数学卷·2018届江苏省扬州市宝应县安宜高中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届江苏省扬州市宝应县安宜高中高二上学期期中数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年江苏省扬州市宝应县安宜高中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ‎1．命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是　　．‎ ‎2．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，这五个数的方差是　　．‎ ‎3．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=　　．‎ ‎4．已知双曲线=1的右焦点为，则该双曲线的虚轴长为　　．‎ ‎5．已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围 　　．‎ ‎6．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为　　．‎ ‎7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是　　．‎ ‎8．如图的伪代码输出的结果S为　　‎ ‎9．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且圆与直线3x+4y+4=0相切，则圆的标准方程是 　　．‎ ‎10．下列命题中：‎ ‎①若p、q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；‎ ‎②若p为：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则¬p为：∀x∈R，x2+2x+2＞0；‎ ‎③若命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是﹣1≤a≤3；‎ ‎④已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：x2﹣3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则命题“¬p∨¬q”是假命题．所有正确命题的序号是 　　．‎ ‎11．设集合M={（x，y）|x2+y2≤4}，N={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤r2（r＞0）}，当M∩N=N时，则实数r的取值范围为　　．‎ ‎12．已知直线l的斜率为k，经过点（1，﹣1），将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是　　．‎ ‎13．已知椭圆+=1的一个焦点是（，0），且截直线x=所得弦长为，求该椭圆的方程．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B是圆C：（x﹣2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，建议分值14+14+15+15+16+16=90分 ‎15．高二年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：‎ 分组 频数 频率 ‎[85，95）‎ ‎①‎ ‎0.025‎ ‎[95，105）‎ ‎0.050‎ ‎[105，115）‎ ‎0.200‎ ‎[115，125）‎ ‎12‎ ‎0.300‎ ‎[125，135）‎ ‎0.275‎ ‎[135，145）‎ ‎4‎ ‎②‎ ‎[145，155]‎ ‎0.050‎ 合计 ‎③‎ ‎（1）根据图表，①②③处的数值分别为　　、　　、　　；‎ ‎（2）在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；‎ ‎（3）根据题中信息估计总体落在[125，155]中的概率．‎ ‎16．已知集合P={x|2x2﹣5x+2≤0}，函数y=log2（ax2+2）的定义域为S ‎（1）若P∩S≠∅，求实数a的取值范围 ‎（2）若方程log2（ax2+2）=2在上有解，求实数a的取值范围．‎ ‎17．设命题p：∃x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0，命题q：∀x∈R，x2﹣2（m+5）x+3m+19≠0‎ ‎（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围 ‎（2）若p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．（1）将一颗骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，以分别得到的点数（m，n）作为点P的坐标（m，n），求：点P落在区域内的概率；‎ ‎（2）在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），求：使方程x2+mx+n2=0有实数根的概率．‎ ‎19．已知直线l的方程为x=﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=1与x轴交于A，B两点．‎ ‎（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的，求直线l1的方程；‎ ‎（2）若椭圆中a，c满足=2，求中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；‎ ‎（3）过M点作直线l2与圆相切于点N，设（2）中椭圆的两个焦点分别为F1，F2，求三角形△NF1F2面积．‎ ‎20．已知椭圆C的方程为，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省扬州市宝应县安宜高中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ‎1．命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是　∃x∈R，cosx＞1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．‎ ‎【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定 ‎∃x∈R，cosx＞1．‎ ‎　‎ ‎2．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，这五个数的方差是　2　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】先根据平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算．‎ ‎【解答】解：由题意知：a=15﹣（1+2+3+4）=5，‎ 故五个数的方差S2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎3．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=　192　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，做出全校的人数，根据从女学生中抽取的人数为80人，得到每个个体被抽到的概率，用全校人数乘以概率，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．‎ ‎∴学校共有200+1200+1000人 由题意知=，‎ ‎∴n=192．‎ 故答案为：192‎ ‎　‎ ‎4．已知双曲线=1的右焦点为，则该双曲线的虚轴长为　4　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线方程，求出a，b，c的关系，求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线=1的右焦点为，‎ 可得9+a=13，解得a=4，双曲线的虚轴长为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围 　a＞4　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断；对数函数的定义域．‎ ‎【分析】先利用对数函数的性质求出集合A，再根据集合之间的关系结合数轴看端点坐标之间的大小关系即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x＜4}，‎ ‎∵P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，‎ ‎∴集合A是集合B的子集，‎ 由图易得a＞4．‎ 故答案为：a＞4．‎ ‎　‎ ‎6．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为　6　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先根据题意求得椭圆的a值，由△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a，可得答案．‎ ‎【解答】解：椭圆短轴长为，离心率 ‎∴b=，，可得=，解之得a=‎ 因此，△ABF2的周长是 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=6，‎ 故答案为：6‎ ‎　‎ ‎7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．‎ ‎【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，‎ 基本事件总数为n=6×6=36，‎ 出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，‎ 出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：‎ ‎（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，‎ ‎∴出现向上的点数之和小于10的概率：‎ p=1﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．如图的伪代码输出的结果S为　17　‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 I=1‎ 满足条件I＜8，执行循环体，S=5，I=3‎ 满足条件I＜8，执行循环体，S=9，I=5‎ 满足条件I＜8，执行循环体，S=13，I=7‎ 满足条件I＜8，执行循环体，S=17，I=9‎ 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为17．‎ 故答案为：17．‎ ‎　‎ ‎9．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且圆与直线3x+4y+4=0相切，则圆的标准方程是 　（x﹣2）2+y2=4　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】设出圆心坐标为（a，0）且a＞0，因为圆与直线3x+4y+4=0相切得到圆心到直线的距离等于半径2求出a，即可得到圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：设圆心坐标为（a，0）且a＞0，‎ 因为圆与直线3x+4y+4=0相切得到圆心到直线的距离等于半径2即=2，求得a=2或a=﹣（舍去），所以a=2‎ 圆心坐标为（2，0），半径为2的圆的标准方程为：（x﹣2）2+y2=4‎ 故答案为（x﹣2）2+y2=4．‎ ‎　‎ ‎10．下列命题中：‎ ‎①若p、q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；‎ ‎②若p为：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则¬p为：∀x∈R，x2+2x+2＞0；‎ ‎③若命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是﹣1≤a≤3；‎ ‎④已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，命题q：x2﹣3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则命题“¬p∨¬q”是假命题．所有正确命题的序号是 　②③④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用常用逻辑用语中的基本知识进行甄别和判断是解决本题的关键，要理解充要条件的判断、含有一个量词命题否定的正确表述、复合命题真假的判断．‎ ‎【解答】解：①“p且q为真”可以得出p，q均真，故“p或q为真”，反之“p或q为真”不一定有“p且q为真”，故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，而不是必要不充分条件，故①错误；‎ 根据特称命题的否定的叙述方法，可知②正确；‎ 命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题⇔命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题⇔（a﹣1）2﹣4≤0⇔﹣1≤a≤3，故③正确；‎ 命题p：∃x∈R，使tanx=1是正确的，命题q：x2﹣3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也是正确的，故非p、非q均为假命题，因此“¬p∨¬q”是假命题，故④正确．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎　‎ ‎11．设集合M={（x，y）|x2+y2≤4}，N={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤r2（r＞0）}，当M∩N=N时，则实数r的取值范围为　（0，2﹣]　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定；集合关系中的参数取值问题．‎ ‎【分析】由已知中集合N={（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤r2，r＞0}，M={（x，y）|x2+y2≤4}，若M∩N=N，判断出两个集合中的圆关系为内切或内含，由圆心距与半径之间的关系，构造关于r的不等式，解不等式即可得到实数r的取值范围．‎ ‎【解答】解：若M∩N=N，则N与M表示的圆内切或内含 由于N中的圆的圆心为N（1，1），半径为r，‎ M中的圆的圆心为M（0，0），半径为2，‎ 则2﹣r≥|MN|=，‎ ‎∴0＜r≤2﹣，‎ 故答案为：（0，2﹣]．‎ ‎　‎ ‎12．已知直线l的斜率为k，经过点（1，﹣1），将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是　0≤k≤　．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】由题意直线l的斜率为k，经过点（1，﹣1），根据直线方程的点斜式求出其解析式，然后根据平移的性质：左加右减，上加下减，得到直线m，再根据其不经过第四象限，求出k的范围；‎ ‎【解答】解：依题意可设直线l的方程为y+1=k（x﹣1），‎ 即y=kx﹣k﹣1，将直线l向右平移3个单位，得到直线y=k（x﹣3）﹣k﹣1，‎ 再向上平移2个单位得到直线m：y=k（x﹣3）﹣k﹣1+2，即y=kx﹣4k+1．‎ 由于直线m不经过第四象限，所以应有，‎ 解得0≤k≤．‎ 故答案为：0≤k≤‎ ‎　‎ ‎13．已知椭圆+=1的一个焦点是（，0），且截直线x=所得弦长为，求该椭圆的方程．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】由题意求出c，联立直线方程与椭圆方程求出y，并表示出弦长列出方程，由a、b、c的关系列出方程，联立方程求出a2和b2的值．‎ ‎【解答】解：由题意知，c=，直线x=过椭圆焦点，且垂直于x轴，‎ 由得，y=，‎ 因为截直线x=所得弦长为，所以，①‎ 又a2=b2+2，②，‎ 联立①②解得，a2=6、b2=4，‎ 所以该椭圆的方程是．‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B是圆C：（x﹣2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为　[﹣2，2]　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先求出M的轨迹方程，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时OP=2，利用圆上存在点点P，使得∠OPM=30°，可得圆心到直线的距离d=≤2，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：设M（x，y），则B（2x+2，2y），代入圆C：（x﹣2）2+y2=4，可得（2x+2﹣2）2+（2y）2=4，‎ 即x2+y2=1‎ 由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时OP=2．‎ ‎∵圆上存在点点P，使得∠OPM=30°，‎ ‎∴圆心到直线的距离d=≤2，‎ ‎∴﹣2≤k≤2，‎ 故答案为：[﹣2，2]．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，建议分值14+14+15+15+16+16=90分 ‎15．高二年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：‎ 分组 频数 频率 ‎[85，95）‎ ‎①‎ ‎0.025‎ ‎[95，105）‎ ‎0.050‎ ‎[105，115）‎ ‎0.200‎ ‎[115，125）‎ ‎12‎ ‎0.300‎ ‎[125，135）‎ ‎0.275‎ ‎[135，145）‎ ‎4‎ ‎②‎ ‎[145，155]‎ ‎0.050‎ 合计 ‎③‎ ‎（1）根据图表，①②③处的数值分别为　1　、　0.1　、　1　；‎ ‎（2）在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；‎ ‎（3）根据题中信息估计总体落在[125，155]中的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由频率=，结合频率分布表能求出结果．‎ ‎（2）由频率分布表能画出区间[85，155]上的频率分布直方图．‎ ‎（3）根据题中信息能估计总体落在[125，155]中的概率．‎ ‎【解答】解：（1）∵数学成绩落在区间[115，125）的频数为12，频率为0.300，‎ ‎∴参与抽查的样本容量为=40，‎ 由于合计的频率和一定为1，故③应填1；‎ 由数学成绩落在区间[135，145）的频数为4，可得其频率为=0.100，故②应填0.1；‎ 由于[85，95）的频率为0.025，∴，解得①处应填1．‎ 故答案为：1，0.1，1．‎ ‎（2）区间[85，155]上的频率分布直方图如下图所示：‎ ‎（3）根据题中信息估计总体落在[125，155]中的概率为：‎ ‎0.275+0.100+0.050=0.425．‎ ‎　‎ ‎16．已知集合P={x|2x2﹣5x+2≤0}，函数y=log2（ax2+2）的定义域为S ‎（1）若P∩S≠∅，求实数a的取值范围 ‎（2）若方程log2（ax2+2）=2在上有解，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理；交集及其运算．‎ ‎【分析】（1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，‎ ‎（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性．‎ ‎【解答】解：（1）集合P={x|2x2﹣5x+2≤0}={x|}，由已知Q={x|ax2+2＞0}，若P∩Q≠∅，‎ 则说明在[，2]内至少有一个x值，使不等式ax2+2＞0，即，‎ 在[，2]内至少有一个x值，使a＞﹣成立，﹣的最小值为：﹣8，‎ ‎∴a的取值范围是a＞﹣8；‎ ‎（2）∵方程log2（ax2+2）=2在上内有解，‎ ‎∴ax2+2=4即ax2﹣2=0在内有解，分离a与x，得a=∈．‎ 即a的取值范围是：．‎ ‎　‎ ‎17．设命题p：∃x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0，命题q：∀x∈R，x2﹣2（m+5）x+3m+19≠0‎ ‎（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围 ‎（2）若p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】分别求出命题p，q为真时实数m的取值范围．‎ ‎（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，则命题p，q一真一假，进而可得满足条件的a的取值范围．‎ ‎（2）若p∧q为假命题，则命题p，q至少有一个假命题，进而可得满足条件的a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若命题p：∃x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0为真命题，‎ 则△=4（m﹣3）2﹣4≥0，‎ 解得：m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞）； ‎ 若命题q：∀x∈R，x2﹣2（m+5）x+3m+19≠0‎ 则△=4（m+5）2﹣4（3m+19）＜0，‎ 解得：m∈（﹣6，﹣1），‎ ‎（1）若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，‎ 则命题p，q一真一假，‎ 当p真q假时，m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞），且m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）‎ 即m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，2]∪[4，+∞），‎ 当p假q真时，m∈（2，4），且m∈（﹣6，﹣1），此时不存在满足条件的m值；‎ 综上可得：m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，2]∪[4，+∞）…‎ ‎（2）若p∧q为假命题，则命题p，q至少有一个假命题，‎ 若命题p，q全为假，则m∈（2，4），且m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞）‎ 即m∈（2，4），‎ 结合（1）的结论可得：‎ 此时m∈（﹣∞，﹣6]∪[﹣1，+∞） …‎ ‎　‎ ‎18．（1）将一颗骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，以分别得到的点数（m，n）作为点P的坐标（m，n），求：点P落在区域内的概率；‎ ‎（2）在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），求：使方程x2+mx+n2=0有实数根的概率．‎ ‎【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）由题意知是一个古典概型，由分步计数原理知试验发生的总事件数是6×6，记“点P落在区域内”为事件A，事件A包括下列15个基本事件：15，即可求点P落在区域内的概率；‎ ‎（2）在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），确定平面区域，求出相应的面积，即可求：使方程x2+mx+n2=0有实数根的概率．‎ ‎【解答】解：（1）抛掷2次骰子共包括36个基本事件，每个基本事件都是等可能的．…‎ 记“点P落在区域内”为事件A，…‎ 事件A包括下列15个基本事件：15；…‎ 所以 ． …‎ 答：点P落在内的概率为…‎ 注：以上评分，要从严，以此引导学生重视概率题的答题规范．‎ 如，未记事件A的，扣；不列举事件A的基本事件的，扣；不答的，扣 ‎（2）记“方程x2+mx+n2=0有实数根”为事件B，…‎ 在区间[1，6]上任取两个实数（m，n），可看作是在区域D：内随机取一点，‎ 每个点被取到的机会是均等的； …‎ 而事件B发生，则视作点（m，n），恰好落在区域d： …‎ 所以…‎ 答：使方程x2+mx+n2=0有实数根的概率为…‎ ‎　‎ ‎19．已知直线l的方程为x=﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=1与x轴交于A，B两点．‎ ‎（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的，求直线l1的方程；‎ ‎（2）若椭圆中a，c满足=2，求中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；‎ ‎（3）过M点作直线l2与圆相切于点N，设（2）中椭圆的两个焦点分别为F1，F2，求三角形△NF1F2面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由PQ为圆周的，可得．O点到直线l1的距离为．…再利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎（2）设椭圆方程为，半焦距为c，则，利用椭圆与圆的对称性质即可得出．‎ ‎（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，N点的坐标为，再利用三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵PQ为圆周的，∴．∴O点到直线l1的距离为．…‎ 设l1的方程为y=k（x+2），∴，∴．∴l1的方程为．…‎ ‎（2）设椭圆方程为，半焦距为c，则．∵椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，根据椭圆与圆的对称性 则a=1或b=1．…‎ 当a=1时，，∴所求椭圆方程为；…‎ 当b=1时，b2+c2=2c，∴c=1，∴a2=b2+c2=2．‎ 所求椭圆方程为．…‎ ‎（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，‎ N点的坐标为，…‎ 若椭圆为．其焦点F1，F2‎ 分别为点A，B故，…‎ 若椭圆为，其焦点为，‎ 此时…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C的方程为，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）根据直线l的斜率可知直线l的倾斜角，进而可求得点A到直线l的距离，进而表示出直线l被圆A截得的弦长和被圆B截得的弦长，利用弦长之比为，求得a和c的关系，进而求得e．‎ ‎（2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L，当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截，故可知直线L的斜率一定存在，进而可设直线方程，求得点A（﹣7，0）到直线L的距离，根据（1）的离心率求得圆A的半径，同样可求得圆B的半径，则可求得直线L被两圆截得的弦长，根据他们的比为建立等式，整理成关于k的一元二次方程，方程有无穷多解，进而求得m和n，则点P的坐标可得．‎ ‎【解答】解：（1）由，得直线l的倾斜角为150°，‎ 则点A到直线l的距离，‎ 故直线l被圆A截得的弦长为，‎ 直线l被圆B截得的弦长为，‎ 据题意有：，即 化简得：16e2﹣32e+7=0，‎ 解得：或，又椭圆的离心率e∈（0，1）；‎ 故椭圆C的离心率为．‎ ‎（2）假设存在，设P点坐标为（m，n），过P点的直线为L；‎ 当直线L的斜率不存在时，直线L不能被两圆同时所截；‎ 故可设直线L的方程为y﹣n=k（x﹣m），‎ 则点A（﹣7，0）到直线L的距离，‎ 由（1）有，得=，‎ 故直线L被圆A截得的弦长为，‎ 则点B（7，0）到直线L的距离，rB=7，‎ 故直线L被圆B截得的弦长为，‎ 据题意有：，即有16（rA2﹣D12）=9（rB2﹣D22），整理得4D1=3D2，‎ 即=，‎ 关于k的方程有无穷多解，‎ 故有：，‎ 故所求点P坐标为（﹣1，0）或（﹣49，0）．‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日