2018-2019学年河北省承德市高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年河北省承德市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省承德市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可得出两集合的取值范围，再进行交集运算．‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属于简单题．‎ ‎2．已知，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：，‎ 结合向量平行的充要条件有：,‎ 求解关于实数的方程可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，所以，利用换元法求解析式．‎ ‎【详解】‎ 设，所以.则，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查换元法求解析式，解题的关键是，属于一般题．‎ ‎4．已知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角α的最小正值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由三角函数定义求出的正弦值，再由终边所在象限确定角．‎ ‎【详解】‎ 由题意，又，点在第三象限，即是第三象限角，‎ ‎∴，最小正值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数定义，由三角函数值求角时，需确定角的范围．‎ ‎5．＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】用诱导公式把角转化为锐角，转化为可用两角和与差的正弦（或余弦）公式形式，然后用化简求值．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式与两角和的余弦公式，解题时需用诱导公式化角化函数名称，凑出公式的形式，才可能使用公式化简．‎ ‎6．要得到y＝3（2x）的图象，需要将函数y＝3（2x）的图象（ ）‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】把函数式转化为形式，可得平移单位．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎， ‎ 所以将向右平移个单位得的图象．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象平移变换，平移变换中将函数变成形式，才可得平移单位及方向．‎ ‎7．已知，则＝（ ）‎ A．3 B．﹣3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】用诱导公式化简已知得，求值式用余弦二倍角变形后代入已知式可求值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式，注意在用二倍角余弦公式时要选用齐次的式子，即，这样可用处理齐次式的方法化简求值．‎ ‎8．函数的图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数 是定义域为，且，知函数 为奇函数，排除A,C 又，排除D，故选B ‎9．已知为定义在R上的奇函数，当时，，则的值域为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，利用指数函数的性质求得的取值范围，根据奇偶性求得当时的取值范围.结合求得的值域.‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 为定义在R上的奇函数，，‎ 则当时，由于函数为奇函数，图像关于原点对称，故，综上 ‎，即函数的值域为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查指数函数的值域的求法，属于基础题.‎ ‎10．设D，E为△ABC所在平面内一点，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由向量的线性运算，把向量都用表示．‎ ‎【详解】‎ ‎∵3，3，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的线性运算，解题时把所求向量用向量的加减，数乘运算表示并尽可能向靠拢．‎ ‎11．设，，则（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎【答案】B ‎【解析】容易得出，，即得出，，从而得出，．‎ ‎【详解】‎ ‎，.‎ 又，即，，‎ ‎，．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于0．‎ ‎12．已知函数，若函数在上有三个零点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为在上有三个零点，所以在上有三个不同的解，即函数与的图象在上有三个不同的交点，画出函数图像，结合图象进而求得答案．‎ ‎【详解】‎ 因为在上有三个零点，所以在上有三个不同的解，即函数与的图象在上有三个不同的交点，结合函数图象可知，当直线经过点时，取得最小值，从而取得最大值，且.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点问题，解题的关键是得出函数与的图象在上有三个不同的交点，属于一般题．‎ 二、填空题 ‎13．已知扇形半径为4，弧长为8，则扇形面积是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由扇形的面积公式直接计算．‎ ‎【详解】‎ 由扇形的面积公式得Slr4×8＝16．‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查扇形的面积公式，属于基础题．‎ ‎14．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求，进而求出答案．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求值问题，属于简单题．‎ ‎15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】　当时，有，此时，此时为减函数，‎ 不合题意.若，则，故，检验知符合题意 ‎16．已知△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，BC＝2，M为平面ABC内一点，则的最小值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以直线为轴，边的中垂线为轴建立直角坐标系，写出坐标，设，求出向量坐标并计算，配方后可得最小值．‎ ‎【详解】‎ 如图建立坐标系，可得A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），‎ 设M（x，y），‎ 所以（﹣x，1﹣y），，‎ ‎（﹣2x，﹣2y），‎ 则2x2﹣2y+2y2＝2x2+2（y）2，‎ ‎∴时，最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立如图所示的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示出来，从而易得最小值．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合A＝{x|1＜x+3≤7}，B＝{x|y}．‎ ‎（1）当a＝1时，求A∩B；‎ ‎（2）若A∪B＝B，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∩B＝[1，4]（2）（﹣∞，﹣2]‎ ‎【解析】（1）先确定集合中的元素，再由交集定义计算；‎ ‎（2）由A∪B＝B得A⊆B，再由集合的包含关系得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）A＝{x|﹣2＜x≤4}；‎ a＝1时，B＝{x|3x﹣1﹣1≥0}＝{x|x≥1}；‎ ‎∴A∩B＝[1，4]；‎ ‎（2）B＝{x|﹣1≥0}＝{x|x≥a}；‎ ‎∵A∪B＝B；‎ ‎∴A⊆B；‎ ‎∴a≤﹣2；‎ ‎∴a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，考查集合间的包含关系，属于基础题．‎ ‎18．已知向量（﹣1，2），（4，0）．‎ ‎（1）求向量与夹角的余弦值；‎ ‎（2）若2与垂直，求λ的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由数量积定义，由求夹角余弦值；‎ ‎（2）计算出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴；‎ ‎（2），‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积运算，求向量的夹角，以及箣向量垂直与数量积的关系．掌握数量积定义与性质是解题基础．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）用定义法证明：在上是增函数；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）设是内任意的两个实数，且，则，因为，且，所以可得，进而证得在上是增函数；‎ ‎（2）不等式，等价于，即，再利用单调性以及定义域即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：设是内任意的两个实数，且，‎ 则.‎ 因为，且，‎ 所以，即，‎ 则，‎ 从而.‎ 故在上时增函数.‎ ‎（2）解：不等式，‎ 等价于，‎ 即.‎ 因为在上是增函数，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查利用定义证明函数的单调性，以及利用对数函数的单调性解不等式，属于一般题．‎ ‎20．已知sinα+cosα．‎ ‎（1）求sin2α的值；‎ ‎（2）若cos（2α+β），α∈[，]，β∈[0，]，求β的值．‎ ‎【答案】（1）sin2α（2）‎ ‎【解析】（1）把已知等式sinα+cosα两边平方，结合正弦的二倍角公式可得；‎ ‎（2）先确定角的范围，求出，然后由求出，从而可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵sinα+cosα，‎ ‎∴sin2α+2sinαcosα+cos2α，‎ ‎∴1+sin2α＝1，‎ ‎∴sin2α；‎ ‎（2）∵，∴2，‎ ‎∴cos2α，‎ ‎∵，∴，‎ 又cos（2α+β）0，故2，‎ ‎∴，‎ ‎∴cosβ＝cos（2α+β﹣2α）＝cos（2α+β）cos2α+sin（2α+β）sin2α，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式、两角和与差的余弦公式，解题时注意分析已知角和待求角的关系，以确定选用的公式．‎ ‎21．已知ω＞0，（2cos，sinωx+m），（cos，），设函数f（x）•（x∈R）且f（x）的周期为π．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）当x∈[0，]时，若f（x）的最大值与最小值之和为6，求m的值．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为（2）‎ ‎【解析】（1）由数量积的坐标运算求出，并用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，最后可根据正弦函数的单调性求出增区间；‎ ‎（2）确定在上的单调性，得最大值和最小值，由最大值与最小值之和为6可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）‎ ‎∵f（x）的周期为π，ω＞0，‎ ‎∴，解得ω＝2，‎ ‎∴，‎ 令，则，k∈Z，‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为；‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（x）max+f（x）min，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式、两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和最值．按照题意按部就班地计算即可得解．本题属于中档题．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)当时，求方程的解；‎ ‎(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，由指数方程的解法即可得到所求解；‎ ‎（2）由题意可得，设，，，可得，即有，由对勾函数的单调性可不等式右边的最大值，进而得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）方程，即为，‎ 即有，所以或，‎ 解得或；‎ ‎（2）若，不等式恒成立 可得，即，‎ 设，，可得，‎ 即有，‎ 由在递增，可得时取得最大值，‎ 即有．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数方程的解法和不等式恒成立问题的解法，注意运用换元法和参数分离法，结合对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．‎