江苏省南通市海安市海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省南通市海安市海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

海安高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={x|1≤x≤4，x∈N}，B={x|5＜2x＜33，x∈N}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A. 5, B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．‎ ‎【详解】∵U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，‎ ‎∴∁UA={0，5}，（∁UA）∩B={5}．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了列举法、描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知向量，，若，则（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，首先求出，然后利用向量平行的坐标运算，写出的关系式，计算求解即可.‎ ‎【详解】因为，，且，所以 ‎，．‎ ‎【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，以及向量平行的坐标运算，属于基础题.‎ ‎3.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】椭圆的离心率，‎ 即，，‎ 所以双曲线渐近线为．故选A．‎ 考点：椭圆与双曲线的几何性质．‎ ‎4.函数的部分图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.‎ 详解：易知函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，‎ 当x=1时，y=＜1，排除A，‎ 当x=4时，，排除D，‎ 故选：C．‎ 点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：‎ ‎ (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ ‎5.已知，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴a=log52＜==0.5＜c=0.50.3＜0.50=1，‎ b=log0.50.3=log＞log=log23＞log22=1，‎ ‎∴a＜c＜b．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6.若正数a，b满足：＋＝1，则的最小值为（ ）‎ A. 16 B. 9 C. 6 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】法一、因，所以，‎ 所以.‎ 法二、因为，所以，.‎ 法三、因为，所以，所以，故选C.‎ ‎7.“a＜-2”是“∃x0∈R，asinx0+2＜0”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设f（x）=asinx+2，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，asinx0+2＜0求得a的范围，可知“a＜-2”是“∃x0∈R，asinx0+2＜0”的不必要条件；取，当a＜-2时，asinx0+2＜0成立，说明“a＜-2”是“∃x0∈R，asinx0+2＜0”的充分条件．‎ ‎【详解】必要性：设f（x）=asinx+2，当a＞0时，f（x）∈[2-a，2+a]，∴2-a＜0，即a＞2；‎ 当a＜0时，f（x）∈[2+a，2-a]，∴2+a＜0，即a＜-2．‎ 故a＞2或a＜-2；‎ 充分性：，当a＜-2时，asinx0+2＜0成立．‎ ‎∴“a＜-2”是“∃x0∈R，asinx0+2＜0”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查三角函数的有界性，体现了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎8.数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果.‎ ‎【详解】因为 ‎，‎ 所以，选D.‎ ‎【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.‎ ‎9.设椭圆与双曲线在第一象限的交点为为其共同的左右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，写出，再根据|TF1|＜4，求出a的范围即可．‎ ‎【详解】依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，‎ ‎∴ ，‎ ‎，‎ 解得 ‎ ‎ .‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了共焦点的椭圆与双曲线的几何性质，也考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎10.设集合A={（x，y）|（x-4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x-t）2+（y-at+2）2=1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题命题P：A∩B≠∅为真命题，再结合集合A、B的特征利用数形结合即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答．‎ ‎【详解】∵A={（x，y）|（x-4）2+y2=1}，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆，‎ ‎ ‎ B={（x，y）|（x-t）2+（y-at+2）2=1}，表示以N（t，at-2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax-y-2=0上，如图．‎ 如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax-y-2=0的距离不大于2，‎ 即≤2，解得0≤a≤．‎ ‎∴实数a的取值范围是[0，]；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的是集合运算和命题的真假判断与应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了圆的知识、集合运算的知识以及命题的知识．同时问题转化的思想也在此题中得到了很好的体现．值得同学们体会和反思．‎ ‎11.给出下列四个说法：①命题“都有”的否定是“使得”；②已知，命题“若，则”的逆命题是真命题；③是的必要不充分条件;④若为函数的零点，则，其中正确的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①②③④分别依次判断真假可得答案.‎ ‎【详解】对于①，命题“都有”的否定是“使得”，故①错误；对于②，命题“若，则”的逆命题为“若，则”正确；对于③，若则，若则或，因此是的充分不必要条件，故③错误；对于④，若为函数，则 ‎，即，可令，则，故为增函数，令，显然为减函数，所以方程至多一解，又因为时 ‎，所以，则④正确，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.‎ ‎12.设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且an=，若Sm＞999，则正整数m的最小值为（　　）‎ A. 15 B. 16 C. 17 D. 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分成奇数项和偶数项分别考虑，奇数项构造等比数列可以求解析式，偶数项利用奇数项可以得到解析式，从而得到前m项和，结合选项即可得到结果．‎ ‎【详解】解：依题意，对于数列{an}，‎ ‎①当n=2k+1时（k∈N*），a2k+1=2a2k+1=2（a2k-1+1）+1=2a2k-1+3，‎ ‎∴a2k+1+3=2（a2k-1+3），即=2，‎ ‎∴数列{a2k-1+3}成以4为首项，2为公比的等比数列，‎ a2k-1=2k+1-3，令n=2k-1，则k=，‎ 所以an=-3，‎ 即当n为奇数时，an=-3；‎ ‎②当n=2k（k∈N*）时，a2k=a2k-1+1=-2，‎ 所以当m为偶数时，‎ Sm=（a1+a3+……+am-1）+（a2+a4+……+am）‎ ‎=（22-3+23-3+……+-3）+（22-2+23-2+……+-2）‎ ‎=2×-‎ ‎=--8，‎ 当m为奇数时，‎ Sm=Sm-1+am=--8+-3=3--11，‎ ‎∴S15=3×29--11=1536-35-11=1500＞999，‎ S14=210-35-8=981＜999，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.设x＞0，y＞0，x+2y=7，则的最小值为______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把展开，将x+2y=7整体代入，利用基本不等式即可解得最小值．‎ ‎【详解】===≥8，当且仅当xy=4时等号成立．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题．‎ ‎14.已知等差数列{an}中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且a1-am=18，则数列{an}的通项公式为an= ______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公差等于d，由题意可得偶数项共有项，从而列出方程组求出m，d，a1，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎【详解】∵等差数列{an}中，前m（m为奇数）项的和为77，‎ ‎∴ma1+=77，①‎ ‎∵其中偶数项之和为33，由题意可得偶数项共有项，公差等于2d，‎ ‎（a1+d）+×2d=33，②‎ ‎∵a1-am=18，‎ ‎∴a1-am=18=-（m-1）d，③‎ 由①②③，解得m=7，d=-3，a1=20，‎ 故an=a1+（n-1）d=20+（n-1）×（-3）=-3n+23．‎ 数列{an}的通项公式为an=-3n+23．‎ 故答案为：-3n+23．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．‎ ‎15.若抛物线x2=4y的顶点是抛物线上到点A（0，a）的距离最近的点，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值．‎ ‎【详解】设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为 ‎|AP|2=x2+（y-a）2 ‎ ‎=x2+y2-2ay+a2 ‎ ‎∵x2=4y ‎ ‎∴|AP|2=4y+y2-2ay+a2（y≥0）‎ ‎=y2+2（2-a）y+a2（y≥0）‎ ‎∴对称轴为y=a-2，‎ ‎∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，‎ ‎∴a-2≤0解得a≤2，‎ 故答案为：a≤2．‎ ‎【点睛】本题考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，函数在定义域内递增，对称轴在区间左边．‎ ‎16.不等式x6-（x+2）3+2x2-2x-4≤0的解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，把不等式变形，利用函数的性质把不等式转化，从而求出解集．‎ ‎【详解】不等式x6-（x+2）3+2x2-2x-4≤0变形为 x6-x3≤4x2+14x+12，即x3（x3-1）≤（2x+4）（2x+3）‎ 考查函数f（x）=x（x-1），图象关于x=对称，在（-∞，）上单调递减；在（，+∞）上单调递增 知f（x3）≤f（2x+4）‎ 所以或或或；‎ 分别解得：≤x≤2或∅或-1≤x或∅‎ 即-1≤x≤2，所以不等式的解集为[-1，2]．‎ 故答案为：[-1，2]．‎ ‎【点睛】本题考查类比推理，找规律，对应已知形式，即可求解，中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．‎ 求证：（1）AB∥平面A1B1C；‎ ‎（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明四边形AA1B1B是平行四边形，得出AB∥A1B1，故而AB∥平面A1B1C；‎ ‎（2）由C1M⊥A1B1，CC1⊥B1A1，得出B1A1⊥平面C1CM，从而平面C1CM⊥平面A1B1C．‎ ‎【详解】证明：（1）∵AA1∥BB1，AA1=BB1，‎ ‎∴四边形AA1B1B是平行四边形，‎ ‎∴AB∥A1B1，‎ 又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，‎ ‎∴AB∥平面A1B1C．‎ ‎（2）由（1）证明同理可知AC=A1C1，BC=B1C1，‎ ‎∵AB=BC，∴A1B1=B1C1，‎ ‎∵M是A1B1的中点，‎ ‎∴C1M⊥A1B1，‎ ‎∵CC1⊥平面A1B1C1，B1A1⊂平面A1B1C1，‎ ‎∴CC1⊥B1A1，‎ 又CC1∩C1M=C1，‎ ‎∴B1A1⊥平面C1CM，‎ 又B1A1⊂平面A1B1C1，‎ ‎∴平面C1CM⊥平面A1B1C．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，直棱柱的结构特征，属于中档题．‎ ‎18.在△ABC中，角C为钝角，b=5，，．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）求边c的长 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数间的关系得到cosA、sin（A-B）、cos（A-B），从而利用两角和差公式得到sinB的值；‎ ‎（2）利用正弦定理解三角形，从而求得边长．‎ ‎【详解】（1）在△ABC中，角C为钝角，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 又，所以，‎ 所以sinB=sin[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=．‎ ‎（2）因为，且，所以，‎ 又，，‎ 所以，在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==，‎ 由正弦定理得，，又b=5，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题是常考题型，考查解三角形，需对三角函数的各类公式熟练掌握．‎ ‎19.习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元．‎ ‎（1）每台充电桩第几年开始获利？‎ ‎（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．‎ ‎【答案】（1）公司从第3年开始获利；（2）第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）判断已知条件是等差数列，然后求解利润的表达式，推出表达式求解n即可．‎ ‎（2）利用基本不等式求解最大值即可．‎ ‎【详解】（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，‎ 设第n年时累计利润为f（n），‎ f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200‎ ‎=8100n-n（200n+900）-16200‎ ‎=-200n2+7200n-16200‎ ‎=-200（n2-36n+81），‎ 开始获利即f（n）＞0，‎ ‎∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，‎ 解得，‎ 所以公司从第3年开始获利；‎ ‎（2）每台充电桩年平均利润为 当且仅当，即n=9时，等号成立．‎ 即第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元．‎ ‎【点睛】本题考查数列与函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ ‎20.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，且.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点作直线，分别交抛物线于，两点，若直线，的倾斜角互补，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义及两点的距离公式运算可得解；‎ ‎（2）由直线与抛物线的位置关系，联立直线与抛物线方程，利用斜率公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由题得，‎ 则，，‎ 因为，所以，①‎ 因为点在抛物线上，所以，即.②‎ 联立①②得，‎ 解得或（舍去），‎ 所以抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）由题知直线，的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设，，直线 由，‎ 得，‎ 则，‎ 又点在抛物线上，所以 同理得.‎ 则，，‎ ‎，‎ 所以 即直线的斜率为-1.‎ ‎【点睛】本题考查了曲线与方程及直线与抛物线的位置关系，属中档题.‎ ‎21.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎（3）是否存在实数λ使得Tn+2＞λ•Sn对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式．‎ ‎（3）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去）．‎ 当n≥2时，，‎ 整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，‎ 可得an-an-1=1，‎ ‎∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列．‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）得an=n+1，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎（3）假设存实数λ，使得对一切正整数恒成立，‎ 即对一切正整数恒成立，只需满足即可，‎ 令，‎ 则 ‎ 当 故 f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…‎ 当n=3时有最小值．‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查利用递推关系求数列通项公式，考查数列单调性的判定。是中档题 ‎22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x=2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点P的坐标为（0，b），求过点P，Q，F2三点的圆的方程；‎ ‎（3）若=，且λ∈[]，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过焦距以及准线方程，求出a，c，然后求解b，得到椭圆方程．‎ ‎（2）求出三点坐标，设出圆的一般方程，然后求解即可．‎ ‎（3）求出P的坐标，代入椭圆方程，通过向量的数量积结合基本不等式求解即可．‎ ‎【详解】（1）由题意得，解得c=1，a2=2，所以b2=a2-c2=1．‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）因为P（0，1），F1（-1，0），所以PF1的方程为x-y+1=0．‎ 由解得或所以Q点的坐标为．‎ 设过P，Q，F2三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，‎ 则 解得 所以圆的方程为．‎ ‎（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．‎ 因为，所以 所以，解得．‎ 所以 ‎=‎ ‎=．‎ 因为，所以，当且仅当，即λ=1时取等号，‎ 所以．即最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．‎ ‎ ‎