2018-2019学年安徽省安庆市第二中学高二下学期开学考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年安徽省安庆市第二中学高二下学期开学考试数学（理）试题 Word版

安庆二中2018-2019学年度第二学期高二年级开学检测 理科数学试题 一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题“∃x0∈R，x＞‎1”‎否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x＞1 B．∃x0∈R，x0≤‎1 ‎C．∀x∈R，x≤1 D．∃x0∈R，x0＜1‎ ‎2．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3．双曲线﹣x2＝1过点（，4），则它的渐近线方程为（　　）‎ A．y＝±2x B．y＝x C．y＝±4x D．y＝x ‎4.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学。“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（ ）‎ A. 4 B． ‎5 C． 6 D．7‎ ‎5．设x∈R，则“2﹣x≥‎0”‎是“|x﹣1|≤‎1”‎的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．既不充分也不必要条件 ‎ C．充要条件 D．必要而不充分条件 ‎6．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据 ‎ 的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（　　）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎7．如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝（　　）‎ A．﹣ ++ B． ﹣+ ‎ C． +﹣ D． +﹣‎ ‎8．若在区间内任取一个实数，则使直线与圆 ‎ 有公共点的概率为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎9．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线﹣y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|＝2，则△PF‎1F2的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎11．若动圆与圆（x﹣3）2+y2＝1外切，又与直线x+2＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　）‎ A．y2＝12x B．y2＝﹣12x C．y2＝6x D．y2＝﹣6x ‎12．已知椭圆M： +y2＝1，圆C：x2+y2＝6﹣a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为（　　）‎ A．（1，6） B．（1，5） C．（3，6） D．（3，5）‎ 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题．“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人．则西乡遣　　人”．‎ ‎14．若椭圆的方程为+＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝　　　．‎ ‎15．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为__________．‎ ‎16．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，记点P到点A（﹣1，1）的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和的最小值为M，若B（3，2），记|PB|+|PF|的最小值为N，则M+N＝　 　．‎ 三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）设命题p：函数f（x）＝lg（+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）＝﹣2ax﹣1在（﹣∞，1]上单调递减．‎ ‎（Ⅰ）命题p为真命题时，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围。‎ ‎18．（12分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于‎6米为不合格，成绩在6至‎8米（含‎6米不含‎8米）的为及格，成绩在‎8米至‎12米（含‎8米和‎12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过‎12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在‎10米到‎12米之间．‎ ‎（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；‎ ‎（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；‎ ‎（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．‎ ‎19．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF＝3．‎ ‎（1）求证：AC⊥平面BDE；‎ ‎（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．‎ ‎（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）如果＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．‎ ‎21．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥CD．将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P﹣BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD，‎ ‎（Ⅰ）证明：PB⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）若AD＝2，当PC和平面PBD所成角的正切值为时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D﹣PC﹣E平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）已知椭圆+＝1经过点P（，），离心率是，动点M（2，t）（t＞0）‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2的圆的方程；‎ ‎（3）设F是椭圆的右焦点，过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON长是定值，并求出定值．‎ ‎ ‎ 安庆二中2018-2019学年度第二学期高二年级开学检测 理科数学试题答案 ‎1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以命题“∃x0∈R，x＞‎1”‎否定是∀x∈R，x≤1．故选：C．‎ ‎2．【解答】解：根据题意，易得k+＝k（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣＝2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2）．‎ ‎∵两向量垂直，‎ ‎∴3（k﹣1）+2k﹣2×2＝0．∴k＝，故选：D．‎ ‎3．【解答】解：双曲线﹣x2＝1过点（，4），可得，解得a＝4，‎ 由其渐近线方程为y＝±2x，故选：A．‎ ‎4.解：依流程框图得6, 选C ‎5．【解答】解：解一元一次不等式2﹣x≥0得x≤2，‎ 解绝对值不等式|x﹣1|≤1得：0≤x≤2，‎ 又“x≤2”是“0≤x≤‎2”‎的必要不充分条件，‎ 即“2﹣x≥‎0”‎是“|x﹣1|≤‎1”‎的必要不充分条件，故选：D．‎ ‎6．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，‎ 解这个方程组需要用一些技巧，‎ 因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，‎ 设x＝10+t，y＝10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8得t2＝4；‎ ‎∴|x﹣y|＝2|t|＝4，故选：D．‎ ‎7．【解答】解：＝，‎ ‎＝+﹣+，‎ ‎＝++﹣，‎ ‎＝﹣++，‎ ‎∵＝，＝，＝，‎ ‎∴＝﹣++，故选：A．‎ ‎8．C ‎9．【解答】解：设椭圆方程为，（a＞b＞0）‎ ‎∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，‎ ‎∴焦距‎2c＝AB，其中c＝＞0‎ ‎∵BC⊥AB，且BC＝AB＝‎‎2c ‎∴AC＝＝2c 根据椭圆的定义，可得‎2a＝AC+BC＝2c+‎‎2c ‎∴椭圆的离心率e＝＝＝＝，故选：A．‎ ‎10．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的a＝，b＝1，‎ c＝＝2，‎ 可设P在右支上，‎ 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2，‎ 又|PF1|+|PF2|＝2，‎ 两式平方相加可得，|PF1|2+|PF2|2＝16，‎ 而|F‎1F2|2＝‎4c2＝16，‎ 则有|PF1|2+|PF2|2＝|F‎1F2|2，‎ 即有△PF‎1F2为直角三角形，‎ 即有△PF‎1F2的面积为|PF1|•|PF2|＝（）×（）＝1．故选：C．‎ ‎11．【解答】解：根据题意，设动圆的圆心为M，其半径为r，‎ 若动圆与圆（x﹣3）2+y2＝1外切，则M到（3，0）的距离为r+1，‎ 又由动圆与直线x+2＝0相切，则M到直线x＝﹣2的距离为r，则M到直线x＝﹣3的距离为r+1，‎ 则M到点（3，0）的距离与到直线x＝﹣3的距离相等，‎ 则M的轨迹为以（3，0）为焦点，x＝﹣3为准线的抛物线，‎ 则该抛物线的方程为y2＝12x，‎ 动圆圆心的轨迹为y2＝12x，故选：A．‎ ‎12．【解答】解：设P（x0，y0），‎ 由椭圆M： +y2＝1，圆C：x2+y2＝6﹣a2在第一象限有公共点P，‎ 当焦点在x轴时，即a＞1时，‎ 则，解得：3＜a2＜5，‎ 当焦点在y轴，即0＜a＜1时，显然圆与椭圆无交点，‎ 圆x2+y2＝6﹣a2在P点的切线方程为x0x+y0y＝6﹣a2，则切线斜率k1＝﹣，‎ 椭圆M： +y2＝1在P点的切线方程为，则切线斜率k2＝﹣，‎ 则＝a2，‎ ‎∴的取值范围（3，5），故选：D．‎ ‎13．【解答】解：今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，‎ 凡三乡，发役四百八十七人．‎ 则西乡遣：487×＝145．故答案为：145．‎ ‎14．【解答】解：∵椭圆的焦距为4．‎ ‎∴‎2c＝4，即c＝2‎ ‎∵在椭圆中，a2＝b2+c2‎ ‎①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）＝4‎ 解得：a＝4．‎ ‎②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）＝4‎ 解得：a＝8，故答案为：4或8．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】设爸爸到家时间为，快递员到达时间为，‎ 以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，‎ 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：‎ 根据题意，所有基本事件构成的平面区域为，面积，‎ 爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为，‎ 直线与直线和交点坐标分别为和，‎ ‎，‎ 由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：．故答案为．‎ ‎16．【解答】解：如下图所示，‎ 过点P作PG垂直于直线x＝﹣1，垂足为点G，由抛物线的定义可得|PG|＝|PF|，‎ 所以，点P到直线x＝﹣1的距离为|PG|，所以，，‎ 当且仅当A、P、F三点共线时，|PA|+|PG|取到最小值，即．‎ 如下图所示，‎ 过点P作直线PH垂直于直线x＝﹣1，垂足为点H，由抛物线的定义可得|PH|＝|PF|，‎ 点B到直线x＝﹣1的距离为d＝4，‎ 所以，|PB|+|PF|＝|PB|+|PH|≥4，当且仅当B、P、H三点共线时，等号成立，即N＝4，‎ 因此，．‎ 故答案为：．‎ ‎17．【解答】解：（Ⅰ）当p为真时：即函数f（x）的定义域为R，‎ 即x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，‎ 所以△＝a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2；‎ ‎（Ⅱ）当q为真时，由二次函数的单调性得：a≥1，‎ 又命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，‎ 则p、q一真一假，‎ 或，解得：﹣2＜a＜1或a≥2．‎ ‎18．【解答】解：（1）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2＝1，解得a＝0.05．‎ 所以此次测试总人数为＝40．‎ 答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． ‎ ‎（2）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2＝0.4，‎ 则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4． ‎ ‎（3）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．‎ 由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h．‎ 从这8人中随机抽取2人共28种情况ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，cd，ce，cf，cg，ch，de，df，dg，dh，ef，eg，eh，fg，fh，gh，‎ 事件A包括共12种情况．ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，‎ 所以事件A的概率P＝＝．‎ 答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率．‎ ‎19．【解答】证明：（1）因为DE⊥平面ABCD，‎ 所以DE⊥AC． 因为ABCD是正方形，‎ 所以AC⊥BD，‎ 因为DE∩BD＝D，从而AC⊥平面BDE．‎ 解：（2）因为DA、DC、DE两两垂直，‎ 所以建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示．‎ 因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，‎ 所以．‎ 由AD＝3，知DE＝3，AF＝．‎ 则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），‎ 所以＝（0，﹣3，），＝（3，0，﹣2），‎ 设平面BEF的法向量为＝（x，y，z），‎ 则，即，‎ 令z＝，则＝（4，2，）．‎ 因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，＝（3，﹣3，0），‎ 所以cos＜＞＝＝＝．‎ 因为二面角为锐角，‎ 所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．‎ ‎20．【解答】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）‎ 设l：x＝ty+1代入抛物线y2＝4x消去x得，‎ y2﹣4ty﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4‎ ‎∴＝x1x2+y1y2＝（ty1+1）（ty2+1）+y1y2‎ ‎＝t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2‎ ‎＝﹣4t2+4t2+1﹣4＝﹣3．‎ ‎（Ⅱ）设l：x＝ty+b代入抛物线y2＝4x，消去x得 y2﹣4ty﹣4b＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4b ‎∴＝（ty1+b）（ty2+b）+y1y2‎ ‎＝t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2‎ ‎＝﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b＝b2﹣4b 令b2﹣4b＝﹣4，∴b2﹣4b+4＝0∴b＝2．‎ ‎∴直线l过定点（2，0）．‎ ‎21．【解答】解：（1）证明：∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，‎ 又BD⊥DC，∴DC⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴DC⊥PB，‎ 又∵折叠前后均有PD⊥PB，DC∩PD＝D，‎ ‎∴PB⊥平面PDC． ‎ ‎（2）由（1）知DC⊥平面PBD，即∠CPD为线面角，‎ 所以，解得，又∵△ABD ‎∽△DCB，‎ ‎∴，‎ 令AB＝a即，解得a＝2，即AB＝2‎ 如图所示，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，‎ 过点D垂直平面BCD为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 所以D（0，0，0），，，‎ 设E（t，0，0），‎ 则，，，‎ 设平面PCD的法向量为＝（x1，y1，z1），则，‎ 即，解得＝（1，0，﹣1）‎ 设平面PCE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，‎ 即，解得＝‎ ‎∴‎ 整理得，解得，（不合题意，舍去） ‎ 即E为BD的四等分点，且．‎ ‎ 22．【解答】解：（1）∵椭圆+＝1经过点P（，），‎ 离心率是，∴椭圆方程设为，把点P（，）代入，‎ 得，解得4k2＝2，‎ ‎∴椭圆的标准方程是．‎ ‎（2）以OM为直径的圆的圆心是（1，），半径r＝，‎ 方程为，‎ ‎∵以OM为直径圆直线3x﹣4y﹣5＝0截得的弦长为2，‎ ‎∴圆心（1，）到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离d＝，‎ ‎∴，‎ 解得t＝4，∴所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．‎ ‎（3）设N（x0，y0），点N在以OM为直径的圆上，‎ 所以x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）＝0，即：x02+y02＝2x0+ty0，‎ 又N在过F垂直于OM的直线上，所以，‎ 即2x0+ty0＝2，‎ 所以．‎