2018届二轮复习空间几何体的三视图表面积及体积课件（全国通用）

2018届二轮复习空间几何体的三视图表面积及体积课件（全国通用）

第一讲 　 空间几何体的三视图、表面积及体积 【 知识回顾 】 1. 空间几何体的三视图 (1) 空间几何体三视图的画法规则 : ① 长对正 , 即正 ( 主 ) 视图和 _______ 的长相等 ; ② 高平齐 , 即正 ( 主 ) 视图和 ___________ 的高相等 ; 俯视图 侧 ( 左 ) 视图 ③ 宽相等 , 即侧 ( 左 ) 视图和 _______ 的宽相等 ; ④ 看不见的轮廓线要用虚线表示 . 俯视图 (2) 空间几何体三视图的摆放规则 : 俯视图放在正 ( 主 ) 视图的下面 ; 侧 ( 左 ) 视图放在正视图的右面 . 2. 空间几何体的表面积 (1) 多面体的表面积为 各个面的 _________. (2) 圆柱的表面积公式 :S=___________=__________( 其 中 ,__ 为底面半径 ,__ 为圆柱 的高 ). 面积的和 2πr 2 +2πr l 2πr(r+ l ) r l (3) 圆锥的表面积 公式 :S=_________=________( 其中圆 锥的底面半径为 __, 母线长为 _ ). (4) 圆台的表面积公式 :S= __________________( 其中 圆台的上、下底面半径分别为 ____ 和 __, 母线长为 _ ). (5) 球的表面积公式 :S=_____( 其中球的半径为 __). πr 2 +πr l πr(r+ l ) r l π(r′ 2 +r 2 +r′ l +r l ) r′ r l 4πR 2 R 3. 空间几何体的体积 (1)V 柱体 =___(__ 为底面面积 ,__ 为高 ). (2)V 锥体 =____(__ 为底面面积 ,__ 为高 ). (3)V 球 =_____( 其中 __ 为球的半径 ). Sh S h S h R 【 易错提醒 】 1. 画三视图时对轮廓线把握不准致误 : 画三视图的轮廓线时 , 可见轮廓线在三视图中为实线 , 不可见轮廓线为虚线 . 2. 对三视图的理解或空间几何体的认识不准确致误 : 将三视图还原为其对应的几何体时 , 一定要准确理解所给的三视图 , 才能准确还原出其对应的几何体 . 3. 不能根据三视图的有关数据正确得到空间几何体的相关数据致误 : 对由三视图计算其对应几何体的表面积或体积时 , 一定要正确找准对应几何体中的相关数据 . 4. 不能准确把握组合体的构成而致误 : 对所给组合体求其表面积、体积时 , 易弄错其构成 , 导致计算错误 . 【 考题回访 】 1.(2016· 全国卷 Ⅱ) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 , 则该几何体的表面积为　 ( 　　 ) A.20π B.24π C.28π D.32π 【 解析 】 选 C. 几何体是圆锥与圆柱的组合体 , 设圆柱底 面圆半径为 r, 周长为 c, 圆锥母线长为 l , 圆柱高为 h. 由 图得 r=2,c=2 π r=4 π ,h=4, 由勾股定理得 : l ＝ S 表 = π r 2 +ch+ c l =4 π +16 π +8 π =28 π . 2.(2016· 全国卷 Ⅲ) 如图 , 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三视图 , 则该多面体的表 面积为　 ( 　　 ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 【 解析 】 选 B. 根据三视图可知原几何体是一个斜四棱 柱 , 上下底面为边长为 3 的正方形 , 左右为底边长为 3, 侧 棱为 3 的矩形 , 前后为底边为 3, 侧棱为 3 的平行四 边形 , 且底边上的高为 6, 所以 S=9+9+18+18+9 +9 =54+18 . 3.(2015· 全国卷 Ⅰ)《 九章算术 》 是 我国古代内容极为丰富的数学名著 , 书中有如下问题 :“ 今有委米依垣内 角 , 下周八尺 , 高五尺 . 问 : 积及为米几何 ?” 其意思 为 :“ 在屋内墙角处堆放米 ( 如图 , 米堆为一个圆锥的四 分之一 ), 米堆底部的弧长为 8 尺 , 米堆的高为 5 尺 , 问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺 , 圆周率约为 3, 估算出堆放的米约有　 ( 　　 ) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 【 解析 】 选 B. 设圆锥底面半径为 r, 则 × 2 × 3r=8, 所 以 r= , 所以米堆的体积为 故堆放的米约为 ÷ 1.62 ≈ 22( 斛 ). 4.(2015· 全国卷 Ⅱ) 一个正方体被一个平面截去一部分后 , 剩余部分的三视图如图 , 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 由三视图得 , 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 截去四面体 A-A 1 B 1 D 1 , 如图所示 , 设正方体棱长为 a, 则 故剩余几何体体积为 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . 5.(2015· 全国卷 Ⅱ) 已知 A,B 是球 O 的球面上两点 , ∠AOB=90°,C 为该球面上的动点 , 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为　 ( 　　 ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【 解析 】 选 C. 如图所示 , 当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时 , 三棱锥 O-ABC 的体积最大 , 设球 O 的半径 为 R, 此时 V O-ABC =V C-AOB = 故 R=6, 则球 O 的表面积为 S=4πR 2 =144π. 热点考向一 　空间几何体的三视图与直观图的对应关系 命题解读 : 主要考查利用三视图的画法规则及摆放规则 , 根据空间几何体确定其三视图或根据三视图还原其对应直观图或根据三视图的其中两个确定另一个 , 以选择题、填空题形式出现 . 【 典例 1】 (1)(2016· 长春一模 ) 若某几何体的三视图如图所示 , 则这个几何体的直观图可以是　 ( 　　 ) (2)(2016· 郑州一模 ) 如图所示 , 四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点 ( 长方体是虚拟图形 , 起辅助作用 ), 则四面体 ABCD 的三视图是 ( 用①②③④⑤⑥代表图形 ) 　 ( 　　 ) A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤ (3)(2016· 石家庄二模 )“ 牟合方盖”是 我国古代数学家刘徽在研究球的体积的 过程中构造的一个和谐优美的几何体 . 它由完全相同的四个曲面构成 , 相对的两个曲面在同一 个圆柱的侧面上 , 好似两个扣合 ( 牟合 ) 在一起的方形伞 ( 方盖 ). 其直观图如图 , 图中四边形是为体现其直观性 所作的辅助线 . 当其主视图和侧视图完全相同时 , 它的俯视图可能是　 ( 　　 ) 【 解题导引 】 (1) 由选项中的直观图逐个验证其三视图是否符合已知三视图 . (2) 根据三视图的定义、画法规则、摆放规则判断 . (3) 根据几何体形状及轮廓线的虚、实情况判断 . 【 规范解答 】 (1) 选 B. 由已知三视图知 , 选项 A,C 中所给几何体的正 ( 主 ) 视图、俯视图不符合要求 , 选项 D 中所给几何体的侧 ( 左 ) 视图不符合要求 , 而 B 中的几何体均符合 . (2) 选 B. 正 ( 主 ) 视图应该是相邻两边长为 3 和 4 的矩形 , 其对角线左下到右上是实线 , 左上到右下是虚线 , 因此正 ( 主 ) 视图是① ; 侧 ( 左 ) 视图应该是相邻两边长为 5 和 4 的矩形 , 其对角线左上到右下是实线 , 左下到右上是虚线 , 因此侧 ( 左 ) 视图是② ; 俯视图应该是相邻两边长为 3 和 5 的矩形 , 其对角线左上到右下是实线 , 左下到右上是虚线 , 因此俯视图是③ . (3) 选 B. 由直观图可知俯视图应为正方形 , 排除 A,C, 又上半部分相邻两曲面的交线看得见 , 在俯视图中应为实线 . 【 规律方法 】 1. 由直观图确认三视图的方法 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认 . 2. 由三视图还原到直观图的思路 (1) 根据俯视图确定几何体的底面 . (2) 根据正 ( 主 ) 视图或侧 ( 左 ) 视图确定几何体的侧棱与侧面的特征 , 调整实线和虚线所对应的棱、面的位置 . (3) 确定几何体的直观图形状 . 【 题组过关 】 1.(2016· 太原一模 ) 已知一个三棱锥的三视图如图所示 , 其中三个视图都是直角三角形 , 则在该三棱锥的四个面中 , 直角三角形的个数为　 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 D. 由题意可知 , 几何体是三棱锥 , 其放置在长方体中形状如图中三棱锥 A-BCD, 利用长方体模型可知 , 此三棱锥的四个面 , 全部是直角三角形 . 2.(2016· 兰州一模 ) 如图 , 正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 6cm, 侧棱长为 5cm, 则它的侧 ( 左 ) 视图的周长等于 　 ( 　　 ) A.17cm B.( +5)cm C.16cm D.14cm 【 解析 】 选 D. 由题意可知 , 侧 ( 左 ) 视图是一个三角形 , 底边长等于正四棱锥底面正方形的边长 , 高为正四棱锥 的高的一个等腰三角形 . 因为侧棱长 5cm, 所以斜高为 h= =4(cm), 又正四棱锥底面正方形的边长为 6cm, 所以侧 ( 左 ) 视图的周长为 6+4+4=14(cm). 3. 如图 , 正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点 ,Q 为 CC 1 的中点 , 则四面体 A 1 PQD 的正 ( 主 ) 视图 , 侧 ( 左 ) 视图和俯视图的面积之和为 ________. 【 解析 】 由图易知四面体 A 1 PQD 的正 ( 主 ) 视图为直角梯 形 , 如图 1 所示 , 其面积为 四面体 A 1 PQD 的侧 ( 左 ) 视图为四边形 , 如图 2 所示 , 其面 积为 四面体 A 1 PQD 的俯视图为直角 梯形 , 如图 3 所示 , 其面积为 故四面体 A 1 PQD 的正 ( 主 ) 视图、侧 ( 左 ) 视图和俯视图的 面积之和为 答案 : 2 【 加固训练 】 1. 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥 , 则不是该三棱锥的三视图的是　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 三棱锥的三视图均为三角形 , 四个选项均 满足 ; 且四个三视图均表示一个高为 3, 底面为两直角边 分别为 1,2 的棱锥 ;A 与 C 中俯视图正好旋转 180°, 故应是 从相反方向进行观察 , 而其正 ( 主 ) 视图和侧 ( 左 ) 视图中三 角形斜边倾斜方向相反 , 满足实际情况 , 故 A,C 表示同一 棱锥 ; 设 A 中观察的正方向为标准正方向 , 所以 C 表示从后面观察该棱锥 ;B 与 D 中俯视图正好旋转 180°, 故应是从相反方向进行观察 , 但侧 ( 左 ) 视图中三角形斜边倾斜方向相同 , 不满足实际情况 , 故 B,D 中有一个不与其他三个一样表示同一个棱锥 , 根据 B 中正 ( 主 ) 视图与 A 中侧 ( 左 ) 视图相同 , 侧 ( 左 ) 视图与 C 中正 ( 主 ) 视图相同 , 可判断 B 是从左边观察该棱锥 . 2.(2016· 石家庄二模 ) 如图所示是一个物体的三视图 , 则此三视图所描述物体的直观图是　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 先观察俯视图 , 由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确 , 由正 ( 主 ) 视图和侧 ( 左 ) 视图可知选项 D 正确 . 3.(2014· 全国卷 Ⅰ) 如图 , 网格纸的各小格都是正方形 , 粗实线画出的是一个几何体的三视图 , 则这个几何体是　 ( 　　 ) A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱锥 D. 四棱柱 【 解析 】 选 B. 由题知 , 该几何体的三视图为一个三角形 , 两个四边形 , 经分析可知该几何体为三棱柱 , 如图所示 . 4. 一个三棱锥的正 ( 主 ) 视图和俯视图如图所示 , 则该三棱锥的侧 ( 左 ) 视图可能为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 分析三视图可知 , 该几何体为如图所示的三棱锥 , 其中平面 ACD ⊥ 平面 BCD, 故其侧 ( 左 ) 视图应为 D. 热点考向二 　空间几何体表面积与体积的计算 命题解读 : 主要考查空间几何体的结构特征、表面积与体积公式 , 三种题型都有可能出现 , 如果出现在解答题中常与线面的平行、垂直关系交汇考查 . 命题角度一 : 根据三视图计算其空间几何体的表面积 与体积 【 典例 2】 (1)(2016· 南昌一模 ) 如图网格纸 上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某几 何体的三视图 , 则这个几何体的体积为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2016· 浙江高考 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位 :cm), 则该几何体的表面积是 ________cm 2 , 体积是 ________cm 3 . 【 解题导引 】 (1) 利用三视图判断几何体的形状 , 然后通过三视图的数据求解几何体的体积 . (2) 先由三视图还原几何体再进行求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 该几何体的直观图如图 , 则该几 何体的体积 V= (2) 由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个 小正方体 ,S 表 =6×2 2 +2×4 2 +4×2×4- 2×2 2 =80(cm 2 ),V=2 3 +4×4×2=40(cm 3 ). 答案 : 80 　 40 命题角度二 : 根据空间几何体的结构特征计算其表面 积、体积 【 典例 3】 (1)(2016· 武汉二模 ) 已知圆锥的底面直径 为 , 且它的侧面展开图是一个半圆 , 则圆锥的表面 积为　 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2016· 长沙一模 ) 如图 , 在斜三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 侧面 ACC 1 A 1 与侧面 CBB 1 C 1 都是菱形 ,∠ACC 1 =∠CC 1 B 1 = 60°,AC=2. ① 求证 :AB 1 ⊥CC 1 ; ② 若 AB 1 = , 求四棱锥 A-BB 1 C 1 C 的体积 . 【 解题导引 】 (1) 通过圆锥的底面直径为 , 且它的 侧面展开图是一个半圆 , 求出圆锥的底面半径、母线 , 即可求出圆锥的表面积 . 【 题目拆解 】 (2) 解答本题②问 , 可拆解成三个小题 . (ⅰ) 找过点 A 与底面 BB 1 C 1 C 相交且垂直的直线并证明 ; (ⅱ) 求 的值 ; (ⅲ) 求四棱锥 A-BB 1 C 1 C 的体积 . 【 规范解答 】 (1) 选 A. 圆锥的底面直径为 , 且它的 侧面展开图是一个半圆 , 所以圆锥的底面半径为 , 周长为 , 圆锥的母 线长为 , 所以圆锥的表面积为 (2)① 连接 AC 1 ,CB 1 , 则△ ACC 1 和△ B 1 CC 1 皆为正三角形 . 取 CC 1 中点 O, 连接 OA,OB 1 , 则 CC 1 ⊥OA,CC 1 ⊥OB 1 , 又 AO∩B 1 O=O, 所以 CC 1 ⊥ 平面 OAB 1 , 所以 CC 1 ⊥AB 1 . ② 由①知 ,OA=OB 1 = , 又 AB 1 = . 所以 OA 2 +B 1 O 2 = , 所以 OA⊥OB 1 . 又 OA⊥CC 1 ,OB 1 ∩CC 1 =O, 所以 OA⊥ 平面 BB 1 C 1 C. 故 【 母题变式 】 1. 在本题 (2)② 的条件下 , 若 A 1 B 1 = , 求斜三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的表面积 . 【 解析 】 在△ ABC 中 ,AB=A 1 B 1 = ,AC=BC=2, cos∠ACB = 所以 sin∠ACB = 所以 S △ABC = 而 又 有 所以 AB 1 ⊥AA 1 , 所以 因此该三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的表面积为 : 2. 在本题 (2)② 的条件下 , 求三棱锥 B-A 1 B 1 C 1 的体积 . 【 解析 】 由 (2) ② 解析知 OA ⊥ 平面 BB 1 C 1 C, 又 AA 1 ∥ 平面 BB 1 C 1 C, 所以点 A 1 到平面 BB 1 C 1 C 的距离 h 等于 点 A 到平面 BB 1 C 1 C 的距离 OA, 即 h=OA= , 又 所以 3. 在本题 (2)② 的条件下 , 求点 C 到平面 AB 1 C 1 的距离 . 【 解析 】 由题 (2) ② 知 OA ⊥ 平面 CB 1 C 1 , 所以 在△ AB 1 C 1 中 ,AB 1 = ,AC 1 =2,B 1 C 1 =2. cos∠AC 1 B 1 = 所以 sin∠AC 1 B 1 = 故 设点 C 到平面 AB 1 C 1 的距离为 d, 则由 得 点 C 到平面 AB 1 C 1 的距离为 【 规律方法 】 1. 求解几何体的表面积及体积的技巧 (1) 求三棱锥的体积 : 等体积转化是常用的方法 , 转化原则是其高易求 , 底面放在已知几何体的某一面上 . (2) 求不规则几何体的体积 : 常用分割或补形的思想 , 将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 . (3) 求表面积 : 其关键思想是空间问题平面化 . 2. 根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 (1) 根据给出的三视图还原该几何体的直观图 . (2) 由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量 . (3) 套用相应的面积公式与体积公式计算求解 . 【 题组过关 】 1.(2016· 昆明一模 ) 如图是底面半径为 1, 高为 2 的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图 , 则被削掉的那部分的体积为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由三视图可知 , 剩下部分的几何体由半个 圆锥和一个三棱锥组成 , 其体积 所以被削掉的那部分的体积为 2.(2016· 衡水一模 ) 如图 , 斜三棱柱 ABC-A′B′C′ 中 , 底面是边长为 a 的正三角形 , 侧棱长为 b, 侧棱 AA′ 与底面相邻两边 AB,AC 都成 45° 角 . (1) 求此斜三棱柱的表面积 . (2) 求三棱锥 A-B′BC 的体积 . 【 解析 】 (1) 如图 , 过 A ′ 作 A ′ D ⊥ 平面 ABC 于点 D, 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F. 连接 A′E,A′F,AD, 可得 A′F⊥AC,A′E⊥AB. 由题意可知∠ A′AE=∠A′AF=45°,AA′=AA′, 于是 Rt△A′AE≌Rt△A′AF . 因此 A′E=A′F, 从而可得 DE=DF. 故 AD 平分∠ BAC. 又因为 AB=AC, 所以 BC⊥AD. 故 BC⊥AA′. 因为 AA′∥BB′, 所以 BC⊥BB′. 因此四边形 BCC′B′ 是矩形 , 故斜三棱柱的侧面积为 2×a×bsin45°+ab=( +1)ab. 又因为斜三棱柱的底面积为 所以斜三棱柱的表面积为 (2) 由 (1) 得 所以 V A-B′BC =V B′-ABC = 【 加固训练 】 1.(2015· 湖南高考 ) 某工件的三视图如图所示 . 现将该工件通过切割 , 加工成一个体积尽可能大的长方体新工件 , 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内 , 则原工件材料的利用率为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 分析题意可知 , 问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值 , 设长方体的长 , 宽 , 高分别为 a,b,h , 长方体上底面截圆锥的截面半径为 x, 对角面截面图如图所示 , 则有 所以长方体的体积为 当且仅当 x=2-2x 即 x= 时 , 等号成立 , 所以利用率为 2.(2016· 长春一模 ) 如图 , 已知 AF⊥ 平面 ABCD, 四边形 ABEF 为矩形 , 四边形 ABCD 为直角梯形 ,∠DAB=90°, AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4. (1) 求证 :AC⊥ 平面 BCE. (2) 求三棱锥 E-BCF 的体积 . 【 解析 】 (1) 过 C 作 CM ⊥ AB, 垂足为点 M, 因为 AD⊥DC,∠DAB=90°, 所以四边形 ADCM 为矩形 , 所以 AM=MB=2. 因为 AD=2,AB=4, 所以 AC=2 ,CM=2,BC=2 , 所以 AB 2 =AC 2 +BC 2 , 即 AC⊥BC, 因为 AF⊥ 平面 ABCD,AF∥BE, 所以 EB⊥ 平面 ABCD, 因为 AC⊂ 平面 ABCD, 所以 AC⊥EB, 因为 EB∩BC=B, 所以 AC⊥ 平面 BCE. (2) 因为 AF⊥ 平面 ABCD, 所以 AF⊥CM, 因为 CM⊥AB,AB∩AF=A, 所以 CM⊥ 平面 ABEF,V E-BCF =V C-BEF = 热点考向三 　与球有关的组合体的计算问题 命题解读 : 主要考查多面体、旋转体与球接、切构成的简单组合体中球半径有关的计算问题 , 常以选择题、填空题形式出现 . 【 典例 4】 (1)(2016· 全国卷 Ⅰ) 如图 , 某几何体的三视 图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半 径 . 若该几何体的体积是 , 则它的表面积是　 ( 　　 ) A.17π B.18π C.20π D.28π (2) 若球与棱长均为 3 的三棱锥各条棱都相切 , 则该球的表面积为 ________. 【 解题导引 】 (1) 根据三视图还原为空间几何体 , 利用该几何体的体积公式构建以该几何体关键量为之的方程并求解 , 再利用其表面积公式求解 . (2) 将三棱锥放入正方体 , 可得正方体的内切球恰好是 与三棱锥各条棱都相切的球 , 根据三棱锥棱长算出正方 体的棱长为 , 由此算出内切球半径 , 用公式即可得到 该球的表面积 . 【 规范解答 】 (1) 选 A. 该几何体是一个球体挖掉 剩下 的部分 , 如图所示 , 依题意得 解得 R=2, 所以该几何体的表面积为 4π×2 2 × ×2 2 =17π. (2) 将棱长均为 3 的三棱锥放入正方体 , 如图 , 因为球与三棱锥各条棱都相切 , 所以该球是正方体的内切球 , 切正方体的各个面于中心 , 而这此切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点 , 由此可得 正方体的棱长为 , 即该球的直径为 , 半径 r= , 所以该球的表面积为 S=4πr 2 = π. 答案 : π 【 母题变式 】 1. 若把本例题 (2) 条件“与棱长均为 3 的三棱锥各条棱都相切”变为“与棱长均为 3 的三棱锥各面都相切” , 则结果如何 ? 【 解析 】 设该球的球心为 O, 三棱锥为 A-BCD, 依题意可 知 :V A-BCD =V O-ABC +V O-BCD +V O-CDA +V O-DAB , 即 S △BCD ·h= S △ABC ·r+ S △BCD ·r+ S △CDA ·r+ S △DAB ·r. 所以 解得 :r= 所以该球的表面积为 2. 在本例题 (2) 中的条件不变 , 求该球体内接正方体的体积 ? 【 解析 】 将棱长均为 3 的三棱锥放入正方体 , 如图 , 因为球与三棱锥各条棱都相切 , 所以该球是正方体的内切球 , 切正方体的各个面于中心 , 而这些切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点 , 由此可得 该球的直径为 , 半径 r= . 设内接正方体的棱 长为 a, 则该内接正方体的体对角线为 a=2r= . 解得 a= , 所以该球的内接正方体的体积为 【 规律方法 】 多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略 (1) 过球心及多面体中的特殊点 ( 一般为接、切点 ) 或线作截面 , 把空间问题转化为平面问题 . (2) 利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系 , 或只画内切、外接的几何体的直观图 , 确定球心的位置 , 弄清球的半径 ( 直径 ) 与该几何体已知量的关系 , 列方程 ( 组 ) 求解 . (3) 若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直 , 且 PA= a,PB = b,PC =c, 一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体 , 用 4R 2 =a 2 +b 2 +c 2 求解 . 【 题组过关 】 1.(2016· 郑州一模 ) 三棱锥 P-ABC 中 ,AB=BC= , AC=6,PC⊥ 平面 ABC,PC=2, 则该三棱锥的外接球表面积 为 ( 　　 ) B. C. D. 【 解析 】 选 D. 由题可知 , △ ABC 中 AC 边上的高为 球心 O 在底面 ABC 的投影即为△ ABC 的外心 D, 设 DA=DB=DC=x, 所以 x 2 =3 2 +( -x) 2 , 解得 x= , 所 以 R 2 =x 2 + ( 其中 R 为三棱锥外接球的半 径 ), 所以外接球的表面积 S=4πR 2 = π. 2.(2016· 唐山二模 ) 如图所示 , 用一边长为 的正方形硬纸 , 按各边中点垂直折起四 个小三角形 , 做成一个蛋巢 , 将表面积为 4π 的鸡蛋 ( 视 为球体 ) 放入其中 , 蛋巢形状保持不变 , 则鸡蛋中心 ( 球心 ) 与蛋巢底面的距离为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 蛋巢的底面是边长为 1 的正方形 , 所以过 四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为 1. 因为鸡蛋的 表面积为 4 π , 所以球的半径为 1, 所以球心到截面的距 离 d= 而截面到底面的距离即为三角形的高 为 , 所以球心到底面的距离为 3.(2016· 南昌二模 ) 已知两个圆锥有公共底面 , 且两圆 锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上 . 若圆锥底面 面积是这个球表面积的 , 则这两个圆锥中 , 体积较 小者的高与体积较大者的高的比值为 ________. 【 解析 】 设球心为 O 1 , 球半径为 r 1 , 圆锥底面圆圆心为 O 2 , 半径为 r 2 , 则有 即 所以 O 1 O 2 = 设两个圆锥中 , 体积较小者的高与体积较大者的高分别 为 h 1 ,h 2 , 则 答案 : 【 加固训练 】 1.(2016· 襄阳一模 ) 四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上 ,AB⊥ 平面 BCD,△BCD 是边长为 3 的等边三角形 . 若 AB=2, 则球 O 的表面积为　 ( 　　 ) A.4π 　　　 B.12π 　　　 C.16π 　　　 D.32π 【 解析 】 选 C. 取 CD 的中点 E, 连接 AE,BE, 因为在四面体 ABCD 中 ,AB⊥ 平面 BCD, △BCD 是边长为 3 的等边三角形 . 所以 Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD 是等腰三角形 ,△BCD 的中心 为 G, 作 OG∥AB 交 AB 的中垂线 HO 于点 O, 则 O 为外接球的中 心 , 设球的半径为 R, 则 R=2. 故四面体 ABCD 外接球的表面积为 4πR 2 =16π. 2.(2016· 汕头二模 ) 某几何体的三视图如图所示 , 则该 几何体外接球的表面积为　 ( 　　 ) C.4π D.16π 【 解析 】 选 D. 由三视图知 : 几何体为圆锥 , 圆锥的高为 1, 底面半径为 , 设外接球的半径为 R, 则 (R-1) 2 +3= R 2 ⇒ R=2. 所以外接球的表面积 S=4 π× 2 2 =16 π . 3.(2016· 昆明二模 ) 已知 E,F 分别是矩形 ABCD 的边 BC 与 AD 的中点 , 且 BC=2AB=2, 现沿 EF 将平面 ABEF 折起 , 使平面 ABEF⊥ 平面 EFDC, 则三棱锥 A-FEC 外接球的体积为 ( 　　 ) A. B. C. D. 【 解析 】 选 B. 由题意 , 三棱锥 A-FEC 外接球是正方体 AC 的外接球 , 所以三棱锥 A-FEC 外接球的半径是 , 所以 三棱锥 A-FEC 外接球的体积为