2017-2018学年四川省石室中学高二上学期半期考试数学（理）试题

2017-2018学年四川省石室中学高二上学期半期考试数学（理）试题

成都石室中学高二2017—2018学年度上期半期考试 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若抛物线的准线方程为，焦点坐标为，则抛物线的方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．不存在，‎ ‎3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.三棱锥中，点，分别在，上，且，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎6.将曲线按：变换后的曲线的参数方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，分别为，的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线与直线异面；②直线与直线异面；③直线平面；④平面平面．‎ 其中一定正确的选项是（ ）‎ A．①③ B．②③ C．②③④ D．①③④ ‎ ‎9.椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，那么的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.“”是“对任意的正数，”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎11.如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么实数的值是（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在极坐标系中，已知两点，，则，两点间的距离为 ．‎ ‎14.若，，则实数的取值范围为 ．‎ ‎15.已知椭圆：的右焦点为，为直线上一点，线段交于点，若，则 ．‎ ‎16.四棱锥中，面，是平行四边形，，，点为棱的中点，点在棱上，且，平面与交于点，则异面直线与所成角的正切值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：交于不同的两点，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．‎ ‎18.已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎19.已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为6．‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值．‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．‎ ‎21.如图，椭圆上的点到左焦点的距离最大值是，已知点在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点且斜率为的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交椭圆于另一点．证明：对任意的，点恒在以线段为直径的圆内．‎ ‎22.已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点，在曲线上，若直线，的斜率分别是，，满足，求面积的最大值．‎ 成都石室中学高2019届2017—2018学年度上期半期考试数学试题（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.4 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为，‎ ‎∴直线的极坐标为，即．‎ ‎18.解：命题：由题得，又，解得；‎ 命题：，解得．‎ ‎（1）若，命题为真时，，‎ 当为真，则真且真，‎ ‎∴解得的取值范围是．‎ ‎（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，‎ 设，，则；‎ ‎∴∴实数的取值范围是．‎ ‎19.解：（1）由题意设抛物线方程为（），其准线方程为，‎ ‎∵到焦点的距离等于到其准线的距离，∴，∴，‎ ‎∴此抛物线的方程为．‎ ‎（2）由消去得，‎ ‎∵直线与抛物线相交于不同两点、，则有 解得且，‎ 由，解得或（舍去）．‎ ‎∴所求的值为2．‎ ‎20.（1）证明：在平行四边形中，因为，，所以．　‎ 由，分别为，的中点，得，所以.‎ 侧面底面，且，底面. ‎ 又因为底面，所以．‎ 又因为，平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）解：因为底面，，所以，，两两垂直，故以，，分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，‎ 设（），则，所以，则 ‎，‎ 易得平面的法向量．‎ 设平面的法向量为，‎ 由，，得令，得．‎ 因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，‎ 所以，即，所以，‎ 解得，或（舍）．‎ 综上可得，.‎ ‎21.解：（1）由题可知解得∴椭圆的方程是．‎ ‎（2）令，，则，，∴，‎ 直线的方程为，代入整理得，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴对任意，点恒在以线段为直径的圆内．‎ ‎22.解：（1）圆：的圆心为，半径为，‎ 点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，‎ 所以动圆与圆内切，设动圆半径为，则．‎ 因为动圆经过点，所以，，‎ 所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆．‎ 由，，得，所以曲线的方程为.‎ ‎（2）直线斜率为0时，不合题意；‎ 设，，直线：，‎ 联立方程组得 ‎，‎ ‎，，‎ 由知 ‎，‎ 且，代入化简得，解得，‎ 故直线过定点，‎ 由，解得，（当且仅当时取等号）．‎ 综上，面积的最大值为.‎