数学卷·2019届江苏省扬州中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学卷·2019届江苏省扬州中学高二上学期期末考试（2018-01）

扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题 高 二 数 学 ‎2018．1‎ ‎（满分160分，考试时间120分钟）‎ 注意事项：‎ 1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．‎ ‎2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）‎ ‎1．命题“R，”的否定是 ▲ ． ‎ ‎2．直线在轴上的截距为 ▲ ． ‎ ‎3．抛物线的焦点坐标为 ▲ ． ‎ ‎4．曲线在处的切线方程为 ▲ ． ‎ ‎5．在边长为2的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于1的概率为 ▲ ．‎ ‎6．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么= ▲ ．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ▲ ． ‎ 开始 输出s 结束 N Y ‎8．已知函数的定义域为，集合，若是 的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ▲ ． ‎ ‎9． 已知椭圆上的点到右焦点的距离为2，则点到左准线的距离为 ▲ ．‎ ‎10．已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为 ▲ ．‎ ‎11．已知函数的定义域为R，是的导函数，且，，则不等式的解集为 ▲ ． ‎ ‎12．已知，，动点满足．设点到点的距离为，则的取值范围为 ▲ ． ‎ ‎13．斜率为直线经过椭圆的左顶点，且与椭圆交于另一个点，若在 轴上存在点使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率 为 ▲ ．‎ ‎14． 已知函数在的值域为，则实数的最小值为 ▲ ．‎ 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 已知命题：“椭圆的焦点在轴上”；命题：“关于的不等式在R上恒成立”．‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2） 若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 为了让学生更多地了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”‎ 的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：‎ 序号 分数段 人数 频率 ‎1‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎2‎ ‎①‎ ‎0.44‎ ‎3‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 合计 ‎50‎ ‎1‎ ‎（1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；‎ ‎（2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩；‎ ‎（3）甲同学的初赛成绩在，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在的4位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 已知圆的半径为3，圆心在轴正半轴上，直线圆相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与圆交于不同的两点且，求的值．‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．‎ ‎（1）当时，求比值取最小值时的值；‎ ‎（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 已知椭圆的右准线方程为，又离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，点为椭圆上异于任意一点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．‎ ‎ ‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知：函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数，讨论的单调性；‎ ‎（3）若函数的图象与轴交于两点，且．设，其中常数、满足条件，且．试判断在点处的切线斜率的正负，并说明理由．‎ 扬州市2017—2018学年度第一学期期末检测试题 ‎ 高 二 数 学 参 考 答 案 2018．1‎ ‎1．R， 2． 3． 4． 5． 6．45 7． ‎ ‎ 8． 9．4 10． 11． 12． 13． 14．‎ ‎15．解：（1）真：椭圆的焦点在轴上 ∴ …………5分 ‎（2）∵“或”为真命题、“且”为假命题 ∴真假或假真………………7分 真：∵关于的不等式在R上恒成立 ‎∴，解得： ……………………11分 ‎∴或 解得：或 ‎∴实数a的取值范围是或． ……………………14分 ‎16．解：（1）①22；②14；③0.28； ……………………3分 ‎ ‎（2）； ……………………8分 ‎（3）记“甲同学被抽取到”为事件，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为：‎ 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件的基本事件：甲乙、‎ 甲丙、甲丁，共3个基本事件，则 ……………………13分 答：此次数学史初赛的平均成绩为，甲同学被抽取到的概率为．……………………14分 ‎17．解：（1）设，∵直线圆相切，且圆的半径为3 ‎ ‎∴，解得或 ∵ ∴ ……………………5分 ‎∴圆的方程为：； ……………………7分 ‎（2）若直线的斜率不存在，则直线∴，不符合题意，舍；‎ 若直线的斜率存在，设：‎ ‎∵ ∴点到直线的距离为，即，‎ 化简得： ∴ ……………………9分 联立方程：，消去得：∴ ……14分 ‎18．解：（1）当时，，∴……………………3分 列表得：‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎…………………6分 ‎∴在上单调减，在上单调增 ∴在时取最小值；……………………8分 ‎（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增 ‎∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：‎ 答：实数的取值范围为． ……………………16分 ‎19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为 ∴ ∵离心率为 ∴‎ ‎∴ ∴ ∴椭圆的方程为：； ………………6分 ‎（2）方法（一）设点 ，则，，即． ‎ 当时，，则， ∴………………8分 ‎∵点异于点 ∴ ‎ 当且时，设直线方程为：，它与轴交于点 直线方程为：，它与轴交于点 ‎ ‎∴，…………12分 ‎ ∴‎ 为定值． ……………………16分 方法（二）若直线斜率不存在，则直线方程为：，此时，则， ‎ ‎∴ ………………8分 若直线斜率存在，设直线方程为：，且 ‎ ‎∴且 ………………10分 则联立方程：，消去得：，解得： 或 ‎，‎ 即点 ∵点异于点∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线的方程为：，‎ 则且 ………………14分 ‎∴为定值． ………………16分 ‎20．解：（1）当时， ∴，令，则，列表得：‎ ‎1‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴有极小值，无极大值； ……………………3分 ‎（2），∴，设 ‎①当时，恒成立，即恒成立，∴在上单调减；‎ ‎②当且，即时，恒成立，且不恒为0，则恒成立，且不恒为0，∴在上单调减；‎ ‎③当且，即时，‎ 有两个实数根：，且 ‎∴ ∴当或时，，；当时，，；‎ ‎∴在和上单调减，在上单调增．‎ ‎∴综上：当时，在上单调减；当时，在和上单调减，在上单调增． ……………………7分 ‎（3），，问题即为判断的符号． ‎ ‎∵函数的图象与轴交于两点，且 ‎∴ 两式相减得：‎ ‎∴ ……………………9分 ‎∴‎ ‎∵且 ∴ ∵ ∴………………11分 研究：的符号，即判断的符号．‎ 令，，设 ‎∴‎ 方法（一）设，其对称轴为：‎ ‎∴在上单调减，则，即在上恒成立 ∴在上单调增 ∴，即 ……………14分 ‎∵ ∴‎ ‎∴，即 ‎∴在点处的切线斜率为正． ……………………16分 方法（二）‎ ‎∵， ∴ ∴在上恒成立 ‎ ‎∴在上单调增 ∴，即 ……………14分 ‎∵ ∴‎ ‎∴，即 ‎∴在点处的切线斜率为正． ……………………16分