2017-2018学年福建省三明市三地三校高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年福建省三明市三地三校高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年福建省三明市三地三校高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）命题“若f（x）是奇函数，则f（﹣x）是奇函数”的否命题是（　　）‎ A．若f（x）是偶函数，则f（﹣x）是偶函数 B．若f（x）不是奇函数，则f（﹣x）不是奇函数 C．若f（﹣x）是奇函数，则f（x）是奇函数 D．若f（﹣x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数 ‎2．（5分）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n∈N，2n＜1000‎ ‎4．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+=1‎ C．+=1 D．+=1‎ ‎5．（5分）若双曲线x2﹣ky2=1的一个焦点是（3，0），则实数k=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞‎ ‎0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（　　）‎ A． B． C．a D．b ‎7．（5分）已知f（x）=xα，若f'（﹣1）=﹣4，则α等于（　　）‎ A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5‎ ‎8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（　　）‎ A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0‎ ‎9．（5分）函数f（x）=的单调递减区间是（　　）‎ A．[0，1] B．[1，+∞） C．[0，e] D．[e，+∞）‎ ‎10．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎11．（5分）已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=﹣1相切，则此动圆必过定点（　　）‎ A．（2，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）‎ ‎12．（5分）已知函数，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（　　）‎ A． B．‎ C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．（﹣1，3）‎ ‎　‎ 二、本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）命题“若x=5，则x2﹣8x+15=0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有　 　个．‎ ‎14．（5分）已知点（2，3）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为　 　．‎ ‎15．（5分）函数y=f（x）在定义域（﹣，3）内的图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式f'（x）≤0的解集为　 　．‎ ‎16．（5分）已知p（x）：x2+2x﹣m＞0，且p（1）是假命题，p（2）是真命题，则实数m的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，第17、18题10分，19-21小题各为12分，22题14分.解答应写出文字说明、证明过程和推演步骤．‎ ‎17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2．求实数a，b的值．‎ ‎18．（10分）在一次投篮训练中，小明连续投了2次．设命题p是“第一次投中”，命题q是“第二次投中”．‎ 试用p，q以及逻辑联结词“∧，∨，﹁”表示下列命题：‎ ‎（1）两次都没投中；‎ ‎（2）两次都投中了；‎ ‎（3）恰有一次投中；‎ ‎（4）至少有一次投中；‎ ‎（5）至多有一次投中．‎ ‎19．（12分）抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．‎ ‎20．（12分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．‎ ‎21．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．‎ ‎（1）写出C的方程； ‎ ‎（2）若⊥，求k的值．‎ ‎22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年福建省三明市三地三校高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）命题“若f（x）是奇函数，则f（﹣x）是奇函数”的否命题是（　　）‎ A．若f（x）是偶函数，则f（﹣x）是偶函数 B．若f（x）不是奇函数，则f（﹣x）不是奇函数 C．若f（﹣x）是奇函数，则f（x）是奇函数 D．若f（﹣x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数 ‎【分析】用否命题的定义来判断．‎ ‎【解答】解：否命题是同时否定命题的条件结论，故由否命题的定义可知B项是正确的．‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查否命题的概念，注意否命题与命题否定的区别．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【分析】先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案．‎ ‎【解答】解：当“a=1”时，“|a|=1”成立 即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题 但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立 即“|a|=1”时，“a=1”为假命题 故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件 故选A ‎【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n∈N，2n＜1000‎ ‎【分析】利用含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定，写出命题的否定．‎ ‎【解答】解：∵命题p：∃n∈N，2n＞1000，‎ 则￢p为∀n∈N，2n≤1000‎ 故选A ‎【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将“任意”与“存在”互换；结论否定即可．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+=1‎ C．+=1 D．+=1‎ ‎【分析】根据椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，可得椭圆的焦点在x轴上，c=5，a=13，从而可求b，即可求出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，‎ ‎∴椭圆的焦点在x轴上，c=5，a=13，‎ ‎∴b==12，‎ ‎∴椭圆的方程为+=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若双曲线x2﹣ky2=1的一个焦点是（3，0），则实数k=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】化双曲线方程为标准方程，利用隐含条件求得c，结合焦点坐标为（3，0）列式求得k值．‎ ‎【解答】解：由双曲线x2﹣ky2=1，得，‎ ‎∵（3，0）是双曲线的一个焦点，可知双曲线为焦点在x轴上的双曲线，‎ 则，‎ ‎∴=9，‎ 解得：k=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（　　）‎ A． B． C．a D．b ‎【分析】由于双曲线的焦点在x轴上，所以其右焦点坐标为（c，0），渐近线方程为y=±x，则满足要求的圆的半径为右焦点到渐近线的距离，因此只需根据点到线的距离公式求之即可．‎ ‎【解答】解：由题意知，圆的半径是右焦点（c，0）到其中一条渐近线的距离，‎ 所以R=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的性质，同时考查点到线的距离公式等．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知f（x）=xα，若f'（﹣1）=﹣4，则α等于（　　）‎ A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5‎ ‎【分析】求函数导数，建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：函数的导数f′（x）=αxα﹣1，‎ ‎∵f′（﹣1）=﹣4，‎ ‎∴f′（﹣1）=α（﹣1）α﹣1=﹣4，‎ 则α=4，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据导数公式建立方程是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）与直线4x﹣y+3=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是（　　）‎ A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0‎ ‎【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x处的导数等于切线的斜率，建立等式，求出x的值，从而求出切点坐标，最后将切线方程写出一般式即可．‎ ‎【解答】解：∵y=2x2 ∴y'=4x，‎ ‎∵直线4x﹣y+3=0的斜率为4，‎ 由4x=4得x=1，‎ 当x=1时，代入抛物线方程得y=2，‎ ‎∴切点坐标为（1，2）‎ ‎∴与直线4x﹣y+3=0的平行的抛物线y=2x2的切线方程是 y﹣2=4（x﹣1）‎ 即4x﹣y﹣2=0‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查化归与转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数f（x）=的单调递减区间是（　　）‎ A．[0，1] B．[1，+∞） C．[0，e] D．[e，+∞）‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．‎ ‎【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）==，‎ 令f′（x）≤0，解得：x≥e，‎ 故函数在[e，+∞）递减，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎【分析】直线y=kx﹣k+1恒过点（1，1），且在椭圆的内部，由此可得直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：直线y=kx﹣k+1可化为y=k（x﹣1）+1，所以直线恒过点（1，1）‎ ‎∵‎ ‎∴（1，1）在椭圆的内部 ‎∴直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是相交 故选A．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，确定直线恒过定点，且在椭圆的内部是关键．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=﹣1相切，则此动圆必过定点（　　）‎ A．（2，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）‎ ‎【分析】由抛物线的方程可得直线x=﹣1即为抛物线的准线方程，结合抛物线的定义得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，‎ 因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，‎ 所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，‎ 所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（　　）‎ A． B．‎ C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．（﹣1，3）‎ ‎【分析】注意函数在定义域内是奇函数且是单调增函数，将不等式等价转化后，利用单调性来解．‎ ‎【解答】解：函数 在定义域内是奇函数且是单调增函数，不等式即：f（2﹣x2）＞f（﹣2x﹣1），‎ ‎∴2﹣x2＞﹣2x﹣1，即：x2﹣2x﹣3＜0，‎ ‎∴﹣1＜x＜3，‎ 故答案选D．‎ ‎【点评】本题中，函数表达式只说明函数是奇函数，且是增函数，没有必要根据f（x）的解析式求f（2﹣x2）和f（2x+1）得解析式．‎ ‎　‎ 二、本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）命题“若x=5，则x2﹣8x+15=0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有　2　个．‎ ‎【分析】根据逆否命题的等价性，四种命题之间的关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若x=5，则x2﹣8x+15=52﹣8×5+15=0，‎ 则原命题为真命题，则逆否命题为真命题，‎ 逆命题：若x2﹣8x+15=0，则x=5，为假命题，由x2﹣8x+15=0，则x=5或x=3，‎ 即逆命题为假命题，则否命题为假命题，‎ 则四种命题中真命题的个数为2个．‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】根据四种命题之间的关系，结合逆否命题的等价性进行判断即可．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知点（2，3）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为　2　．‎ ‎【分析】根据：﹣=1判断该双曲线的焦点在x轴上，且C的焦距为4，可以求出焦点坐标，根据双曲线的定义可求a，利用离心率的公式即可求出它的离心率．‎ ‎【解答】解：∵﹣=1，C的焦距为4，‎ ‎∴F1（﹣2，0），F2（2，0），‎ ‎∵点（2，3）在双曲线C上，‎ ‎∴2a==2，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴e==2．‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】此题是个基础题．考查双曲线的定义和标准方程以及简单的几何性质，同时也考查了学生的运算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）函数y=f（x）在定义域（﹣，3）内的图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f'（x），则不等式f'（x）≤0的解集为　[﹣，1]∪[2，3）　．‎ ‎【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系，导数小于等于0时原函数单调递减，由函数的图象分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，不等式f'（x）≤0‎ 求函数的导数小于等于0的范围，即求函数的单调减区间，‎ 结合图象有x的取值范围为[﹣，1]∪[2，3）；‎ 即不等式的解集为[﹣，1]∪[2，3）；‎ 故答案为：[﹣，1]∪[2，3）．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，注意有函数的单调性分析函数导数的符号．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知p（x）：x2+2x﹣m＞0，且p（1）是假命题，p（2）是真命题，则实数m的取值范围为　[3，8）　．‎ ‎【分析】由p（1）是假命题，p（2）是真命题，我们分别将x=1，x=2代入即可构造关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：因为p（1）是假命题，‎ 所以1+2﹣m≤0，‎ 解得m≥3，又因为p（2）是真命题，‎ 所以4+4﹣m＞0，‎ 解得m＜8，‎ 所以实数m的取值范围是3≤m＜8．‎ 故答案为：[3，8）‎ ‎【点评】本题考查了若p为真命题时，参数a的范围是A，则p为假命题时，参数a的范围是CRA．这属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，第17、18题10分，19-21小题各为12分，22题14分.解答应写出文字说明、证明过程和推演步骤．‎ ‎17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2．求实数a，b的值．‎ ‎【分析】根据题意，由函数的解析式对其求导可得f′（x）=x2﹣2x+a，由导数的几何意义可得f′（0）=a=3，可得a的值，又由切线的性质分析f（0）=×03﹣02+a×0+b=3×0﹣2，解可得b的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，其导数为f′（x）=x2﹣2x+a，‎ 其图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，‎ 则f′（0）=a=3，即a=3，‎ 又P（0，f（0））既在曲线f（x）上，又在切线y=3x﹣2上，‎ 则f（0）=×03﹣02+a×0+b=3×0﹣2，即b=﹣2；‎ 故a=3，b=﹣2．‎ ‎【点评】本题考查利用导数求曲线的切线方程，注意正确求出函数的导数，理解导数的几何意义．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）在一次投篮训练中，小明连续投了2次．设命题p是“第一次投中”，命题q是“第二次投中”．‎ 试用p，q以及逻辑联结词“∧，∨，﹁”表示下列命题：‎ ‎（1）两次都没投中；‎ ‎（2）两次都投中了；‎ ‎（3）恰有一次投中；‎ ‎（4）至少有一次投中；‎ ‎（5）至多有一次投中．‎ ‎【分析】根据复合命题以及逻辑联结词的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：依题意及逻辑联结词的意义，‎ ‎（1）两次没投中可表示为（﹁p）∧（﹁q）；…（2分）‎ ‎（2）两次都投中了可表示为p∧q；…（4分）‎ ‎（3）恰有一次投中可表示为[p∧（﹁q）]∨[（﹁p）∧q]；…（6分）‎ ‎（4）至少有一次投中可表示为p∨q；…（8分）‎ ‎（5）至多有一次投中可表示为﹁（p∧q）…（10分）‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题以及逻辑联结词的应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．‎ ‎【分析】当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），写出直线方程，与抛物线方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求得p，则抛物线方程可求；同理求得开口向左时的抛物线方程．‎ ‎【解答】解：如图，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），‎ 则直线方程为y=﹣x+p，‎ 设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，‎ 即x1++x2+=8．①‎ 又A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，‎ 由消去y，得x2﹣3px+=0，‎ ‎∴x1+x2=3p．将其代入①，得p=2．‎ ‎∴所求抛物线方程为y2=4x；‎ 当抛物线方程设为y2=﹣2px时，‎ 同理：可求得抛物线方程为y2=﹣4x．‎ ‎【点评】本题考查抛物线标准方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．‎ ‎【分析】（1）先求函数的导函数，然后根据1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+‎ bx的两个极值点，则f'（1）=0，f'（﹣1）=0，建立方程组，解之即可求出a与b的值；‎ ‎（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函数的单调性，从而函数的g（x）的极值点．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．‎ ‎∵1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，‎ ‎∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（﹣1）=3﹣2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．‎ ‎（2）∵由（1）得，f（x）=x3﹣3x，‎ ‎∴g'（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=﹣2．‎ ‎∵当x＜﹣2时，g'（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g'（x）＞0，‎ ‎∴x=﹣2是g（x）的极值点．‎ ‎∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．‎ ‎∴g（x）的极值点是﹣2．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．‎ ‎（1）写出C的方程； ‎ ‎（2）若⊥，求k的值．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的定义求出C的方程即可；‎ ‎（2）联立直线和椭圆，根据韦达定理以及向量的垂直关系得到关于k的方程，求出k的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，‎ 点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．‎ 它的短半轴b==1，‎ 故曲线C的方程为x2+=1．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 其坐标满足，‎ 消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，‎ 故x1+x2=﹣，x1x2=﹣，‎ 若⊥，即x1x2+y1y2=0．‎ 而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，‎ 于是x1x2+y1y2=﹣﹣﹣+1=0，‎ 化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．‎ ‎【点评】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．‎ ‎【分析】（1）由已知得f′（x）=﹣3x2+6x+9，由此能求出f（x）的单调区间．‎ ‎（2）由f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=﹣1或x=3（舍），由此利用已知条件能求出它在区间[﹣2，2]上的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=﹣3x2+6x+9，‎ 令f′（x）＜0，解得x＜﹣1，或x＞3，‎ ‎∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），‎ 单调递増区间为（﹣1，3），‎ ‎（2）∵f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，‎ f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，‎ ‎∴f（2）＞f（﹣2），‎ ‎∵在（﹣1，3）上f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（﹣1，2]上单调递增，‎ 又由于f（x）在[﹣2，﹣1）上单调递减，‎ ‎∴f（﹣1）是f（x）的极小值，且f（﹣1）=a﹣5，‎ ‎∴f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2，‎ ‎∴f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2．‎ ‎∴f（﹣1）=a﹣5=﹣7，‎ 即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ ‎　‎