2018-2019学年安徽省黄山市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省黄山市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省黄山市高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )‎ A．直线a上的点到平面α的距离相等 B．直线a平行于平面α内的所有直线 C．平面α内有无数条直线与直线a平行 D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，根据两直线的位置关系的判定，以及直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线a平行于平面α，则对于A中，直线a上的点到平面α的距离相等是正确的；对于B中，直线a与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C中，平面α内有无数条直线与直线a平行是正确的；对于D中，平面α内存在无数条直线与直线a成90°角是正确的，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中两条直线的三种位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】空间直角坐标系中任一点关于坐标平面的对称点为，即可求得答案 ‎【详解】‎ 根据空间直角坐标系中点的位置关系可得点关于平面的对称点是 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，属于基础题。‎ ‎3．已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当时，判断两直线是否垂直，由此判断充分性，当两直线垂直时，根据两直线垂直的性质求出的值，由此判断必要性，从而得到答案 ‎【详解】‎ 充分性：‎ 当时，两条直线分别为：与 此时两条直线垂直 必要性：‎ 若两条直线垂直，则，解得 故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 故选 ‎【点睛】‎ 本题是一道有关充分条件和必要条件的题目，需要分别从充分性和必要性两方面分析，属于基础题。‎ ‎4．设矩形边长分别为，将其按两种方式卷成高为和的圆柱（无底面），其体积分别为和,则与的大小关系是( )‎ A． B． C． D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，分别求得卷得圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，求解两圆柱的体积，比较即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当卷成高为的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为，则，‎ 解得，则圆柱的体积为，‎ 当卷成高为的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为，则，‎ 解得，则圆柱的体积为，‎ 又由，所以，即，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆柱的侧面展开图，以及圆柱的体积的计算问题，其中解答解答中，根据题意求解两圆柱的底面圆的半径，利用圆柱的体积公式，准确求解圆柱的体积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎5．若从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数，则直线不经过第四象限的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合，分别有3个元素，则一共可以构成9条不同的直线，要使直线不经过第四象限，则需要满足，然后再确定出满足题意的情况数，最后结合概率公式求解即可 ‎【详解】‎ 由题意可知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件 ‎,‎ 得到的取值所有可能的结果是：‎ ‎，，，，，，，，，共9种结果 由可得，当时，‎ 直线不经过第四象限，符合条件的的有，，，，‎ 则直线不经过第四象限的概率为 故选 ‎【点睛】‎ 本题属于概率的计算问题，熟练掌握一次函数的图象和性质以及概率的计算公式是解题的关键，属于基础题。‎ ‎6．若直线与直线关于点（2，1）对称，则直线恒过定点( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，‎ 又由点在直线上，代入求得直线的方程，即可求解答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，‎ 又由点在直线上，即，‎ 整理得，令，即时，，‎ 可得直线过定点，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线过定点问题，以及直线关于点的对称问题，其中解答中根据对称性求得直线的方程，进而判定直线过定点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7．已知是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为( )‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】求出双曲线的渐近线方程，可得，由的关系和离心率公式计算即可求得答案 ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线方程为 由题意可得，即有 可得 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的几何性质，由已知条件计算出之间的关系是解题关键，属于基础题 ‎8．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知几何体为三棱锥，且该三棱锥的底面为底边边长为2，高为2的等腰三角形，高为，利用体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知几何体为三棱锥，如图所示，根据三视图可知，该三棱锥的底面为底边边长为2，高为2的等腰三角形，高为，底面面积为，‎ 所以该三棱锥的体积为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.‎ ‎9．若直线将圆平分，且不通过第四象限，则直线斜率的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由直线将圆平分得直线过圆心，再由直线不经过第四象限，即可求解直线的斜率的取值范围，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，可知圆心坐标为，‎ 因为直线将圆平分，所以直线过圆心，又由直线不经过第四象限，‎ 所以直线的斜率的最小值为，斜率的最大值为，‎ 所以直线的斜率的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎10．设实数对满足，则该实数对满足的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得到表示的区域为圆及圆内的部分，又由不等式表示直线的右上方的部分，作出图形，求得其面积，根据面积比的几何概型，即可求解概率.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知圆，表示圆心坐标，半径是的圆，‎ 其中表示的区域为圆及圆内的部分，‎ 又由不等式表示直线的右上方的部分，‎ 如图所示，则阴影部分的面积为，‎ 又由圆的面积为，所以概率为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计算问题，其中解答中根据题意，画出相应的图形，分别求解其面积，利用面积比求解概率是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎11．两圆与只有一条公切线，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由两圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，再由题意可知两圆相内切，求得 ‎，利用基本不等式即可求解的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知两圆相内切，又由两圆的标准方程为，‎ 可的圆心分别为，半径分别为2和1，‎ 则，所以，‎ 又由，当且仅当时等号成立，‎ 所以，所以的最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两圆的位置关系的应用，以及利用基本不等式求最值，其中解答中根据两圆的位置关系，求得是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎12．如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点、,且，则下列结论错误的是( )‎ A．‎ B．三棱锥的体积为定值 C．∥平面 D．△的面积与△的面积相等 ‎【答案】D ‎【解析】运用立体几何中线线关系、线面关系、体积等知识判断四个选项是否正确 ‎【详解】‎ ‎，在平面的投影所在直线为，,由三垂线定理可以得到，故正确 ‎，由几何体的性质及图形可知，故可得三棱锥以△为底面，点A到面的距离为△的高，△的面积为,点A到面的距离为，则三棱锥的体积为定值,故正确 ‎，由正方体可得平面平面，又平面，则∥平面，故正确 ‎，由题可知，△为等腰三角形，到线段的距离为△的高，点到线段的距离为，‎ ‎△的高为，‎ ‎,,‎ 故△的面积与△的面积不相等，故错误 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中线面的关系，运用线面平行、垂直来解答，在解答体积问题时注意高的取值，属于中档题 二、填空题 ‎13．经过点（－2，3），且与直线垂直的直线方程为 ▲ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令所求直线斜率为,两直线垂直,斜率乘积为,则 ,所以,又经过点,由直线方程的点斜式可得,可化为一般式.故本题应填.‎ 点睛:两条直线垂直的条件是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的,在此条件下 ;一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率等于 ‎,则两直线也垂直;两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的前提下得出的,在此前提下有 ;若两条直线的斜率都不存在,且两直线不重合,则两直线也平行.‎ 考点:直线的方程,两直线间的关系 ‎14．正方体中，与所成的角是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过线线平行将异面直线转化为共面直线，然后构造等边三角形求出异面直线的夹角 ‎【详解】‎ 根据题意画出示意图，连接，，则 是正三角形 ‎,‎ 即与所成的角是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的知识点是异面及其所成的角，关键是将异面直线进行转化，也可以通过解三角形求异面直线的夹角 ‎15．已知抛物线，过其焦点作斜率为的直线交于两点，则弦长_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出直线的方程，然后联立直线方程与抛物线方程，结合弦长公式求出的长 ‎【详解】‎ 抛物线的焦点坐标为（0，）‎ 直线的方程为 即 设,‎ 则即 ‎，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，在求弦长时运用弦长公式求出结果，要熟记并能运用弦长公式解题 ‎16．棱长为2的正方体的8个顶点都在球的表面上，、分别是棱、的中点，则直线被球截得的线段长为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意先求出球的半径，然后求出到距离，运用弦长求出结果 ‎【详解】‎ 由题意可得球的半径为 作过和球的平面，则平面所截过的弦为所求线段 到距离为 截得的线段长为 则直线被球截得的线段长为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正方体外接球及计算直线被球所截的线段长，考查了空间想象能力，需要掌握解题方法，本题属于中档题 三、解答题 ‎17．设命题在矩形中，，线段上存在一点，使得；命题，函数图象与轴没有交点．如果命题“ ”是真命题，且“ ”是假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，由于，则点在以为直径的圆上，所以直线与圆有公共点，根据，求得；再由命题中，根据，求得，再根据命题一真一假，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，若命题为真：如图,由于，则点在以为直径的圆上，所以直线与圆有公共点，‎ 因此，解得 若命题为真：‎ 由题可知，命题一真一假，则或 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据复合命题的真假求得参数的取值范围问题，其中解答中根据圆的性质和二次函数的图象与性质，正确求解命题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆直径，．分别为上的动点，且．‎ ‎（Ⅰ）设，当为何值时，三棱锥的体积最大，最大值为多少？‎ ‎（Ⅱ）若、分别为线段、的中点，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】（Ⅰ）结合题意并运用三棱锥体积公式表示出三棱锥的体积，运用二次函数求出最大值 ‎（Ⅱ）先证明得到，再证明，由线面垂直证得线线垂直 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设，‎ ‎，‎ 则．‎ 故 当时，三棱锥的体积最大，.‎ ‎（II）分别为,上的中点，‎ 连接 在中，‎ 是圆直径，‎ ‎,‎ ‎,‎ 则 故 则 ‎.‎ 又由四边形为正方形，分别为,上的中点，‎ 则，‎ 故 所以，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求三棱锥体积及证明线线垂直，由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可证得线线垂直，在求三棱锥的体积时要熟练运用公式 ‎19．若椭圆 是以双曲线的顶点为焦点，以其焦点为顶点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若是椭圆上的一点，、是椭圆的两焦点，且，求 的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知条件求出椭圆的，然后求得椭圆方程 ‎（Ⅱ）由椭圆定义和勾股定理求出的值，继而求出三角形面积 ‎【详解】‎ ‎（I）已知双曲线 故，故顶点为 焦点 则椭圆的焦点是双曲线顶点，所以，则顶点 则 故所求椭圆方程为：；‎ ‎（II）是椭圆上的一点，‎ 由椭圆的定义可得 又，‎ 由勾股定理可得 则 故 故的面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆方程和焦点三角形面积，运用公式即可求出结果，较为基础，需要熟练掌握椭圆知识 ‎20．如图，在四棱锥中，ABCD为菱形，⊥平面ABCD，连接交于点，，，是棱上的动点，连接.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当面积的最小值是时，求四棱锥P-ABCD的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知条件证得，，可证得，继而证明平面平面 ‎（Ⅱ）由题意当面积的最小值是时，求出的长，可得，由求出的值，继而求出四棱锥的体积 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）在四棱锥中，ABCD为菱形，交于点，‎ ‎，‎ ‎⊥平面，‎ 则 由 ‎，‎ 则平面 又因为，‎ 故平面平面 ‎（Ⅱ）由题知，当最小时，面积的最小，‎ ‎，‎ 即 此时，即当时，，‎ 又由，‎ 可得，解得 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直及四棱锥的体积，在证明面面垂直时运用面面垂直的判定定理即可证明，本题在求四棱锥体积时运用了三角形相似求线段长度，本题属于中档题 ‎21．如图所示，在平面直角坐标系中，平行于轴且过点的入射光线被直线反射，反射光线交轴于点，圆过点，且与、相切．‎ ‎（Ⅰ）求所在直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求圆的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设与交于点D， 求得D点的坐标，进而利用直线的倾斜角求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解.‎ ‎（Ⅱ）设圆心，根据圆心在过点且与垂直的直线上，且点在点的下方，求得，再由圆心C在过点A且与垂直的直线上，求得的值，进而求得圆的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）如图，直线 ：，设与交于点D，则D（，2）.‎ 的倾斜角为30° 的倾斜角为60°，即 所以反射光线所在直线方程为，‎ 即.‎ ‎（Ⅱ）设圆心，由题意可知：圆心在过点且与垂直的直线上，且点在点的下方，则，‎ 又圆心C在过点A且与垂直的直线上，‎ 故圆C的半径，所以圆C的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的求解，以及圆的标准方程的求解，其中解答中根据题设条件的对称性，求得直线的斜率，以及第二问中根据圆的性质求得圆心的坐标是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎22．已知点和圆，过的动直线与圆交于、两点，过作直线，交于点．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若不经过的直线与轨迹交于两点，且.求证：直线 恒过定点．‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）详见解析 ‎【解析】（I）由题意可得是等腰三角形，即 ‎，再圆的性质和椭圆定义，即可求解的值，得出椭圆的方程；‎ ‎（II）设，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，又由，整理求得解得，进而判定处直线过定点问题.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由，知是等腰三角形，即.‎ ‎，‎ ‎ 点轨迹是以为焦点的椭圆，‎ ‎，故，‎ 因此点的轨迹 .‎ ‎（II）设，则 联立 则①，又由知：‎ ‎，‎ ‎，‎ 将①式代入并化简得：，解得.‎ 当时，直线恒过，不满足题意；‎ 当时，直线恒过定点.‎ 当直线与横轴垂直时，令，，‎ ‎，化简得，‎ 解得或（舍去），，即此时也有直线过定点.‎ 综上可知，当，直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常求得的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，再通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎