2017-2018学年湖北省黄石市第三中学高二10月月考数学（理）试题

2017-2018学年湖北省黄石市第三中学高二10月月考数学（理）试题

2017-2018 学年湖北省黄石市第三中学高二 10 月月考 数学试卷（理科） 一．选择题（共 12 小题） 1．已知函数 f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5，用秦九韶算法计算，当 x=5 时，V3=（　　） A．27 B．36 C．54 D．179 2．若函数 f（x）=x3+x2﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据 如下表： f（1）=﹣2 f（1.5）=0.625 f（1.25）=﹣0.984 f（1.375）=﹣0.260 f（1.438）=0.165 f（1.4065）=﹣0.052 那么方程 x3+x2﹣2x﹣2=0 的一个近似根可以为（精度为 0.1）（　　） A． 1.2 B．1.3 C．1.43 D．1.5 3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1524 石， 验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（　　） A．1365 石 B．338 石 C．168 石 D．134 石 4．平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是（　　） A．2x+y+5=0 或 2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0 或 2x+y﹣ =0 C．2x﹣y+5=0 或 2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0 或 2x﹣y﹣ =0 5．总体编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个体， 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的 第 5 个个体的编号为（　　） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．07 C．02 D．01 6．若圆 C1：x2+y2=1 与圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 外切，则 m=（　　） A．21 B．19 C．9 D．﹣11 7．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 1000 人、高二 1200 人、高三 n 人中，抽取 81 人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为 30，那么 n=（　　） A．860 B．720 C．1020 D．1040 8．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经 y 轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1 相切，则反射 光线所在直线的斜率为（　　） A．﹣ 或﹣ B．﹣ 或﹣ C．﹣ 或﹣ D．﹣ 或﹣ 9．在圆 x2+y2﹣2x﹣6y=0 内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为（　　） A． B． C． D． 10．右边程序框图的功能是求出 的值，则框图中①②两处应 分别填写的是（　　） A．i≥1，a B．i≥1，a﹣6 C．i＞1，a D．i＞1，a﹣6 11．执行如图所示的程序框图，若输入的 x，y∈R，那么输出 的 S 的最大值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12．函数 y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到 n（n≥2）个不同的数 x 1， x2，…，xn，使得 =…= ，则 n 的取值范围是（　　） A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3} 　 二．填空题（共 4 小题） 13．在不同的进位制之间的转化中，若 132（k）=42（10），则 k=　 　． 14．已知△ABC 的三个顶点为 A（1，﹣2，5），B（﹣1，0，1），C（3，﹣4，5），则边 BC 上 的中线长为　 　． 15．设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于 A，B 两点，若|AB|=2 ，则圆 C 的面积 为　 　． 16．设 a＞0，b＞0，若关于 x，y 的方程组 无解，则 a+b 的取值范围为　 　． 三．解答题（共 6 小题） 17．设数列{an}满足 a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{ }的前 n 项和． 18．在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 =﹣ ． （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 b= ，a+c=4，求△ABC 的面积． 19．如图，已知 AB⊥平面 ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且 F 是 CD 的中点． （1）求证：AF∥平面 BCE； （2）求证：平面 BCE⊥平面 CDE； （3）求直线 CE 与面 ADEB 所成的角的正切值． 20．已知直线 l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）． （1）证明：直线 l 过定点； （2）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围； （3）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为 S，求 S 的最小值及此时直线 l 的方程． 21．已知圆 C1：x2+y2+2x+2y﹣8=0 与圆 C2：x2+y2﹣2x+10y﹣24=0 相交于 A、B 两点， （1）求公共弦 AB 所在的直线方程； （2）求圆心在直线 y=﹣x 上，且经过 A、B 两点的圆的方程； （3）求经过 A、B 两点且面积最小的圆的方程． 22．已知圆心在 x 轴上的圆 C 与直线 l：4x+3y﹣6=0 切于点 M（ ， ）． （1）求圆 C 的标准方程； （2）已知 N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线 L 与圆 C 交于 P（x1，y1），Q（x2，y2） 两点． （ⅰ）求证： + 为定值； （ii）求|PN|2+|QN|2 的最大值． 　 答案 1．D【解答】解：f（x）=x5+2x4+x3﹣x2+3x﹣5=（（（（x+2）x+1）x﹣1）x+3）x﹣5，则当 x=5 时，V0=1，V1=5+2=7，V2=35+1=36，V3=180﹣1=179． 2．C【解答】解：∵f（1.438）=0.165＞0，f（1.4065）=﹣0.052＜0，∴函数 f（x）在 （1.4065，1.438）内存在零点，又 1.438﹣1.406 5＜0.1，结合选项知 1.43 为方程 f（x）=0 的一个近似根． 3．C【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 1524× =168 石 4．A【解答】解：设所求直线方程为 2x+y+b=0，则 = ，所以 b=±5，所以所求直线方 程为：2x+y+5=0 或 2x+y﹣5=0 5．D【解答】解：从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字 中小于 20 的编号依次为 08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是 02，重复．可 知对应的数值为 08，02，14，07，01，则第 5 个个体的编号为 01． 6 ． C 【 解 答 】 解 ： 由 C1 ： x2+y2=1 ， 得 圆 心 C1 （ 0 ， 0 ），半 径 为 1 ， 由 圆 C2 ： x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心 C2（3，4），半径为 ．∵ 圆 C1 与圆 C2 外切，∴ ，解得：m=9． 7．D【解答】解：由已知条件抽样比为 ，从而 ，解得 n=1040. 8．D【解答】解：点 A（﹣2，﹣3）关于 y 轴的对称点为 A′（2，﹣3），故可设反射光线所 在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2） 2=1 相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离 d= =1，化为 24k2+50k+24=0，∴k= 或﹣ ． 9．B【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3） 2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为 ， 根据题意画出图象，如图所示；由图象可知：过点 E 最长的弦为直径 AC，最短的弦为过 E 与直径 AC 垂直的弦，则 AC=2 ，MB= ，ME= = ，所以 BD=2BE=2 =2 ，又 AC⊥BD，所以四边形 ABCD 的面积 S= AC•BD= ×2 ×2 =10 ． 10．D【解答】解：程序框图是计算 的值，则利用 累积加，则第一个处理框应为 i＞1，然后计算 i 是增加 1 个， i=i+1，第二空输出结果 a﹣6． 11．C 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域 内，目标还是 S=2x+y 的最大值，画出可行域如图： 当 时，S=2x+y 的值最大，且最大值为 2． 12．B 【解答】解：令 y=f（x），y=kx，作直线 y=kx，可以得出 2，3，4 个交点，故 k= （x＞0）可分别有 2，3，4 个解．故 n 的取值范围为 2，3，4． 13．5【解答】解：∵132（k）=42（10），∴k2+3k+2=42，解得：k=5，或 k=﹣8（舍去） 14．2【解答】解：∵A（1，﹣2，5），B（﹣1，0，1），C（3，﹣4，5），∴BC 的中点为 D （1，﹣2，3）， ∴|AD|= =2． 15．4π【解答】解：圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 的圆心坐标为（0，a），半径为 ，∵直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于 A，B 两点，且|AB|=2 ，∴圆心（0，a）到直线 y=x+2a 的距离 d= ，即 +3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径 r=2．故圆的面积 S=4π， 16．（2，+∞）．【解答】解：∵关于 x，y 的方程组 无解，∴直线 ax+y=1 与 x+by=1 平行，∵a＞0，b＞0，∴ ≠ ，即 a≠1，b≠1，且 ab=1，则 b= ，由基本不等式有：a+b=a+ ≥2 =2，当且仅当 a=1 时取等，而 a 的范围为 a＞0 且 a≠1，不满足取等条件，∴a+b ＞2， 17．【解答】解：（1）数列{a n}满足 a 1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2 时，a 1+3a2+…+ （2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）an=2．∴an= ．当 n=1 时，a1=2，上式也成立．∴ an= ． （2） = = ﹣ ． ∴数列{ }的前 n 项和= + +…+ =1﹣ = ． 18．【解答】解：（1）由正弦定理 得：a=2RsinA，b=2RsinB， c=2RsinC ， 将 上 式 代 入 已 知 ， 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即 2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C） =sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即 sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴ ，∵B 为三 角形的内角，∴ ； （ II ） 将 代 入 余 弦 定 理 b2=a2+c2﹣2accosB 得 ： b2= （ a+c ） 2﹣2ac﹣2accosB，即 ，∴ac=3，∴ ． 19 ．【解答】解：（1 ）取 CE 中点 P ，连接 FP ，BP ，∵F 为 CD 的中点，∴FP ∥DE ，且 FP= ．又 AB∥DE，且 AB= ．∴AB ∥FP，且 AB=FP，∴ABPF 为平行四边形，∴AF∥BP． 又∵AF⊄平 面 BCE，BP⊂平面 BCE，∴AF∥平面 BCE （2）∵AF= ∴CD=2，所以△ACD 为正三角形，∴AF⊥CD∵AB⊥ 平面 ACD，DE∥AB ∴DE⊥平面 ACD 又 AF⊂平面 ACD∴DE⊥AF 又 AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面 CDE 又 BP∥AF∴BP ⊥平面 CDE，又∵BP⊂平面 BCE∴平面 BCE⊥平面 CDE （3）过 C 作 CG⊥AD 于 G，连接 EG，则 G 为 AD 中点．∵AB⊥平面 ACD，CG⊂面 ACD∴AB⊥CG∵ CG⊥AD CG∩AD=G∴CG⊥面 ADEB∴CG⊥EG，∠CEG 为直线 CE 与面 ADEB 所成的角．在 Rt△EDG 中， ， 20．【解答】解：（1）直线 l 的方程可化为 y=k（x+2）+1，故无论 k 取何值，直线 l 总过定 点（﹣2，1）． （2）直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1，要使直线 l 不经过 第四象限，则 ，解得 k 的取值范围是 k≥0． （3）依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为﹣ ，在 y 轴上的截距为 1+2k，∴A（﹣ ， 0），B（0，1+2k）， 又﹣ ＜0 且 1+2k＞0，∴k＞0，故 S= |OA||OB|= × （1+2k）= （4k+ +4）≥ （4+4）=4，当且仅当 4k= ，即 k= 时，取等号，故 S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 x﹣2y+4=0． 21．【解答】解：（1）由 ⇒x﹣2y+4=0．∴圆 C1：x2+y2+2x+2y﹣8=0 与圆 C2：x2+y2﹣2x+10y﹣24=0 的公共弦 AB 所在的直线方程为 x﹣2y+4=0； （2）由（1）得 x=2y﹣4，代入 x2+y2+2x+2y﹣8=0 中得，y2﹣2y=0， ∴ 或 ，即 A（﹣4，0），B（0，2）， 又圆心在直线 y=﹣x 上， 设圆心为 M（x，﹣x），则|MA|=|MB|，|MA|2=|MB|2，即（x+4）2+（﹣x）2=x2+（﹣x﹣2）2， 解得 x=﹣3．∴圆心 M（﹣3，3），半径|MA|= ．∴圆心在直线 y=﹣x 上，且经过 A、B 两点 的圆的方程为（x+3）2+（y﹣3）2=10． （ 3 ） 由 A （ ﹣4 ， 0 ）， B （ 0 ， 2 ）， 则 AB 中 点 为 （ ﹣2 ， 1 ）， ． ∴经过 A、B 两点且面积最小的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5． 22．【解答】解：（1）由圆心在 x 轴上的圆 C 与直线 l：4x+3y﹣6=0 切于点 M（ ， ）．设 C （a，0），则 kCM= ，∴ •（﹣ ）=﹣1，∴a=﹣1，∴C（﹣1，0），|CM|=2，即 r=2，∴ 圆 C 的标准方程为（x+1）2+y2=4． （2）设直线 l 的方程为 y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x﹣3=0，△=4+12 （1+k2）＞0， x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ． （i）证明： + = = 为定值； （ii）|PN|2+|QN|2=（x1﹣2）2+（y1﹣1）2+（x2﹣2）2+（y2﹣1）2=（x1﹣2）2+（kx1﹣1）2+ （x2﹣2）2+（kx2﹣1）2=（1+k2）（x1+x2）2﹣2（1+k2）x1x2﹣（4+2k）（x 1+x2）+10= +16，令 3+k=t（t＞3），则 k=t﹣3，上式即为 +16= +16≤ +16=2 +22．当且仅当 t= ，即 k= ﹣3 时，取得最大值 2 +22．