数学卷·2018届广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

数学卷·2018届广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2018届高三年级第一次月考考试理科数学试卷解析版 一、（选择题每题5分，共60分）‎ ‎1. 已知全集，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，选C ‎2. 若复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ）‎ A. -2 B. ‎2 C. -4 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：，‎ 则实部与虚部之和为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3. 设为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】,,故选B.‎ ‎4. 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据题意可知，，即，所以有，故选B．‎ 考点：向量的运算．‎ ‎5. 用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性 的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：‎ 每个实数都大于的概率为，‎ 则3个实数都大于的概率为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6. 对于锐角，若，则 A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： .‎ 本题选择D选项.‎ 点睛： (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．‎ ‎(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．‎ ‎7. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：，‎ 据此整理可得：，‎ 则：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．‎ ‎(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．‎ ‎8. 设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.‎ ‎【考点】 充要条件 ‎【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.‎ ‎9. 已知中，内角的对边分别为，若，则的面积为(　　)‎ A. B. ‎1 C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】,故选C.‎ 考点：1、余弦定理；2、三角形面积公式.‎ ‎10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，则函数的零点个数为（ ）个 A. 6 B. ‎2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数是定义在上的偶函数，当 时，， 函数的零点就是函数的图象与直线的交点的横坐标，作出函数在 的图象，如图， 由图可得：函数图象与直线 有6个交点， 故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．解题的关键是求出函数的值域 ‎11. 若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当 仅与轴交于时，与轴有三个交点，满足题意，此时与满足；当 与轴有两个交点，与轴有两个时，满足题意，此时满足；当 ‎ 与轴有三个交点，与轴有一个时，满足题意，此时满足；故选C。‎ 点睛： 与在 与轴的交点都是三个，本题的分段函数与轴交点为四个，需分情况讨论：与轴交点个数：0，1，2，3四种情况即可得结论。本题难度较大，主要考查了的图象。‎ ‎12. 定义在上的偶函数 ，当 时， ，且 在 上恒成立，则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是（ ）‎ A. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于函数，为偶函数，且在单调递增，如图所示，函数，在上恒成立，函数在上的图象位于的图象上方，当时，由可得 ，解得 ，故 的图象至少向左平移两个单位，才符合题意，即 ，由于函数的值域为，故函数的图象和直线有个交点，关于的方的根有个，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．解答本题的关键是根据把在上恒成立转化为函数在上的图象位于的图象上方，然后求出，再利用数形结合将方程f(2x+1)=t的根转化为函数的图象和直线的交点.‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 已知,向量在方向上的投影为，则=________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】∵,‎ ‎ ∵向量在方向上的投影为 故答案为9‎ ‎14. 若，则__________．‎ ‎【答案】593‎ ‎【解析】由题意可得：‎ ‎∴log3x=4,log2y=9，‎ ‎∴x=34=81,y=29=512，‎ ‎∴x+y=81+512=593，‎ 故答案为：593.‎ ‎15. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ‎___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 以以为轴，以边上的高为轴建立坐标系，则，设，则， ，当时，取得最小值，故答案为.‎ ‎16. 在 中， ,若 ，则周长的取值范围______________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ．‎ 由正弦定理，得 ‎ 的周长 ‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ 周长的取值范围是（2，3]， 故答案为 ．‎ ‎【点睛】本题解题的关键是利用三角函数的诱导公式、两个角的和、差公式、倍角公式以及辅助角公式将三角函数化为 形式．进而解决问题 三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） ‎ ‎17. 在等差数列中，，公差.记数列的前项和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设数列的前项和为，若成等比数列，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可求得数列的首项为1，则数列的前n项和.‎ ‎(2)裂项可得，且，据此可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，∴，∴，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）若成等比数列，则，‎ 即，∴,‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎18. 已知命题，命题。‎ ‎（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=5，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）当命题是用集合表示时，若是的充分条件，则表示命题所对应的集合是命题所对应集合的子集，转化为子集问题解决，通过数轴，列不等式组;‎ ‎(2)”为真命题，“”为假命题表示一真一假，所以分两种情况，真代表集合本身，假代表集合的补集，列不等式解决.‎ 试题解析：解：（1），，,‎ ‎,那么解得：‎ ‎(2)根据已知一真一假，真假时，解得，或假真时，‎ 解得 考点：命题的真假判定与应用 ‎19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：‎ 租用单车数量（千辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 每天一辆车平均成本（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.‎ ‎（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：‎ ‎①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：称为相应于点的残差（也叫随机误差））；‎ 租用单车数量（千辆）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 每天一辆车平均成本(元)‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 模型甲 估计值 ‎ ‎2.4‎ ‎2.1‎ ‎1.6‎ 残差 ‎0‎ ‎-0.1‎ ‎0.1‎ 模型乙 估计值 ‎2.3‎ ‎2‎ ‎1.9‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.‎ ‎（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.‎ ‎【答案】（1）①见解析②模型乙的拟合效果更好（2）投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.‎ ‎【解析】试题分析（1）①通过对回归方程的计算可得两种模型的估计值，代入，即可得残差；②计算可得可知模型乙拟合效果更好；（2）分别计算投放千辆和一万辆时该公司一天获得的总利润，即可得结论。‎ ‎（1）①经计算，可得下表：‎ ‎②，，‎ ‎，故模型乙的拟合效果更好.‎ ‎（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为，‎ 所以一天的总利润为（元）‎ 若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为（元），‎ 每辆车一天收入期望为，‎ 所以一天的总利润为（元）‎ 所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆.‎ ‎20. 已知数列中，且且.‎ ‎（1）证明：数列为等差数列； ‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证明数列为等差数列，只需证明为常数）即可；（2）由等差数列的通项公式，进而可求，利用错位相减法可求数列的前项和.‎ 试题解析：（1）设 ‎=‎ 所以数列为首项是2公差是1的等差数列. ‎ ‎（2）由（1）知， ‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎②-①，得 ‎.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查等差数列的定义以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎21. 设函数，是定义域为R上的奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）已知，函数，，求的值域；‎ ‎（3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：（1）先利用 为上的奇函数得 求出以及函数的表达式，（2）先由 得，得出函数的单调性，再对 进行整理，整理为用表示的函数，最后利用函数的单调性以及值域，得到的值域．‎ ‎（3）利用换元法，将不等式转化为对勾函数问题求解，注意分类讨论思想的应用．‎ 试题解析：（1）是定义域为R上的奇函数， ，得．‎ ‎（2），即，或（舍去），‎ ‎ ‎ 令，由（1）知在[1，2]上为增函数，∴，‎ ‎，‎ 当时，有最大值；当时，有最小值，‎ ‎∴的值域．‎ ‎（3）=，，‎ 假设存在满足条件的正整数，则，‎ ‎①当时，．‎ ‎②当时，，则，令，则，易证在上是增函数，∴．‎ ‎③当时，，则，令，则，易证在上是减函数，∴．‎ 综上所述，，∵是正整数，∴=3或4．‎ ‎∴存在正整数=3或4，使得对恒成立．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围．‎ 选做题（22题，23题选做一题，共10分）‎ ‎ 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线（为参数）与曲线交于两点，且.‎ ‎（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）最大值，（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两角和的正弦公式可得，可以求出的最大值及此时点的极坐标方程；（2）将曲线转化成普通方程，将的参数方程代入，由的几何意义可得的大小，可得结论。‎ ‎（1）∵，，‎ ‎∴当时，取得最大值，此时，的极坐标为.‎ ‎（2）由，得，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ 将代入并整理得：，解得，‎ ‎∵，∴由的几何意义得，，，‎ 故.‎ 点睛：在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意 的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．‎ ‎23. 选修4-5：不等式 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析; （1）利用绝对值的意义 ，将函数写成分段函数的形式，进而分段求解不等式（2）由不等式 有解，即 有解设，则问题转化为，利用绝对值不等式的性质，求出的最小值即可 试题解析;（1）由，可得，两边同时平方化简得 ‎ 解得 ，即 不等式 的解集为 ‎ ‎（2）由不等式 有解，即 有解设，而 ，由可得 或 ‎ ‎ ‎