2018-2019学年广东省湛江第一中学高二上学期第二次大考数学（理）试题（B卷）解析版

2018-2019学年广东省湛江第一中学高二上学期第二次大考数学（理）试题（B卷）解析版

绝密★启用前 广东省湛江第一中学2018-2019学年高二上学期第二次大考数学（理）试题（B卷）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“且的否定形式是（ ）‎ A． 且 B． 或 C． 且 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据全称命题否定形式得结果.‎ 详解：因为的否定为，所以命题“且的否定形式是,‎ 选D.‎ 点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 的否定为，的否定为.‎ ‎2．若，则是方程表示双曲线的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再利用充要条件的知识得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于方程表示双曲线则，解得或.故 是其充分不必要条件.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查方程是双曲线的条件，考查充要条件的知识，还考查了一元二次不等式的解法.属于基础题.‎ ‎3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有懒女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）‎ A． 30尺 B． 90尺 C． 150尺 D． 180尺 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{an}中，‎ ‎（尺）．‎ 考点：等差数列的前n项和 ‎4．在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ）‎ A． B． ‎ C． 4 D． 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由和点的坐标为得，,所以.根据不等式组和表达式画出可行域及目标直线如下图所示，当直线移动到过点时，取得最大值故本题正确答案为B．‎ 考点：简单线性规划和向量的数量积.‎ ‎5．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的顶点、焦点、以及渐近线，然后利用点到直线的距离公式求得顶点、焦点到渐近线的距离，然后求出它们的比值.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的顶点为，焦点为，渐近线为，故顶点到渐近线的距离为，焦点到渐近线的距离为.两个距离的比值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的几何性质，包括双曲线的顶点、焦点和渐近线，还考查了双曲线的离心率表达式.属于基础题.‎ ‎6．若，则的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数定义域，然后求导，令导数大于零求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为， ，当时，.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的导数，考查一元二次不等式的解法.在求函数导数前，要注意求函数的定义域.属于基础题.‎ ‎7．已知是椭圆上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A． . B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出椭圆两个焦点的坐标，将的坐标和交点坐标代入，将转化为后可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的交点坐标为，故 .由于在椭圆上，故，即，故可转化为，解得的范围为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的几何性质，考查向量的数量积的坐标表示，考查了化归与转化的数学思想方法，还考查了一元二次不等式的解法.给定一个椭圆的标准方程，可以求得它的值，也可以求得焦点的坐标.‎ 对于题目给定向量的数量积为负数，利用数量积的坐标表示，可转化为有关的不等式，借助这个不等式可求解出的取值范围.‎ ‎8．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，结合已知条件，利用函数的导数，判断出函数值的正负，由此求得时，的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，当时，，故函数在上单调递减.由于是奇函数，故为偶函数.所以函数在上单调递增，且，即.根据函数的单调性可知，当或时，，当时，.所以当或时，.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查利用导数求解函数的单调区间以及函数值的正负，还考查了构造函数法.函数为奇函数，则是偶函数，偶函数的图像关于轴对称，且单调性在轴两侧是相反的.形如这样的条件，往往是采用构造函数法，利用导数来研究函数的单调性.‎ ‎9．数列满足，则数列的前60项和为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题目所给数列的递推公式，分成为偶数和为奇数两类，找出数列的规律，然后利用这个规律求数列前项的和.‎ ‎【详解】‎ 当时，，当时，，两式相加得，故 .由得.所以 .故.所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知递推数列求数列前项的和，考查分析与思考问题的能力，还考查了分类讨论的数学思想方法.属于中档题.‎ ‎10．设为抛物线 的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线焦点的坐标，利用点斜式得出直线的方程，利用直线和抛物线相交所得弦长公式求得的长，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，最后利用三角形面积公式求得面积.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的，焦点为，倾斜角为，直线斜率为，根据点斜式有，即.将代入抛物线方程得，即，故.原点到直线的距离为，所以.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得的弦长公式，还考查了点到直线距离公式.属于中档题.‎ ‎11．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，即， ，解得 ， ， ， ，等号成立的条件为 ，解得 ，所有 的最小值是，故选A. ‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列和基本不等式求最值的简单综合，等比数列中任两项间的关系，熟练掌握公式 ‎ ‎ ，基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再 ，构造1来求最值.‎ ‎12．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知： 的极值为，所以，因为，‎ 所以，所以即，所以，即 ‎ 3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.‎ 考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.‎ 视频 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设是数列的前项和，且，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为，两边除以转化为等差数列，先求得的表达式，再利用求得的表达式..‎ ‎【详解】‎ ‎.由 ，两边除以得，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故.即.当时，，不符合上式，故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查利用递推数列求数列的通项公式.题目所给已知条件是，通过将转化为，可将题目所给已知条件配成有关的等差数列的形式，由此求得的表达式，在根据这个常用的关系式，求得的表达式.最后要注意验证时是否符合，不符合的话要写成分段的形式.‎ ‎14．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵函数 ‎∴‎ ‎∵在上是单调减函数 ‎∴在上恒成立，即在上恒成立.‎ 令，则，即 ‎∴‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查利用函数的单调性求参数的范围.利用单调性求参数的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较参数需注意函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法②求解.‎ ‎15．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，‎ 即：a|PF1|=|cPF2|‎ 设点（x0，y0）由焦点半径公式，‎ 得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）‎ 解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a 整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），‎ 故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为：(-1，1)．‎ 考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．‎ 点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围。‎ ‎16．已知为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由已知，即得，由正弦定理，三角形的周长为，，，周长的取值范围为.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中，内角对边的边长分别是，已知.‎ ‎（Ⅰ）若的面积等于，求；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎，所以 ‎（2），‎ ‎18．已知数列的前项和为，=1，，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先证明，可得是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，进而得的通项公式；（2）先求得，再放缩，最后利用“裂项相消法”求和即可.‎ 试题解析：（1）由题设，，.‎ 两式相减得：.‎ 由于，所以.‎ 由题设，，，可得.‎ 故可得是首项为1，公差为4的等差数列，，‎ 是首项为3，公差为4的等差数列，.‎ 所以，.‎ ‎（2），‎ 当时，.‎ ‎∴.‎ 考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、等差数列的前项和公式及“裂项相消法”求和.‎ ‎19．如图三棱柱中，侧面为菱形， ．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）若， ，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）． ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由四边形是菱形可以得到，结合有平面，因此，根据是的中点得到．（2）由题设条件可证明，从而两两相互垂直，设为单位长，则建立如图所示空间直角坐标系，通过计算半平面的法向量的夹角来计算二面角的余弦值．‎ 解析：（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又， ，所以 平面．由于平面，故．又，故 ．‎ ‎（2）因为，且为的中点，所以．又因为，所以，故，从而两两相互垂直， 为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系．‎ 因为，所以为等边三角形，又，则， ． ， ，设是平面的法向量，则，即，所以可取，设是平面的法向量，则，同理可取， ，所以二面角的余弦值为． ‎ ‎20．动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点是上的动点，过点作抛物线：的两条切线，切点分别为，设点到直线的距离为，求的最小值。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）设点，利用将表示为的形式，然后代入抛物线方程，化简后可求得轨迹的方程.（II）设点，利用导数求得切线的方程.对比后可求得直线的方程，再利用点到直线的距离公式求得的表达式，化简后利用基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设点，‎ 则由，得 ‎ 因为点在抛物线上，所以点的轨迹的方程为： ‎ ‎（2）设点，‎ 由，得；所以 故的方程为 ‎ 又点在直线上，所以 又，故，将其代入式 得即 ‎ 同理得： ‎ 因为点均满足方程 所以的方程为即 ‎ 于是，‎ 令，则，‎ 则 ‎ 当且仅当即时取等号所以的最小值为 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用代入法求轨迹方程，考查直线和抛物线位置关系，还考查了点到直线距离公式和利用基本不等式求最小值的方法.属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆 的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，‎ 求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意可得： ，则椭圆方程为．‎ ‎ (2)分类讨论：①当轴时，．‎ ‎②当与轴不垂直时，设处直线的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆的半焦距为，依题意 ‎，所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设，．‎ ‎①当轴时，．‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为．‎ 由已知，得．‎ 把代入椭圆方程，整理得 ，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 当时，，综上所述．‎ 当时，取得最大值，面积也取得最大值．‎ ‎.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先求得函数的定义域. 当时，对函数求导，利用函数的单调区间求得函数的极值.（II）先对函数求导，通分和因式分解后，对分成等类，讨论函数的单调性.（III）由（Ⅱ）知，当时，函数在区间上单调递减，由此求得函数在区间上的最大值和最小值.由此求得的最大值，将原不等式化为左边大于这个最大值来求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为，当时，函数，‎ ‎ ‎ ‎，.‎ 令，则，令，则 所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以函数在处取得极小值，极小值为，无极大值 ‎（Ⅱ）.‎ 当时，，‎ 令，则，令，则 所以函数在上单调递减，在区间上单调递增， ‎ 当时，，‎ 令，得.‎ ‎②当时，则，‎ 令，则，令，则 所以函数在上单调递减，在区间上单调递增， ‎ ‎③当时，，，‎ 函数在定义域单调递减； ‎ ‎④当 令.则；令，则或.‎ 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增 ‎⑤当时，，‎ 令，则，令，则或.‎ 所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增.‎ 综上，当时，函数在上单调递减，在区间上单调递增.‎ 当时，函数在定义域单调递减；‎ 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 当时，在区间上单调递减，在区间单调递增 ‎（III）由（Ⅱ）知，当时，函数在区间上单调递减，‎ 所以当时，，，‎ 问题等价于：对任意的，‎ 恒有成立， ‎ 即，因为，对任意的恒成立 又，‎ 所以，实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和极值，考查利用导数研究不等式恒成立问题.属于难题.‎