数学卷·2018届河北省张家口六中高二上学期期中数学试卷（解析版）

数学卷·2018届河北省张家口六中高二上学期期中数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年河北省张家口六中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共0分）‎ ‎1．把1100（2）化为十进制数，则此数为（　　）‎ A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎2．某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎3．下列命题正确的是（　　）‎ A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件 C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”‎ D．已知命题 p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，x2+x﹣1≥0‎ ‎4．如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（　　）‎ A．720 B．360 C．240 D．120‎ ‎5．已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ t ‎4.8‎ ‎6.7‎ 且回归方程是=0.95x+2.6，则t=（　　）‎ A．4.7 B．4.6 C．4.5 D．4.4‎ ‎7．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有1个黑球与都是红球 B．至少有1个黑球与都是黑球 C．至少有1个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球 ‎8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中（　　）‎ A．3000 B．6000 C．7000 D．8000‎ ‎10．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（　　）‎ A．，m甲＞m乙 B．，m甲＜m乙 C．，m甲＞m乙 D．，m甲＜m乙 ‎11．如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（　　）‎ A． B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣‎ ‎12．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2≥a；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2≤a≤1‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4道小题，）‎ ‎13．书架上有4本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，能取出数学书的概率为　　．‎ ‎14．设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于　　．‎ ‎15．若命题“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎16．若数据组k1，k2，…，k8的平均数为3，方差为3，则2（k1+3），2（k2+3），…，2（k8+3）的平均数为　　，方差为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道小题，第1题0分，第2题0分，第3题0分，第4题0分，第5题0分，第6题0分，共0分）‎ ‎17．（1）求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．‎ ‎（2）求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆的标准方程．‎ ‎18．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；‎ ‎（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？‎ ‎19．设命题p：若实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足 ‎（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎20．在△ABC中，BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差数列，建立适当的直角坐标系，求点A的轨迹方程．‎ ‎21．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：‎ 甲：82 81 79 78 95 88 93 84‎ 乙：92 95 80 75 83 80 90 85‎ ‎（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，并求学生乙成绩的平均数和方差；‎ ‎（2）从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率．‎ ‎22．若两集合A=[0，3]，B=[0，3]，分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记为（m，n），‎ ‎（Ⅰ）若m∈Z，n∈Z，写出所有的（m，n）的取值情况，并求事件“方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求事件“方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省张家口六中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共0分）‎ ‎1．把1100（2）化为十进制数，则此数为（　　）‎ A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎【考点】进位制；整除的定义．‎ ‎【分析】利用“2进制”与“十进制”之间的换算关系即可得出．‎ ‎【解答】解：1100（2）=1×23+1×22+0×21+0×20=12．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】先求出某单位的总人数，可得每个个体被抽到的概率，再求出应抽取老年人的人数．‎ ‎【解答】解：某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，这个单位共有30+90+60=180，‎ 假设用分层抽样的方法从他们中抽取了36个人进行体检，‎ 则每个个体被抽到的概率是=‎ ‎∴应抽取老年人的人数是30×=6，‎ 故选：6．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题正确的是（　　）‎ A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件 C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”‎ D．已知命题 p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，x2+x﹣1≥0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据p∨q，p∧q的真值表可判定选项A；根据充分不必要条件定义可判定选项B；根据命题的否定可知条件不变，否定结论，从而可判定选项C；根据含量词的否定，量词改变，否定结论可判定选项D．‎ ‎【解答】解：选项A，若p∨q为真命题，则p与q有一个为真，但p∧q为不一定为真命题，故不正确；‎ 选项B，“x=5”能得到“x2﹣4x﹣5=0”，“x2﹣4x﹣5=0”不能推出“x=5”，则“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件，故正确；‎ 选项C，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，故不正确；‎ 选项D，已知命题 p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，故不正确．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（　　）‎ A．720 B．360 C．240 D．120‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的k，ρ的值，当有k=4，ρ=360时不满足条件k＜m，输出p的值为360．‎ ‎【解答】解：执行程序框图，有 n=6，m=4‎ k=1，ρ=1‎ 第一次执行循环体，ρ=3‎ 满足条件k＜m，第2次执行循环体，有k=2，ρ=12‎ 满足条件k＜m，第3次执行循环体，有k=3，ρ=60‎ 满足条件k＜m，第4次执行循环体，有k=4，ρ=360‎ 不满足条件k＜m，输出p的值为360．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，从而可得a=2，b=，从而写出椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，‎ 且c=1，e==，‎ 故a=2，b=，‎ 则椭圆的标准方程为，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ t ‎4.8‎ ‎6.7‎ 且回归方程是=0.95x+2.6，则t=（　　）‎ A．4.7 B．4.6 C．4.5 D．4.4‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出t．‎ ‎【解答】解：∵=（0+1+2+3+4）=2， =（2.2+4.3+t+4.8+6.7）=‎ 代入回归方程=0.95x+2.6，得t=4.5，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有1个黑球与都是红球 B．至少有1个黑球与都是黑球 C．至少有1个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】A是对立事件；B和不是互斥事件；D是互斥但不对立事件．‎ ‎【解答】解：从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，‎ 在A中：至少有1个黑球与都是红球，不能同时发生，也不能同时不发生，故A是对立事件；‎ 在B中，至少有1个黑球与都是黑球，能够同时发生，故B不是互斥事件，更不是对立事件；‎ 在C中，至少有1个黑球与至少有1个红球，能够同时发生，故C不是互斥事件，更不是对立事件；‎ 在D中，恰有1个黑球与恰有2个黑球，不能同时发生，但能同时不发生，故D是互斥但不对立事件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：由题，∴即 ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解之得：（负值舍去）．‎ 故答案选A．‎ ‎　‎ ‎9．为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中（　　）‎ A．3000 B．6000 C．7000 D．8000‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．‎ ‎【解答】解：由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×‎ ‎10=0.3，‎ 则底部周长大于100cm的段的频率为1﹣0.3=0.7‎ 那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（　　）‎ A．，m甲＞m乙 B．，m甲＜m乙 C．，m甲＞m乙 D．，m甲＜m乙 ‎【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．‎ ‎【解答】解：甲的平均数甲==，‎ 乙的平均数乙==，‎ 所以甲＜乙．‎ 甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（　　）‎ A． B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．‎ ‎【解答】解：三角形ABC的面积为 离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为 所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为 P=1﹣‎ 故选D ‎　‎ ‎12．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2≥a；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2≤a≤1‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据二次函数的最值，一元二次方程解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q下a的取值范围，再根据p∧q为真命题得到p，q都为真命题，所以对前面所求a的取值范围求交集即可．‎ ‎【解答】解：命题p：x2在[1，2]上的最小值为1，∴a≤1；‎ 命题q：方程x2+2ax+2﹣a=0有解，‎ ‎∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1，或a≤﹣2；‎ 若命题p∧q是真命题，则p，q都是真命题；‎ ‎∴，∴a=1，或a≤﹣2；‎ ‎∴实数a的取值范围是{a|a≤﹣2，或a=1}；‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4道小题，）‎ ‎13．书架上有4本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，能取出数学书的概率为　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】基本事件总数n==15，能取出数学书的对立事件是取出两本语文书，由此利用对立事件概率计算公式能示求出从中任意取出2本，能取出数学书的概率．‎ ‎【解答】解：书架上有4本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，‎ 基本事件总数n==15，‎ 能取出数学书的对立事件是取出两本语文书，‎ ‎∴从中任意取出2本，能取出数学书的概率为：‎ p=1﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且满足，则△F1PF2的面积等于　1　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4，又|F1F2|=2，∠F1PF2=，利用余弦定理可求得|PF1|•|PF2|，从而可求得△F1PF2的面积．‎ ‎【解答】解：∵P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，‎ 在△F1PF2中，由勾股定理得：‎ ‎|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|PF1|•|PF2|‎ ‎=16﹣2|PF1|•|PF2|=16﹣2|PF1|•|PF2|=12，‎ ‎∴|PF1|•|PF2|=2，‎ ‎∴S△F1PF2=|PF1|•|PF2|=1‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎15．若命题“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　（2，+∞）　．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使ax2+4x+a＞0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵命题“存在x∈R，使ax2+4x+a≤0”的否定是 ‎“任意实数x，使ax2+4x+a＞0”‎ 命题否定是真命题，‎ ‎∴，‎ 解得：a＞2，‎ 故答案为：（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎16．若数据组k1，k2，…，k8的平均数为3，方差为3，则2（k1+3），2（k2+3），…，2（k8+3）的平均数为　12　，方差为　12　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】一组数据均增加a后，平均数增加a，方差不变；一组数据均扩大b倍后，平均数扩大b倍，方差扩大b2倍；‎ ‎【解答】解：∵数据组k1，k2，…，k8的平均数为3，方差为3，‎ 则数据组k1+3，k2+3，…，k8+3的平均数为为6，方差为3，‎ 则数据组2（k1+3），2（k2+3），…，2（k8+3）的平均数为12，方差为12，‎ 故答案为：12，12‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道小题，第1题0分，第2题0分，第3题0分，第4题0分，第5题0分，第6题0分，共0分）‎ ‎17．（1）求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．‎ ‎（2）求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆的标准方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆方程为，可得a，b，c，即可得出；‎ ‎（2）利用椭圆的定义可得：a，即可得出b2=a2﹣c2．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆方程为，‎ ‎∴a=2，b=1，c==，‎ 因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=4，2b=2，‎ 离心率e==，两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），‎ 椭圆的四个顶点是A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣1），B2（0，1）．‎ ‎（2）由焦距是4可得c=2，且焦点坐标为（0，﹣2），（0，2）．‎ 由椭圆的定义知：2a=+=8，‎ ‎∴a=4，b2=a2﹣c2=16﹣4=12．‎ 又焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为．‎ ‎　‎ ‎18．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；‎ ‎（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？‎ ‎【考点】分层抽样方法；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；‎ ‎（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；‎ ‎（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．…‎ ‎（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，‎ ‎[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5‎ ‎…‎ ‎（Ⅲ）由直方图，得：‎ 第3组人数为0.3×100=30，‎ 第4组人数为0.2×100=20人，‎ 第5组人数为0.1×100=10人．‎ 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，‎ 每组分别为：‎ 第3组：人，‎ 第4组：人，‎ 第5组： =1人．‎ 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…‎ 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：‎ ‎（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），‎ 其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．…‎ 所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为…‎ ‎　‎ ‎19．设命题p：若实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足 ‎（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】分别化简命题p：a＜x＜3a；命题q：实数x满足，解得2≤x≤3．‎ ‎（1）若a=1，则p化为：1＜x＜3，由p∧q为真，可得p与q都为真．‎ ‎（2）￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出．‎ ‎【解答】解：命题p：若实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0，可得a＜x＜3a；命题q：实数x满足，化为，解得，解得2≤x≤3．‎ ‎（1）若a=1，则p化为：1＜x＜3，∵p∧q为真，∴，解得2≤x≤3．‎ ‎∴实数x的取值范围为[2，3]．‎ ‎（2）￢p是￢q的充分不必要条件，‎ ‎∴q是p的充分不必要条件，‎ ‎∴，解得1≤a≤2．‎ ‎∴实数a的取值范围是[1，2]．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差数列，建立适当的直角坐标系，求点A的轨迹方程．‎ ‎【考点】椭圆的定义；等差数列的性质．‎ ‎【分析】以BC边所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，距离直角坐标系．则B（﹣2，0），C（2，0）．由于BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差数列，可得2sinA=sinB+sinC，由正弦定理可得：AC+AB=2BC=8＞BC=4，可得点A的轨迹是以B，C为焦点，8为实轴长的椭圆，除去椭圆与x轴的两个交点．‎ ‎【解答】解：以BC边所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，距离直角坐标系．则B（﹣2，0），C（2，0）．‎ ‎∵BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差数列，‎ ‎∴2sinA=sinB+sinC，‎ 由正弦定理可得：AC+AB=2BC=8＞BC=4，‎ ‎∴点A的轨迹是以B，C为焦点，8为实轴长的椭圆，除去椭圆与x轴的两个交点．‎ 设要求的椭圆标准方程为，‎ ‎∵c=2，a=4，∴b2=a2﹣c2=12．‎ ‎∴椭圆的方程为：．‎ ‎　‎ ‎21．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：‎ 甲：82 81 79 78 95 88 93 84‎ 乙：92 95 80 75 83 80 90 85‎ ‎（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，并求学生乙成绩的平均数和方差；‎ ‎（2）从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．‎ ‎【分析】（1）将成绩的十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图，计算乙的平均数与方差，即可求得结论，‎ ‎（2）一一列举出任取两次成绩，所有基本事件，再找到满足两个成绩中至少有一个超过90分的基本事件，根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）茎叶图如下：‎ ‎ …‎ 学生甲成绩中位数为83，…‎ ‎（2）=85 …‎ S乙2= [（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]=41 …‎ ‎（3）甲同学超过80（分）的成绩有82 81 95 88 93 84，‎ 任取两次成绩，所有基本事件为：（82，81），（82，95），（82，88），（82，93），（82，84），（81，95），（81，88），（81，93），（81，84），（95，88），（95，93），（95，84），（88，93），（88，84），（93，84）共15个 …‎ 其中至少有一次超过90（分）的基本事件为：（82，95）（82，93）（81，95）（81，93）（95，88），（95，93），（95，84），（88，93）（93，84）共9个． …‎ ‎∴这两次成绩中至少有一次超过90（分）的概率为．…‎ ‎　‎ ‎22．若两集合A=[0，3]，B=[0，3]，分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记为（m，n），‎ ‎（Ⅰ）若m∈Z，n∈Z，写出所有的（m，n）的取值情况，并求事件“方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆”的概率；‎ ‎（Ⅱ）求事件“方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；古典概型及其概率计算公式；几何概型．‎ ‎【分析】（Ⅰ）用枚举法列出基本事件总数，求出满足m＞n的事件个数，然后代入古典概型概率计算公式求解；‎ ‎（Ⅱ）事件“方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，是指m＞n，再由长轴长大于短轴长的倍得到m和n的不等式，由线性规划知识作出可行域，则由测度比是面积比得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题知所有的（m，n）的取值情况为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），‎ ‎（3，2），（3，3）共16种，‎ 若方程所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则m+1＞n+1，即m＞n，‎ 对应的（m，n）的取值情况为：（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，‎ ‎∴该事件概率为：；‎ ‎（Ⅱ）由题知0≤m≤3，0≤n≤3，椭圆长轴为，短轴为，‎ 由，得m＞2n+1，可行域如图所示，‎ ‎∴该事件概率为．‎ ‎　‎ ‎2017年1月13日