天津市耀华中学2019-2020学年高二上学期开学学情调研数学试题

天津市耀华中学2019-2020学年高二上学期开学学情调研数学试题

天津耀华2019~2020学年度第一学期开学学情调研 高二年级数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.直线经过原点和(1，－1)，则的倾斜角是（ ）‎ A. 45° B. －45° C. 135° D. 45°和135°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率，然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值，再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数.‎ ‎【详解】直线l经过坐标原点和点，  直线l的斜率，  直线l的倾斜角， 所以C选项是正确的.‎ ‎【点睛】此题考查根据两点坐标求出过两点直线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角的关系，是一道基础题.‎ ‎2.已知过点的直线的斜率为，则等于（ ）‎ A. 10 B. ‎180 ‎C. 6 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线MN斜率求出a的值，再利用两点间的距离公式计算的值.‎ ‎【详解】过点，的直线斜率为， ‎ 解得， . 所以D选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题.‎ ‎3.设点，，直线过且与线段相交，则斜率的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，求出PA和PB的斜率，数形结合可得答案.‎ ‎【详解】如图， ，. 直线l的斜率k的取值范围为. 故答案为A.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.‎ ‎4.若光线从点射到y轴上，经y轴反射后经过点，则光线从点P到点Q 走过的路程为（ ）‎ A. 10 B. 5＋‎ C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 关于y轴的对称点，易知光线从点P到点Q走过的路程为.‎ ‎【详解】找到Q点关于y轴的对称点， 由对称性可知P，Q间距离等于间的距离， 求得.‎ 所以本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查求点关于y轴的对称点问题和两点间的距离公式，要求熟记公式，掌握数形结合的思想运用，属基础题.‎ ‎5.到直线的距离为2的直线方程是（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得解方程求出c值，即得所求的直线的方程．‎ ‎【详解】设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得 ‎，c=﹣11，或 c=9．∴到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y﹣11=0，或 3x﹣4y+9=0，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用．是基础题.‎ ‎6.若直线平行于直线，且在y轴上的截距为1，则的值分别为（ ）‎ A. 1和2 B. －1和2‎ C. 1和－2 D. －1和－2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线平行条件，可得，再将直线方程化为斜截式，利用截距为1可求n，从而得到结果.‎ ‎【详解】根据两直线平行条件，可得，直线方程，‎ 化斜截式得，根据截距可得，即，‎ 则.‎ 故本题正确答案为C.‎ ‎【点睛】本题主要考查求直线方程和直线平行的等价条件，两条直线平行，则斜率相等或者斜率都不存在，属基础题.‎ ‎7.若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.‎ ‎【详解】直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).‎ ‎【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.‎ ‎8.已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是(　　)‎ A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为 ,所以点M在圆上，选B.‎ ‎9.平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设所求直线为，‎ 由直线与圆相切得，‎ ‎，‎ 解得。所以直线方程为或。选A.‎ ‎10.已知圆C的圆心是直线与直线的交点，直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立两个直线方程求出圆心，再求出圆心到直线的距离和半弦长，从而运用勾股定理求出半径即可得到结果.‎ ‎【详解】根据题意：圆的圆心是直线与直线的交点，则，解得，因此圆心，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，因为弦长为，所以，所以圆的方程为.‎ 故本题正确答案为A.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系常用以下处理方法：‎ ‎（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；‎ ‎（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；‎ ‎（3）直线与圆相离时，当过圆心作直线的垂线时长度最小.‎ ‎11.已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是 ‎，则等于（ ）‎ A. －1 B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两条直线平行，及两条平行线间的距离公式，可得方程组，解之即可得到结论.‎ ‎【详解】直线与直线平行且两者之间的距离是，‎ ‎，(负值舍去)， . 所以B选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查两条平行线间距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知直线，圆，若对任意，存在被C截得的弦长为2，则实数m的最大值是（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，圆心到的距离，由此可得，即，解之即可求得m的最大值.‎ ‎【详解】由题意可得，圆心到的距离，‎ 即，，，，‎ 解得或，故实数m的最大值是，‎ 故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，直线与圆的位置关系常用以下处理方法：‎ ‎（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；‎ ‎（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；‎ ‎（3）直线与圆相离时，当过圆心作直线的垂线时长度最小.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.过点(－2，－3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为____________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论，当直线过原点，即截距都为零，易得直线方程；当直线不过原点，由截距式，设出直线方程，把P点坐标代入，能求出结果.‎ ‎【详解】当直线过原点，即截距都为零时， 直线经过原点，， 直线方程为， 整理得直线方程为； 当直线不过原点，根据截距式，设直线方程为， 把代入，得，则直线方程为. 故答案为:或.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用.‎ ‎14.过两直线和的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线方程可求出直线的交点坐标，若所求直线的斜率不存在，则可根据交点坐标得到所求直线的方程，然后验证原点到此方程的距离是否等于即可；若直线斜率不存在时，根据点斜式写出直线方程，然后根据原点到直线的距离等于就可求出直线的斜率，据此可得到满足题意的直线的方程.‎ ‎【详解】联立可得交点为.‎ 当直线斜率不存在时，x=，到原点的距离等于，符合题意；‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线与原点的最短距离为，所以，解得，所以所求直线的方程为.‎ 所以本题答案为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查求两条直线交点坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.‎ ‎15.圆上的点到直线的距离的最小值是 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：圆的圆心为，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值是5-1=4‎ 考点：直线和圆的位置关系 ‎16.已知，，点在圆上运动，那么的最小值是_______．‎ ‎【答案】26‎ ‎【解析】‎ 分析：设，已知，，用两点间的距离公式可得。由点在圆上运动，可得，用三角换元可得，代入，化简可得三角函数关系式，利用辅助角公式化成一个角的三角函数，进而求其最小值。‎ 详解：设。因为点在圆上运动，‎ 所以。‎ 所以 ‎ 因为 ，，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中 ‎ 当时，取得最小值 。‎ 点睛：⑴ 对于，求其最值时，可利用辅助角公式化成，然后利用三角函数的性质可求其最值。‎ ‎ ⑵ 当满足，求有关的关系式的最值时，可用三角换元，设，然后利用辅助角公式，用正弦、余弦函数的性质解决问题。‎ 三、解答题（本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知直线l经过点，其倾斜角为.‎ ‎(1)求直线l的方程；‎ ‎(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：（1）因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率为，‎ 因为直线过点（0，-2），根据直线方程斜截式或点斜式可知直线方程为. ……6分（2）在直线方程中令，令，‎ 根据三角形的面积公式可知……12分 考点：本小题主要考查直线方程的求解和应用.‎ 点评：直线方程有五种形式，利用时要根据条件灵活选择，还要注意各种直线方程的适用条件.‎ ‎18.在平面直角坐标系中，已知点，直线设圆C的半径为1，圆心在直线l上.‎ ‎（1）若圆心C也在直线上，过点作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆C上存在点M，使得，求圆心C的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】（1）所求切线方程为或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得圆心，再根据半径为1，可得圆的方程.分类讨论斜率不存在和存在时的情况，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程；  （2）可设圆心 ，设点，则由可得，设此圆为圆D，由题意可得，圆C和圆D有交点，故两圆相交，由此有，解之可得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题设，知圆心C是直线和的交点，‎ 所以点C的坐标为，圆C的方程为，‎ 当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为，满足条件；‎ 当过点的切线的斜率存在时，‎ 设切线方程为，‎ 由题意得，解得，‎ 所以切线方程为.‎ 故所求切线方程为或.‎ ‎（2）因为圆心C在直线上，‎ 所以设点C的坐标为，‎ 圆C的方程为，‎ 设点，因为，‎ 所以，‎ 化简得，即，‎ 所以点M在以点为圆心，2为半径的圆上.‎ 由题意，点在圆C上，‎ 所以圆C与圆D有公共点，‎ 则，即，‎ 解得.‎ 所以圆心C的横坐标的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆相切的等价条件和圆与圆相交的等价条件是解题的关键，此题属综合性较强的中档题.‎ ‎ ‎