新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二上学期月考数学(文)试题

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文档介绍

新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二上学期月考数学(文)试题

数学试卷(文科)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知,则下列推理中正确的是 (   )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:对于A,当时不成立;对于B,当时不成立;对于D,当均为负值时,不成立,对于C,因为在上单调递增,由,又因为,所以即,正确;综上可知,选C.‎ 考点:不等式的性质.‎ ‎2.“x<﹣‎1”‎是“x2﹣1>‎0”‎的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由x<﹣1,知x2﹣1>0,由x2﹣1>0知x<﹣1或x>1.由此知“x<﹣‎1”‎是“x2﹣1>‎0”‎的充分而不必要条件.‎ 解:∵“x<﹣‎1”‎⇒“x2﹣1>‎0”‎,‎ ‎“x2﹣1>‎0”‎⇒“x<﹣1或x>‎1”‎.‎ ‎∴“x<﹣‎1”‎是“x2﹣1>‎0”‎的充分而不必要条件.‎ 故选A.‎ 点评:本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用,解题时要注意基本不等式的合理运用.‎ ‎3.椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:将其方程变为标准方程为,根据题意可得,,且,解得,故A正确.‎ 考点:椭圆的方程及基本性质 ‎4.下列命题中,真命题是( )‎ A. B. ‎ C. 的充要条件是 D. 是的充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ A:根据指数函数的性质可知 恒成立,所以A错误. B:当 时, ,所以B错误. C:若 时,满足 ,但 不成立,所以C错误.‎ D: 则 ,由充分必要条件的定义,,是 的充分条件,则D正确. 故选D.‎ ‎5.若不等式对任意实数均成立,则实数的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论,结合不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对任意实数x均成立,利用函数的图象,建立不等式,即可求出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】a=2时,不等式可化为﹣4<0对任意实数x均成立;‎ a≠2时,不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0对任意实数x均成立,等价于,‎ ‎∴﹣2<a<2.‎ 综上知,实数a的取值范围是(﹣2,2].‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查恒成立问题,考查解不等式,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎6.已知变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,作直线3x-y=0,并向上、下平移,由图可得,当直线过点A时,z=3x-y取最大值;当直线过点B时,z=3x-y取最小值.‎ 由,解得A(2,0);‎ 由,解得B(,3).‎ ‎∴zmax=3×2-0=6,zmin=3×-3=-.‎ ‎∴z=3x-y的取值范围是[-,6].‎ ‎7.已知,,,则的最小值为( )‎ A. 6 B. ‎12 ‎C. 18 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由展开后利用基本不等式求得最小值。‎ ‎【详解】∵,,,‎ ‎∴,当且仅当,即时等号成立,∴的最小值是18。‎ 故选:C。‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值,解题方法是“‎1”‎的代换,主要是配凑出基本不等式中的“定值”,注意要得到最值,还要满足“相等”的条件,否则等号取不到。‎ ‎8.椭圆的一条弦被点平分,则此弦所在的直线方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过A点的直线与椭圆两交点的坐标,分别代入椭圆方程,得到两个关系式,分别记作①和②,①﹣②后化简得到一个关系式,然后根据A为弦EF的中点,由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和,表示出直线EF方程的斜率,把化简得到的关系式变形,将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值,然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可.‎ ‎【详解】设过点A的直线与椭圆相交于两点,E(x1,y1),F(x2,y2),‎ 则有①,②,‎ ‎①﹣②式可得: ‎ 又点A为弦EF的中点,且A(4,2),∴x1+x2=8,y1+y2=4,‎ ‎∴(x1﹣x2)﹣(y1﹣y2)=0‎ 即得kEF=‎ ‎∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣(x﹣4),即x+2y﹣8=0.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略,关键在于对“设而不求法”的掌握.解决直线与椭圆的位置关系,常见方法有:涉及直线与圆锥曲线相交时,未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程,要特别注意直线斜率是否存在的问题,避免不分类讨论造成遗漏,然后要联立方程组,得一元二次方程,利用根与系数关系写出,再根据具体问题应用上式,其中要注意判别式条件的约束作用.‎ ‎9.若为不等式组表示的平面区域,则从-2连续变化到1时,动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先由不等式组画出其表示的平面区域,再确定动直线x+y=a的变化范围,最后由三角形面积公式解之即可.‎ 解答:解:如图,不等式组表示平面区域是△AOB,‎ 动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.‎ 知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1等腰直角三角形,‎ 所以区域的面积S阴影=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=‎ 故选D.‎ ‎10.设、是满足的正数,则的最大值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式求得的最大值,然后利用对数的运算性质可求得的最大值.‎ ‎【详解】、均为正数,且,由基本不等式可得,‎ 所以,,当且仅当,时,等号成立,‎ 所以,,即的最大值是.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎11.双曲线的方程为:,该双曲线的虚轴长为4,离心率,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与的等差中项,则等于( )‎ A. B. C. D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析:双曲线的方程为,利用双曲线的定义可以得到,,由等差中项的定义可得;因此,最后求出.‎ ‎【详解】因为,所以 ,‎ 又,故,‎ 所以,‎ 由双曲线的定义可知:,‎ 因为是与的等差中项,‎ 所以,‎ 故,‎ 即,‎ 故选A.‎ 点睛:一般地,圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.‎ ‎12.从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且是坐标原点,则该椭圆的离心率是  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意,可求得点P的坐标,由,从而可得答案.‎ 详解】依题意,设,‎ 则,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,,,‎ ‎,即,‎ ‎.‎ 设该椭圆的离心率为e,则,‎ 椭圆的离心率.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质,求得点P的坐标是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13.不等式的解为 .‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析:,∴不等式的解集是.‎ 考点:解不等式.‎ ‎14.命题“,使得”的否定是 ‎【答案】,都有 ‎【解析】‎ 试题分析:由命题的否定,可得“,都有”‎ 考点:命题的否定 ‎15.直线与双曲线相交于、两点,______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点、,将直线的方程与双曲线的方程联立,列出韦达定理,然后利用弦长公式可求得.‎ ‎【详解】设点、,‎ 联立,消去并整理得,‎ 由韦达定理得,,‎ 由弦长公式得.‎ 故答案:.‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线相交所得弦长的计算,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎16.已知双曲线中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于,两点,中点横坐标为,则此双曲线的方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的标准方程为,利用点差法可求得的值,再结合焦点的坐标可求得和的值,由此可得出双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】设点、,‎ 由题意可得,,,‎ 直线的斜率为,‎ 则,两式相减得,‎ 所以,‎ 由于双曲线的一个焦点为,则,,,‎ 因此,该双曲线的标准方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程求解,涉及点差法的应用,考查计算能力,属于中等题.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.根据下列条件,求椭圆的标准方程.‎ ‎(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10;‎ ‎(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由焦点坐标确定以及焦点的位置,再由椭圆的定义得出,即可得出椭圆方程;‎ ‎(2)由焦点坐标确定以及焦点的位置,再由椭圆的定义以及两点间距离公式求出,即可得出椭圆方程.‎ ‎【详解】(1)由椭圆的焦点坐标可知,,且焦点在轴上 由椭圆的定义得,‎ 则 ‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎(2)由椭圆的焦点坐标可知,,并且焦点在轴上 ‎,‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及基本性质,属于中档题.‎ ‎18.(1)已知,求的最小值;‎ ‎(2)已知,求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将函数解析式变形为,然后利用基本不等式可求得该函数的最小值;‎ ‎(2)将函数解析式变形为,然后利用基本不等式可求得该函数的最大值.‎ ‎【详解】(1),,而,‎ 当且仅当,即当时,该函数取得最小值;‎ ‎(2),,则,‎ 当且仅当时,即当时,该函数取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,解答的关键就是对函数解析式变形,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎19.已知双曲线与椭圆共焦点,且以为渐近线,求双曲线方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的标准方程求得椭圆的焦距,可得出所求双曲线的焦距,并设所求双曲线的标准方程为,根据题意得出关于、的方程组,求得和的值,由此可求得所求双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】椭圆的焦距为,‎ 设双曲线方程为,则,‎ 故所求双曲线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解,解答的关键就是得出关于、的方程组,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎20.命题p:关于x的不等式对一切恒成立; 命题q:函数在上递增,若为真,而为假,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意,可分别求得p真、q真时m的取值范围,再由p∨q为真,而p∧q为假求得实数a的取值范围即可.‎ ‎【详解】命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立;‎ ‎①若命题p正确,则△=(‎2a)2﹣42<0,即﹣2<a<2;‎ ‎②命题q:函数f(x)=logax在(0,+∞)上递增⇒a>1,‎ ‎∵p∨q为真,而p∧q为假,‎ ‎∴p、q一真一假,‎ 当p真q假时,有,‎ ‎∴﹣2<a≤1;‎ 当p假q真时,有,‎ ‎∴a≥2‎ ‎∴综上所述,﹣2<a≤1或a≥2.‎ 即实数a的取值范围为(﹣2,1]∪[2,+∞).‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假,分别求得p真、q真时m的取值范围是关键,考查理解与运算能力,属于中档题.‎ ‎21.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点.点M(3,m)在双曲线上.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)求△F1MF2的面积.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析;(3)6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据设双曲线的方程为,由点在双曲线上,代入,即可得到双曲线的方程;‎ ‎(2)根据题意求出,,根据向量数量积的坐标运算得到以及由点M在双曲线上得到,即可证明;‎ ‎(3)以为底,以点M的纵坐标为高,即可得到△F1MF2的面积.‎ ‎【详解】(1)因为,所以双曲线的实轴、虚轴相等.则可设双曲线方程为.因为双曲线过点,所以16-10=λ,即λ=6.所以双曲线方程为.‎ ‎(2)证明:不妨设F1,F2分别为左、右焦点,则, 所以,因为M点在双曲线上,所以9-m2=6,即m2-3=0,所以.‎ ‎(3)的底.由(2)知.所以的高,所以 ‎【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程以及向量的坐标运算等,属于中档题.‎ ‎22.如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率 ‎,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)直线方程为:椭圆方程为;(2)假若存在这样的值,由.‎ ‎.要使以为直径的圆过点当且仅当时 存在,使得以为直径的圆过点.‎ 试题解析:(1)直线方程为:.‎ 依题意解得 ‎∴ 椭圆方程为 ‎(2)假若存在这样的值,由得.‎ ‎. ①‎ 设,、,,则②‎ 而.‎ 要使以为直径的圆过点,当且仅当时,则,即.‎ ‎. ③‎ 将②式代入③整理解得.经验证,,使①成立.‎ 综上可知,存在,使得以为直径的圆过点.‎ 考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的位置关系.‎
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