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：2-4第2课时

第2课时　等比数列的性质及应用 双基达标　(限时20分钟) ‎1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于 (　　)．‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ 解析　由等比数列的性质得a2·a6＝a42＝42＝16.‎ 答案　C ‎2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于 (　　)．‎ A．－ B．－2 C．2 D. 解析　根据an＝am·qn－m，得a5＝a2·q3.‎ ‎∴q3＝×＝.∴q＝.‎ 答案　D ‎3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于 (　　)．‎ A．3 B．2 C．1 D．－2‎ 解析　∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.‎ 答案　B ‎4．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，则a5＋a6＝________.‎ 解析　根据等比数列的性质：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．‎ ‎∴a5＋a6＝(a3＋a4)·＝120×＝480.‎ 答案　480‎ ‎5．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.‎ 解析　由等比数列的性质得a3a11＝a72，‎ ‎∴a72＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4.‎ ‎∴b7＝a7＝4.‎ 再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.‎ 答案　8‎ ‎6．已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9的值．‎ 解　法一　由等比数列的性质，有a2a10＝a3a9＝a62，‎ 由a2·a6·a10＝1，得a63＝1，‎ ‎∴a6＝1，∴a3a9＝a62＝1.‎ 法二　由等比数列通项公式，得 a2a6a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝a13·q15＝(a1q5)3＝1，‎ ‎∴a1q5＝1，∴a3a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.‎ 综合提高　(限时25分钟) ‎7．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于 (　　)．‎ A．5 B．7 C．6 D．4 解析　∵a1a2a3＝a23＝5，∴a2＝.‎ ‎∵a7a8a9＝a83＝10，∴a8＝.‎ ‎∴a52＝a2a8＝＝50，‎ 又∵数列{an}各项为正数，∴a5＝50.‎ ‎∴a4a5a6＝a53＝50＝5.‎ 答案　A ‎8．在等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为 (　　)．‎ A．3×10－5 B．3×29‎ C．128 D．3×2－5或3×29‎ 解析　∵a2＝，a4＝a3q，∴a2＝，a4＝12q.‎ ‎∴＋12q＝30.即2q2－5q＋2＝0，‎ ‎∴q＝或q＝2.‎ 当q＝时，a2＝24，‎ ‎∴a10＝a2·q8＝24×8＝3×2－5；‎ 当q＝2时，a2＝6，‎ ‎∴a10＝a2q8＝6×28＝3×29.‎ 答案　D ‎9．在等比数列{an}中，若an>0，a1·a100＝100，则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝________.‎ 解析　由等比数列性质知：a1·a100＝a2·a99＝…＝a50·a51＝100.‎ ‎∴lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝lg(a1·a2·a3·…·a100)＝lg(a1·a100)50＝lg 10050＝lg 10100＝100.‎ 答案　100‎ ‎10．三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为________．‎ 解析　∵a，b，c成等比数列，公比是q＝3，‎ ‎∴b＝3a，c＝a·32＝9a.‎ 又由等差中项公式有：2(b＋8)＝a＋c，‎ ‎∴2(3a＋8)＝a＋9a.∴a＝4.‎ ‎∴b＝12，c＝36.‎ 答案　4,12,36‎ ‎11．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．‎ 解　∵a1a5＝a32，a3a5＝a42，a3a7＝a52，‎ ‎∴由条件，得a32－2a42＋a52＝36，‎ 同理得a32＋2a3a5＋a52＝100，‎ ‎∴即 解得或 分别解得或 ‎∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.‎ ‎12．(创新拓展)互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．‎ 解　设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.‎ ‎(1)若－2为－和－2q的等差中项，则＋2q＝4，‎ ‎∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；‎ ‎(2)若－2q为－和－2的等差中项，则＋1＝2q，‎ ‎∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，‎ ‎∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；‎ ‎(3)若－为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝，‎ ‎∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，‎ ‎∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.‎ 故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.‎