【数学】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试（理）试题

【数学】云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试（理）试题

云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年 高二下学期开学考试（理）试题www.ks5u.com 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．已知双曲线，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．展开式中的系数为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，．下列结论正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎6．函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．已知平行四边形中，为坐标原点，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．法国学者贝特朗于年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为的圆内随机地取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案. 现给出其中一种解释：固定弦的一个端点，另一端点在圆周上随机选取，其答案为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图．已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是（ ）‎ A．棱长都为2的四面体 B．棱长都为2的直三棱柱 C．底面直径和高都为2的圆锥 D．底面直径和高都为2的圆柱 ‎11．设点为抛物线：的准线上一点（不同于准线与轴的交点），过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，设，，的斜率分别为，，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．满足，，三个数成等差数列的一组，的值分别为___________．‎ ‎14．若变量，满足则的最小值为___________． ‎ ‎15．已知函数，若对任意实数都有，则的最小值为 ． ‎ ‎16．已知函数．若有两个零点，则实数的取值范围是 ． ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎18．（12分）‎ 某校为了解“准高三”学生的数学成绩情况，从一次模拟考试中随机抽取了25名学生的数学成绩如下：‎ ‎78‎ ‎64‎ ‎88‎ ‎104‎ ‎53‎ ‎82‎ ‎86‎ ‎93‎ ‎90‎ ‎105‎ ‎77‎ ‎92‎ ‎116‎ ‎81‎ ‎60‎ ‎82‎ ‎74‎ ‎105‎ ‎91‎ ‎103‎ ‎78‎ ‎88‎ ‎107‎ ‎82‎ ‎71‎ ‎（1）完成这25名学生的数学成绩的茎叶图；‎ 数学成绩的茎叶图 数学成绩 ‎（2）确定该样本的中位数和众数；‎ ‎（3）规定数学成绩不低于90分为“及格”．从该样本“及格”的学生中任意抽出3名，设抽到成绩在区间的学生人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）‎ 已知等比数列的前项和为 ， ，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎20．（12分）‎ 阳马和鳖臑（biē nào）是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓．如下图所示，取一个长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵． ‎ ‎ ‎ 长方体 堑堵 堑堵 再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（四棱锥），余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥），称为鳖臑．‎ ‎ ‎ 堑堵 阳马 鳖臑 ‎（1）在阳马（四棱锥）中，连接，若，证明：；‎ ‎（2）若，，，求鳖臑（三棱锥）中二面角余弦值的大小．‎ ‎21．（12分）‎ 已知椭圆（），过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点．‎ ‎（1）若为椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若经过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由.‎ ‎22．（12分）‎ 已知函数（）.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，若是的唯一极值点，求.‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B C ‎ C C B B B D A A 二、填空题 ‎13．,（满足即可） 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由正弦定理得：，‎ 所以，即， ………………3分 因为，所以，‎ 又因为，故． ……………………5分 ‎（2）由余弦定理得，，‎ 因为，， 所以有，‎ 解得，或（舍去）. …………8分 所以的面积． …………10分 ‎18．解：（1）数学成绩的茎叶图如下：‎ 数学成绩 ‎5‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎…………………………………………………………4分 ‎（2）样本中位数为86，‎ 众数为82． ……………………………………………………8分 ‎（3）样本中及格人数为10人，其中成绩在区间的有4人，‎ 其余有6人，，1，2，3，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．……………………………………12分 ‎19．解：（1）设数列的公比为，‎ 因为，所以，故，……………………………………………2分 又因为，即，解得，…………………………5分 ‎ 所以． ……………………………………6分 ‎（2）设，由（1）知，……………………………………8分 所以，，故数列为首项为6，公比为4的等比数列，…………………10分 所以，数列的前项和为．…………12分 ‎20．（1）证明：连接,‎ 因为四边形是矩形, ，所以矩形是正方形， ‎ 所以， ………………………………2分 因为平面，平面，‎ 所以， ………………………………3分 因为,平面，平面，‎ 所以平面， ……………………………………5分 因为平面，‎ 所以. ……………………………………6分 ‎（2）如图，鳖臑（三棱锥）中的二面角，‎ 即为堑堵中的二面角，‎ 在堑堵中，以点为坐标原点，为轴，为轴，‎ 为轴建立空间直角坐标系. …………7分 则，，,,.‎ 于是，，‎ 求得平面的一个法向量是，………………………………………9分 于是，，‎ 求得平面的一个法向量是， ……………………………………11分 所以.‎ 所以，鳖臑（三棱锥）中二面角的余弦值是. ………12分 ‎21．解：（1）因为为椭圆的一个焦点，则，得，…………2分 椭圆的标准方程为. ……………4分 ‎（2）因为椭圆的右焦点，‎ 设，，，‎ 当直线为轴时，，，三点共线，四边形不存在，‎ 故可设直线的方程为， ……………6分 由 得，显然，‎ 则， ……………8分 若四边形为平行四边形，则，‎ 即，. …………10分 因为在上，所以，即，‎ 化简，得，，‎ 综上，四边形能为平行四边形，此时，‎ 直线的方程为，即. ………12分 ‎22．解：（1）由题意，‎ 得，定义域为. ‎ ‎，令，得.‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减. ‎ 综上，的单调递增区间为，单调递减区间. ……………………4分 ‎（2）由题意，得，‎ ‎，.‎ 由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：‎ 情形一，对任意的恒成立；‎ 情形二，对任意的恒成立.……………………………6分 设，，且有，.‎ ‎①当时，，则.‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以对任意的恒成立，符合题意.…………………………8分 ‎②当时，，则在上单调递增.‎ 又，，所以存在，使得.‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以，这与题意不符. ……………………………………10分 ‎③当时，设，，则；‎ 令，得.‎ 所以当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增.‎ ⅰ）当时，，由于在上单调递减，‎ 则当时，，在上单调递减；‎ 所以，这与题意不符.‎ ⅱ）当时，，‎ 由的单调性及，知，时，都有.‎ 又在上单调递增，，‎ 则存在，使得，‎ 所以当时，，在上单调递减；‎ 所以，这与题意不符.‎ 综上，得. ……………………………………………12分