2020年高中数学第二章条件概率

2020年高中数学第二章条件概率

‎2.2.1‎‎ 条件概率 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.‎ 答案：C ‎2．抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)等于 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵A∩B＝{2,5}，∴n(AB)＝2.‎ 又∵n(B)＝5，∴P(A|B)＝＝.‎ 答案：A ‎3．为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：‎ 患病 未患病 总计 服用药 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 未服药 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎75‎ ‎105‎ 在服药的前提下，未患病的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：在服药的前提下，未患病的概率P＝＝.‎ 答案：C ‎4．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5‎ 6‎ ‎ 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是(　　)‎ A．0.75 B．0.60‎ C．0.48 D．0.20‎ 解析：记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15 000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(AB)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P(B|A)＝＝＝0.75.‎ 答案：A ‎5．某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是(　　)‎ A．0.32 B．0.5‎ C．0.4 D．0.8‎ 解析：记事件A表示“该动物活到20岁”，事件B表示“该动物活到25岁”，由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能，故事件A包含事件B，从而有P(AB)＝P(B)＝0.4，所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)＝＝＝0.5.‎ 答案：B ‎6．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________．‎ 解析：∵P(AB)＝，P(B|A)＝，‎ ‎∴P(B|A)＝.‎ ‎∴P(A)＝.‎ 答案： ‎7.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.‎ 解析：因为P(A)表示事件“豆子落在正方形EFGH内”的概率，为几何概型，‎ 所以P(A)＝＝.‎ P(AB)＝＝＝.‎ 6‎ 由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.‎ 答案： ‎8．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________．‎ 解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”．所以为P(A|B)．‎ 而P(AB)＝，P(B)＝，‎ ‎∴P(A|B)＝＝.‎ 答案： ‎9．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？‎ 解析：设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，‎ 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，‎ 而所求概率为P(B|A)，‎ 由于B⊆A，故AB＝B，‎ 于是P(B|A)＝＝＝＝0.5，‎ 所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.‎ ‎10．任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：‎ ‎(1)该点落在区间内的概率是多少？‎ ‎(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率．‎ 解析：由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A＝，由几何概率的计算公式可知 ‎(1)P(A)＝＝.‎ ‎(2)令B＝，则AB＝，‎ 6‎ P(AB)＝＝.‎ 故在A的条件下B发生的概率为 P(B|A)＝＝＝.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．分别用集合M＝中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设“取出的两个元素中有一个是‎12”‎为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B.则n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝＝.‎ 答案：C ‎2．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新的条件下，第二次也取到新球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设A＝{第一次取得新球}，B＝{第二次取到新球}，则n(A)＝CC，n(AB)＝CC.‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝.‎ 答案：C ‎3．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．‎ 解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，‎ B＝{选出的4个球中最大号码为6}．‎ 依题意知n(A)＝C＝84，n(AB)＝C＝6，‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝.‎ 答案： 6‎ ‎4．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．‎ 解析：记A＝{从2号箱中取出的是红球}，B＝{从1号箱中取出的是红球}，则P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.‎ 答案： ‎5．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过；能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．‎ 解析：记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题”，而另2道题答错，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.‎ 由古典概型的概率公式及加法公式可知 P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝＋＋＝，‎ P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，‎ P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)‎ ‎＝＋＝＋＝.‎ 故所求的概率为.‎ ‎6．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．‎ 解析：记“先后两次出现的点数中有‎5”‎为事件M，基本事件总数为6×6＝36，其中先后两次出现的点数中有5，共有11种．‎ 从而P(M)＝.‎ 记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，‎ 6‎ 若使方程x2＋bx＋c＝0有实根，‎ 则Δ＝b2－‎4c≥0，即b≥2.‎ 因为b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．‎ 当先后两次出现的点数中有5时，若b＝5，则c＝1,2,3,4,5,6；‎ 若c＝5，则b＝5,6，从而P(MN)＝.‎ 所以在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为 P(N|M)＝＝.‎ 6‎